3   DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI

UNITÀ 4. DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI 1. Generalità e definizioni sulle disequazioni.

2. I principi di equivalenza delle disequazioni. 3. Disequazioni di primo grado.

4. Disequazioni con più fattori di primo grado. 5. Disequazioni di secondo grado.

6. Disequazioni con più fattori di secondo grado. 7. Disequazioni di grado superiore al secondo. 8. Disequazioni che si risolvono per scomposizione. 9. Disequazioni binomie, biquadratiche e trinomie. 10. Disequazioni fratte.

11. Disequazioni letterali. 12. I sistemi di disequazioni.

13. Il valore assoluto e le sue proprietà. 14. Equazioni con un valore assoluto. 15. Equazioni con più valori assoluti. 16. Disequazioni con un valore assoluto. 17. Disequazioni con più valori assoluti. 18. Equazioni irrazionali con indice dispari. 19. Equazioni irrazionali con indice pari. 20. Disequazioni irrazionali con indice dispari.

21. Disequazioni irrazionali con indice pari di prima specie. 22. Disequazioni irrazionali con indice pari di seconda specie.

1. Generalità e definizioni sulle disequazioni.

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti un’incognita, che è verificata soltanto per alcuni valori dell’incognita.

Per esempio, la disequazione x42

contenente l’incognita x, è verificata per x7, per x8 e così via, ma non è verificata per x5, per x4 e così via. In generale esistono infiniti valori dell’incognita che verificano la disuguaglianza e infiniti valori che non la verificano.

Le soluzioni di una disequazione sono tutti i valori dell’incognita che, sostituiti nella disequazione, verificano la disuguaglianza.

Risolvere una disequazione significa trovare tutte le sue soluzioni.

Una disequazione si dice impossibile se non ha alcuna soluzione. Per esempio 𝑥2_{+ 1 < 0 è impossibile.} Una disequazione si dice algebrica se al primo e al secondo membro contiene polinomi o frazioni algebriche oppure radicali con polinomi o frazioni algebriche, come nei seguenti esempi:

5x2 4xx2 disequazione algebrica razionale intera;

x x x     1 2 1

disequazione algebrica razionale fratta; 3x1x4 disequazione algebrica irrazionale intera;

x x x 4 1 1 2    

disequazione algebrica irrazionale fratta.

Una qualunque disequazione, dopo aver svolto gli opportuni calcoli, si riconduce sempre ad una delle seguenti forme:

axb0 se è di primo grado; ax2bxc0 se è di secondo grado;

ax3bx2 cxd 0 se è di terzo grado … e così via. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Per risolvere una disequazione bisogna trasformarla in una disequazione equivalente applicando ripetutamente due principi di equivalenza: il principio di addizione e il principio di moltiplicazione.

Principio di addizione:

aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione uno stesso numero, si ottiene una disequazione equivalente con lo stesso verso;

da questo principio consegue che è possibile trasportare un addendo dal primo al secondo membro, cambiandolo di segno.

Principio di moltiplicazione:

moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente con lo stesso verso.

moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo si ottiene una disequazione equivalente con il verso contrario.

Da questo principio consegue che è possibile trasportare un fattore positivo dal numeratore del primo membro al denominatore del secondo membro o dal denominatore del primo membro al numeratore del secondo membro, lasciando lo stesso verso della disequazione.

Consegue anche che è possibile trasportare un fattore negativo dal numeratore del primo membro al denominatore del secondo membro o dal denominatore del primo membro al numeratore del secondo membro, cambiando il verso della disequazione.

Se la disequazione è già in forma normale come:

2𝑥 − 8 > 0

si trasporta il −8 dal primo al secondo membro ottenendo

: 2𝑥 > 8

poi si dividono i 2 membri per 2 e si ottiene la soluzione:

𝑥 >

8

2 cioè

𝑥 > 4

Se la disequazione è in forma generica come: 1

2

𝑥 − 3 >

1

3

− 4𝑥

si segue di solito questa procedura: - si portano tutti i termini al primo membro: 1

2

𝑥 − 3 −

1

3

+ 4𝑥 > 0

- si trova il mcm e si eseguono i calcoli: 3𝑥−18−2+24𝑥

6

> 0

- si sommano i termini simili: 27𝑥−20 6

> 0

- si moltiplicano i due membri per 6 ottenendo la forma normale: 27𝑥 − 20 > 0 - si trasporta il −20 al secondo membro: 27𝑥 > 20

- si dividono i 2 membri per 27 e si ottiene la soluzione:

𝑥 >

20

4. Disequazioni con più fattori di primo grado. 5. Disequazioni di secondo grado.

6. Disequazioni con più fattori di secondo grado. 7. Disequazioni di grado superiore al secondo. 8. Disequazioni che si risolvono per scomposizione. 9. Disequazioni binomie, biquadratiche e trinomie.

Sono disequazioni che contengono l’incognita al Denominatore.

Prima di risolverle bisogna trovare la condizione di esistenza CE imponendo che ogni denominatore sia diverso da zero.

