Elementi di Analisi Numerica, Probabilità e Statistica,
modulo 2: Elementi di Probabilità e Statistica (3 cfu) Probabilità e Statistica (6 cfu) Scritto del 14 febbraio 2019. Secondo Appello Id: A
Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella interessata)
Si ricorda che nella correzione dell'elaborato si valuteranno anche i procedimenti che portano ai risultati nali. Tali procedimenti devono essere descritti o giusti cati in modo sintetico, ma chiaro. Riportare solo il risultato nale, anche se corretto, verrà considerato errore.
Problema 1 (tutti)
Due scatole A e B contengono 2 palline ciascuna. Si sceglie una scatola (P (A) = p, P (B) = 1 − p = q) e si estrae una pallina mettendola via. Si ripete l'operazione cioè si sceglie con le stesse modalità una scatola e si estrae una pallina mettendola via. Si va avanti così nché si svuota una scatola. Si consideri la v.a. X=numero di palline rimaste nell'altra scatola. Determinare
1. 3/30 i valori assunti da X con le rispettive probabilità;
2. 2/30 il valore atteso, la varianza di X e il valore di p che la massimizza;
3. 5/30 Rispondere al primo punto nel caso in cui le scatole A e B contengano 3 palline.
Problema 2 (tutti)
Una v.a. X è distribuita secondo la densità Ax e−λx con x, λ > 0. Dopo aver determinato A si consideri
la v.a. Y = X2− aX. Determinare
1. 3/30 il valor medio e la varianza di Y ; 2. 3/30 P (Y > 1);
3. 4/30 la distribuzione di Y (valori assunti e densità di probabilità mettendo bene in evidenza il ragionamento);
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
Una coltura di batteri viene osservata ogni due giorni trovando i seguenti risultati (in opportune unità)
giorno 0 2 4 6 8 10 12
quantità batteri 2.96 7.79 9.62 16.46 20.29 19.12 25.95
Ci si chiede se la quantità di batteri dipende in maniera lineare dai tempi di osservazione. Trovare 1. 4/30 l'equazione della retta di regressione;
2. 6/30 gli intervalli di con denza al 5% e 1% per coe ciente angolare e termine noto della retta di regressione.
Soluzione
Problema 1 (tutti)
1. La X assume solo i valori 1 e 2. Infatti indichiamo con Ai l'evento l'i-esima pallina è stata estratta
dalla scatola A e con Bi l'evento l'i-esima pallina è stata estratta dalla scatola B, gli eventi che
portano allo svuotamento della scatola A sono Eventi valore X prob
A1∩ A2 2 p2
(A1∩ B2) ∩ A3 1 p2q
(B1∩ A2) ∩ A3 1 p2q
Si incontra una situazione analoga se si considerano gli eventi che portano allo svuotamento della scatola B: nella tabella precedente basta scambiare Ai con Bi e p con q.
Riepilogando si ottiene (tenendo presente che (p + q)n= 1per tutti gli n)
P (X = 2) = p2+ q2= p2+ q2+ 2pq − 2pq = (p + q)2− 2pq = 1 − 2pq P (X = 1) = 2(p2q + q2p) = 2pq(p + q) = 2pq 2. Risulta E[X] = 2(1 − 2pq) + 2pq = 2(1 − pq) E[X2] = 4(1 − 2pq) + 2pq = 4 − 6pq Var[X] = 4 − 6pq − 4(1 − pq)2= . . . = 2pq(1 − 2pq) = −4(pq − 1/4)2+ 1/4 = 1/4 − 4(p − p2− 1/4)2 = 1/4 − 4(−(p − 1/2)2)2 = 1/4 − 4(p − 1/2)4
da cui si vede che p = 1/2 è un punto di massimo. In alternativa si può sostituire q = 1 − p in 2pq(1 − 2pq)e fare la derivata per giungere alla stessa conclusione.
3. Con ragionamento simile al punto precedente si trova per lo svuotamento della scatola A
Eventi valore X prob
A1∩ A2∩ A3 3 p3
(A1∩ B2∩ A3) ∩ A4 2 32p 3q
(A1∩ B2∩ B3∩ A4) ∩ A5 1 42p3q2
dove il coe ciente binomiale ci evita di dover elencare tutte le combinazioni degli eventi elementari tra parentesi.
Si incontra una situazione analoga se si considerano gli eventi che portano allo svuotamento della scatola B: nella tabella precedente basta scambiare Ai con Bi e p con q.
