esame

(1)

Esercizio 1 Sia X una variet`a proiettiva complessa. Allora ogni elemento ψ ∈ H1,1_{(X) ∩ H}2

(X, Z) `e un multiplo del duale di Poincar`e di un divisore Z in X.

Esercizio 2 Siano X una varietà di Kähler compatta, E un fibrato olomorfo su X e P(E) il proiettivizzato di E. Dimostrare che P(E) è una varietà di Kähler compatta.

Esercizio 3 Siano X una variet`a di K¨ahler compatta, E un fibrato olomorfo su X e P(E) il proiettivizzato di E, L un fibrato in rette su X. Dimostrare che P(E∗⊗ L∗

) = P(E∗), ma O_P(E∗_⊗L∗₎(1) `e isomorfo a O

P(E∗)(1) ⊗ π∗L, dove

π : P(E∗) → X `e la proiezione canonica.

Esercizio 4 Sia X una variet`a complessa e siano L, K fibrati in rette olomorfi su X tali che K ⊗ K = L. Si consideri una sezione non nulla σ di L e siano Σ la sua immagine e R il suo luogo di zeri.

• Si dimostri che la mappa φ : K → L definita da φ(x, k) = (x, k2_{) `}_{e propria}

e olomorfa.

• Si dimostri che Y = φ−1_{(Σ) `}_{e liscia se e solo se R `}_{e liscia ed intersezione}

trasversa di X e Σ.

• Supponendo che R sia come al punto precedente, si dimostri che φ|Y :

Y → Σ ∼= X `e ramificato esattamente lungo φ−1(R) = R e altrove `e un rivestimento doppio.

Esercizio 5 Sia X uno spazio complesso e sia E un’estensione di Q con S, ovvero sia

0 → S → E → Q → 0

una successione esatta corta di fibrati olomorfi. Le possibili estensioni E sono classificate dallo spazio H1_{(X, Hom(Q, S)). Sia ora h una metrica hermitiana}

su E e sia β ∈ Γ(X, Ω1,0 _{⊗ Hom(S, Q)) la seconda forma fondamentale di S}

in E. Indichiamo con β∗ l’aggiunto di β (ovvero, in un frame ortonormale, βt∈ Γ(X, Ω0,1_{⊗ Hom(Q, S))). Si dimostri che}

• ∂β∗_{= 0}

• la curvatura della connessione di Chern associata ad h `e

Θ(E) = Θ(S) − β ∗_{∧ β} _−D1,0 Hom(Q,S)β ∗ ∂β Θ(Q) − β ∧ β∗ !

• la classe [β∗_{] ∈ H}1_{(X, Hom(Q, S)) `}_{e ben definita e non dipende da h}

• [β∗_{] corrisponde, tramite l’isomorfismo di de Rham, alla classe}

dell’esten-sione E di Q tramite S in H1_{(X, Hom(Q, S)).}

Esercizio 6 ? Siano X e Y due spazi complessi compatti e sia f : X → Y una mappa olomorfa surgettiva, il cui differenziale sia surgettivo in ogni punto. Supponiamo che (X, ω) sia di Kähler. Si dimostri che Xy= f−1(y) è di Kähler

per ogni y ∈ Y ; si dimostri che Y `e di K¨ahler.

Esercizio 7 Sia X una variet`a complessa compatta di dimensione 2. Si dimostri che

(2)

• per ogni (2, 0) forma ω si ha Z

ω ∧ ω ≥ 0 e si discuta il caso di uguaglianza;

• ogni k−forma olomorfa `e chiusa;

• data [ω] ∈ H1,0_{(X) tale che ω = ∂f per una qualche funzione C}∞_{, si ha}

che ω = 0;

• data [ω] ∈ H2,0_{(X) tale che ω = ∂η per una qualche forma C}∞_{, si ha che}

ω = 0;

• si concluda che 2h1,0_{≤ b}

1≤ 2h0,1e si diano esempi in cui le disuguaglianze

sono strette.

Esercizio 8 ? Sia (M(m)_{, J, g) una variet`}_{a di K¨}_{ahler compatta semplicemente}

connessa. Si dimostri che la sua forma di Ricci è nulla se e solo se il gruppo di olonomia della connessione di Levi-Civita Hol(g) è contenuto in SU (m). Esercizio 9 Sia (M, g, J ) una varietà di Kähler compatta semplicemente con-nessa di dimensione 3 il cui fibrato canonico sia banale; dimostrare che il suo diamante di Hodge è della forma

1 0 0 0 b 0 1 a a 1 0 b 0 0 0 1 Verificare che l’ipersuperficie di CP4 data da

Q = {(x, y, z, w, t) : x5+ y5+ z5+ w5+ t5= 0} soddisfa le ipotesi e determinare a, b per essa.

Esercizio 10 Fissato k ∈ N, si consideri l’insieme

Vk = {z1w2k= z2w1k | (z1, z2) ∈ C2, [w1; w2] ∈ CP1} ⊂ C2× CP1

Dimostrare che Vkè una varietà analitica complessa e che è isomorfo allo spazio

totale del fibrato O(−k).

Esercizio 11 Sia V un fibrato di rango 2 su CP2. Allora

• esistono un intero kV e un sottofascio O(kV) di V tale che se esiste una

mappa non nulla O(k) → V , allora k ≤ kV ed inoltre V /O(kV) `e senza

torsione;

• V `e stabile se e solo se 2kV < d (con det V = O(d));

• V è stabile se e solo se è semplice. Si dimostri inoltre che T CP2è stabile.