La procedura per poi risolverle è simile a quella delle equazioni: - si portano tutti i termini al primo membro;

- si trova il m.c.m. e si eseguono i calcoli al Numeratore;

- si trasforma il Numeratore in forma normale ottenendo un polinomio P(x), mentre il m.c.m. al Denominatore può contenere vari fattori:

𝑃(𝑥)

𝐴(𝑥)·𝐵(𝑥)

> 0

Nelle disequazioni non si può portare il Denominatore al secondo membro poiché non conosciamo il suo segno e quindi non sappiamo se cambiare o no il verso della disequazione. Perciò bisogna studiare il segno di tutti i fattori che si trovano al primo membro, sia al numeratore che al denominatore.

Esempio: 5 𝑥−1

>

3 𝑥+1 11. Disequazioni letterali.

Sono disequazioni che, oltre all’incognita, contengono un’altra lettera che si chiama parametro.

Se si conosce il segno del parametro si risolvono come le equazioni numeriche, ma durante lo svolgimento dei calcoli bisogna tener conto del segno del parametro.

Se non si conosce il segno del parametro bisogna considerare tutti i casi possibili e risolvere la disequazione supponendo prima che il parametro sia nullo, poi supponendo che il parametro sia positivo e poi supponendo che il parametro sia negativo.

12. I sistemi di disequazioni.

Un sistema di disequazioni è un insieme di più disequazioni che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Le disequazioni si scrivono all’interno di una parentesi graffa che rappresenta il simbolo del sistema.

Il valore assoluto di un numero x si indica con x ed è uguale allo stesso valore x se x0, all’opposto di x se x0.

Quindi per definizione di valore assoluto risulta:

       0 se 0 se x x x x x Per esempio:

5



5

0



0



5



5

Rappresentando i numeri reali su una retta orientata R, il valore assoluto di un numero corrisponde alla distanza di quel numero dall’origine O.

Il valore assoluto possiede importanti proprietà che sono molto utili nella risoluzione di alcune equazioni e disequazioni che contengono il valore assoluto.

Se x ed y sono due numeri reali qualsiasi, valgono le seguenti proprietà, che si possono dimostrare applicando la definizione di valore assoluto. Per comprendere e ricordare queste proprietà bisogna pensare al valore assoluto come una distanza.

1)

x



0

2)

x



0



x



0

3)

x





2

è impossibile 4) x 2x2x2 5)

x





x

6)

x



y



x



y



x





y

7)

x



y



x



y

8)

y

x

y

x



9)

x



2





2



x



2

10)

x



2



x





2



x



2

11)

x



y



x

2



y

2 12)

x



x

2

14. Equazioni con un valore assoluto.

Sono equazioni che contengono l’incognita all’interno di un valore assoluto. L’espressione che si trova nel valore assoluto si chiama argomento del valore assoluto.

In generale, per risolvere un’equazione con valore assoluto, se è possibile, si cerca di utilizzare qualche proprietà del valore assoluto per ottenere la soluzione più rapidamente.

Esempio 1. 2 1 1 2 0 2 1 0 2 1 x    x  x x

Esempio 2. 3x54 equazioneimpossibile Esempio 3. 5x12; 5x12  5x12 5x3  5x1 5 1 5 3     x x Esempio 4. x312x ; x312x  x312x 3x2  x4 4 2 3     x x Esempio 5. x2x32; (x2)(x3) 2 x23x2x6 2 x2 5x6 2 x2 5x62  x2 5x62 x2 5x40  x2 5x80 2516 9 253270

La prima equazione ha La seconda equazione le seguenti soluzioni: non ha soluzioni 1 e 4 2 3 5 _  x

Quando non si può utilizzare alcuna proprietà del valore assoluto bisogna applicare la definizione di valore assoluto e considerare entrambi i casi: cioè argomento 0 e argomento 0 . Si ottengono così due sistemi da risolvere: le soluzioni dell’equazione col valore assoluto sono date dall’unione tra le soluzioni del primo sistema e le soluzioni del secondo sistema.

Esempio 6. 2x9x9                   9 9 2 0 9 2 se 9 9 2 0 9 2 se x x x x x x                18 3 9 2 0 2 9 2 x x x x x                 accett. soluz. 6 2 9 accett. soluz. 0 2 9 x x x x

L’equazione col valore assoluto ammette perciò due soluzioni: x0 e x6

Esempio 7. 2x x15 x12x5                   5 2 1 0 1 se 5 2 1 0 1 se x x x x x x              accett. non 3 6 3 1 accett. 4 1 x x x x x

15. Equazioni con più valori assoluti.

Se l’equazione contiene più valori assoluti, si studia il segno di ciascuno di essi, si rappresentano i segni su una retta orientata e per ogni intervallo ottenuto si risolve un sistema.