In de nitiva
P (X = 3) = p3+ q3= . . . = 1 − 3pq
P (X = 2) = 3(p3q + q3p) = . . . = 3pq(1 − 2pq) P (X = 1) = 6(p3q2+ q3p2) = . . . = 6p2q2
Problema 2 (tutti)
1. Usando l'integrale notevole
Z +∞
0
xne−λxd x = n! λn+1
si trova agevolmente A = λ2 e E[Xn] = (n + 1)!/λn e Var[X] = 2/λ2. Risulta inoltre per la funzione cumulativa FX(x) ≡ P (X ≤ x) = Z x 0 λ2s e−λsd s = . . . = 1 − (1 + λx) e−λx Le quantità richieste si possono calcolare usando questi risultati. Infatti
E[Y ] = E[X2] − a E[X] = 2 λ
3 λ− a
E[Y2] = E[X4+ a2X2− 2aX3] = . . . = 6 λ2 20 λ2 − 8a λ + a 2 Var[Y ] = 1 λ2 84 λ2 − 24a λ + 2a 2
2. Bisogna trovare la soluzione di X2− aX > 1 nel dominio di de nizione della X. Risulta X > (a +
√ a2+ 4)/2. Pertanto P (Y > 1) = P (X2− aX > 1) = P (X > (a +pa2+ 4)/2) = 1 − P (X < (a +pa2+ 4)/2) = 1 − FX((a + p a2+ 4)/2) = e−λ(a+ √ a2+4)/2h 1 + λ(a +pa2+ 4)/2i
3. La Y è una parabola, dopo aver disegnato il ramo con X > 0 ci si accorge subito che il vertice è in X = a/2 pertanto si trova che Y ∈ [−a2/4, +∞). Per la distribuzione si può usare il metodo della
funzione cumulativa. Infatti FY(y) ≡ P (Y ≤ y) = ( P (x1(y) ≤ X ≤ x2(y)) = FX(x2) − FX(x1) −a 2 4 ≤ y ≤ 0 P (0 ≤ X ≤ x2(y)) = FX(x2) − FX(0) y ≥ 0 dove x1,2(y) = a 2 ∓ p a2+ 4y 2 Mettendo tutto insieme si trova l'espressione per la densità di Y
pY(y) ≡ d FY(y) d y = pX(x2(y)) d x2(y) d y − pX(x1(y)) d x1(y) d y = 1 p a2+ 4y(pX(x2) + pX(x1)) − a2 4 ≤ y ≤ 0 pX(x2(y)) d x2(y) d y y ≥ 0
Problema 3 (solo esame 6 cfu)
1. Si tratta di applicare il formalismo visto a lezione per trovare la retta di regressione. Le prime quantità da calcolare sono ¯x = 6 e ¯y = 14.5986. Poi
D =X
i
(xi− ¯x)2= 112
Cosi si possono ottenere i valori osservati a dell'intercetta A e b del coe ciente angolare B
b = 1 D X i (xi− ¯x)yi= 1.8267 a = y − b¯¯ x = 3.63786 La retta di regressione è pertanto y = 3.63786 + 1.8267x
2. Il passo successivo consiste nel calcolare il valore osservato della varianza del rumore. Con la notazione vista a lezione si comincia calcolando
SSR =X
i
(yi− a − bxi)2= 17.9943
da cui il valore osservato della varianza SSR
n−2 = 3.5989 (n = 7).
Ricordando dalla teoria che la v.a.
A − α q SSR n−2 q 1 n+ ¯ x2 D ∼ Tn−2
si trovano gli intervalli di con denza richiesti
a − |t(n−2)γ/2 |r SSR n − 2 r 1 n+ ¯ x2 D ≤ α ≤ a + |t (n−2) γ/2 | r SSR n − 2 r 1 n+ ¯ x2 D dove γ è il livello di con denza e t(m)
γ/2 è l'opportuno quantile della Tm. Nel caso in esame t (n−2) 2.5% =
t(5)2.5%= −2.570e t(n−2)0.5% = t(5)0.5% = −4.032. Sostituendo i valori numerici si trova per l'intercetta γ = 5% : [0.315, 6.96]
γ = 1% : [−1.57, 8.85] Per il coe ciente angolare si procede in modo analogo ricordando che
B − β q SSR n−2 q 1 D ∼ Tn−2 si trova γ = 5% : [1.37, 2.29] γ = 1% : [1.10, 2.55]