Esempio 1. Risolvere l’equazione: 2x3 x2 4

Il 1° valore assoluto è positivo quando:

2 3 cioè 3 2 cioè 0 3 2x  x x

Il 2° valore assoluto è positivo quando:

x



2



0

cioè

x



2

Segno dei valori assoluti

                              4 2 3 2 2 se 4 2 3 2 2 2 3 se 4 2 3 2 2 3 se x x x x x x x x x                       9 3 2 5 2 2 3 1 3 2 3 x x x x x x                       accett. 3 2 accett. non 5 2 2 3 accett. 3 1 2 3 x x x x x x 2 3 2



1

2



x

 

16. Disequazioni con un valore assoluto.

Sono disequazioni che contengono l’incognita all’interno di un valore assoluto.

Per risolvere queste disequazioni, se è possibile, si cerca di utilizzare qualche proprietà del valore assoluto per ottenere la soluzione più rapidamente; se ciò non è possibile bisogna utilizzare la definizione di valore assoluto e considerare entrambi i casi: argomento 0 e argomento 0. Si ottengono così due sistemi da risolvere: le soluzioni della disequazione col valore assoluto sono date dall’unione tra le soluzioni del primo sistema e le soluzioni del secondo sistema.

Esempio 1. Risolvere la disequazione:

3

x



7



2

Si può utilizzare una proprietà del valore assoluto e si ottiene la disequazione:



2



3

x



7



2

Si aggiunge 7 a tutti i membri della disequazione:



7



2



3

x



2



7





9



3

x





5

Si dividono tutti i membri per 3 e si ottiene la soluzione:

3 5 3 

 x

Esempio 2. Risolvere la disequazione:

2



5



3

Si può utilizzare una proprietà del valore assoluto e si ottengono due disequazioni: 25x3  25x3 5x5  5x1 5x5  5x1 5 1 1    x x

Esempio 3. Risolvere la disequazione:

5



2

x



4



x

Non si può utilizzare alcuna proprietà del valore assoluto e perciò si devono risolvere due sistemi:

                  x x x x x x 4 2 5 0 2 5 se 4 2 5 0 2 5 se            9 5 2 1 3 5 2 x x x x                9 2 5 3 1 2 5 x x x x 9 3 1 _{ }  x x

17. Disequazioni con più valori assoluti.

Se la disequazione contiene più valori assoluti, si studia il segno di ciascuno di essi, si rappresentano i segni su una retta orientata e per ogni intervallo ottenuto si risolve un sistema.

Esempio 1. Risolvere l’equazione: 2x3 x24 1° valore assoluto: 2 3 cioè 3 2 per 0 3 2x  x x

2° valore assoluto: x20 per x2

                              4 2 3 2 2 se 4 2 3 2 2 2 3 se 4 2 3 2 2 3 se x x x x x x x x x                       9 3 2 5 2 2 3 1 3 2 3 x x x x x x                       3 2 5 2 2 3 3 1 2 3 x x x x x x 3 3 1 _{   }  x x Soluzione finale: 3 3 1 _{ }  x x

18. Equazioni irrazionali con indice dispari.

19. Equazioni irrazionali con indice pari. 20. Disequazioni irrazionali con indice dispari.

2 3 2



1

2



x

 

21. Disequazioni irrazionali con indice pari di prima specie.

Sono disequazioni irrazionali col segno minore, si svolgono con minore lavoro perché si risolve un solo sistema.

Ridotte in forma normale sono del tipo:

√4𝑥 + 1 < 2𝑥 − 1 Osservando la disequazione notiamo che:

1- Il radicale al primo membro esiste solo se il radicando è ≥ 0 per cui si pone la condizione di realtà del

radicando: 4𝑥 + 1 ≥ 0

2- Se il primo membro è positivo o nullo e il secondo membro deve essere maggiore del primo, allora il secondo membro deve essere positivo, per cui si pone la condizione di positività del secondo membro:

2𝑥 − 1 > 0

3- Per eliminare la radice si elevano ambo i membri al quadrato e si ottiene la disequazione razionale: 4𝑥 + 1 < (2𝑥 − 1)2

Poiché queste tre condizioni si devono verificare tutte contemporaneamente, si pongono all’interno di un sistema:

{

4𝑥 + 1 ≥ 0 2𝑥 − 1 > 0

4𝑥 + 1 < (2𝑥 − 1)2 Che si risolve in varie fasi successive

{ 4𝑥 ≥ −1 2𝑥 > 1 4𝑥 + 1 < 4𝑥2_{− 4𝑥 + 1} { 𝑥 ≥ −1 4 𝑥 >1 2 4𝑥2_{− 8𝑥 > 0} { 𝑥 ≥ −1 4 𝑥 >1 2 𝑥2_{− 2𝑥 > 0} x=0 Equazione associata: 𝑥2_{− 2𝑥 = 0; 𝑥(𝑥 − 2) = 0} x=2

Soluzioni della disequazione di secondo grado: 𝑥 < 0 ∪ 𝑥 > 2 perciò il sistema risulta:

{ 𝑥 ≥ −1 4 𝑥 >1 2 𝑥 < 0 ∪ 𝑥 > 2

Che si rappresenta con questo grafico: −1

4 0 1 2 2 1° 2° 3° Soluzione del sistema: x >2

22. Disequazioni irrazionali con indice pari di seconda specie.