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Academic year: 2021

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(1)

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 1/39

(2)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Introduzione

Sia

a

n

una successione di numeri reali

Problema:

cosa succede ad

a

n

, quando

n

diventa arbitrariamente grande?

(3)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 2/39

Introduzione

Sia

a

n

una successione di numeri reali

Problema:

cosa succede ad

a

n

, quando

n

diventa arbitrariamente grande?

I valori

(4)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Introduzione

Sia

a

n

una successione di numeri reali

Problema:

cosa succede ad

a

n

, quando

n

diventa arbitrariamente grande?

I valori

cresceranno?

decresceranno?

(5)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 2/39

Introduzione

Sia

a

n

una successione di numeri reali

Problema:

cosa succede ad

a

n

, quando

n

diventa arbitrariamente grande?

I valori

cresceranno?

decresceranno?

approssimeranno sempre meglio un qualche

(6)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

(7)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

(8)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

(9)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

(10)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

(11)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

4

4/5

(12)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

4

4/5

5

5/6

(13)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

4

4/5

5

5/6

6

6/7

(14)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

4

4/5

5

5/6

6

6/7

7

7/8

(15)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

4

4/5

5

5/6

6

6/7

7

7/8

8

8/9

(16)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

4

4/5

5

5/6

6

6/7

7

7/8

8

8/9

9

9/10

(17)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

4

4/5

5

5/6

6

6/7

7

7/8

8

8/9

9

9/10

Si osserva che i valori tendono a crescere ed

avvicinarsi sempre più a

1

(18)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione

b

n

=

n

+1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

n

b

n

0

0

1

1/2

2

2/3

3

3/4

4

4/5

5

5/6

6

6/7

7

7/8

8

8/9

9

9/10

Si osserva che i valori tendono a crescere ed

avvicinarsi sempre più a

1

(19)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

(20)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

(21)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

(22)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

(23)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

(24)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

4

16/5

(25)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

4

16/5

5

25/6

(26)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

4

16/5

5

25/6

6

36/7

(27)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

4

16/5

5

25/6

6

36/7

7

49/8

(28)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

4

16/5

5

25/6

6

36/7

7

49/8

8

64/9

(29)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

4

16/5

5

25/6

6

36/7

7

49/8

8

64/9

9

81/10

(30)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

4

16/5

5

25/6

6

36/7

7

49/8

8

64/9

9

81/10

Si osserva che, al crescere di

n, i valori c

n

crescono, ma non esiste un maggiorante

(31)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2

n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9

n

c

n

n

c

n

0

0

1

1/2

2

4/3

3

9/4

4

16/5

5

25/6

6

36/7

7

49/8

8

64/9

9

81/10

Si osserva che, al crescere di

n, i valori c

n

crescono, ma non esiste un maggiorante

Il concetto di

limite

(infinito) formalizzerà

questa osservazione

(32)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Limite +

∞ per x → +∞

Sia

f :]a, +∞[→ R (oppure f : N → R)

Diremo che

f ha limite +∞ per x tendente a

+∞

e si scrive

lim

x

→+∞

f (x) = +∞

se per ogni

M ∈ R esiste x

M

∈ R tale che

(33)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 6/39

Limite

−∞ per x → +∞

Sia

f :]a, +∞[→ R (oppure f : N → R)

Diremo che

f ha limite −∞ per x tendente a

+∞

e si scrive

lim

x

→+∞

f (x) = −∞

se per ogni

M ∈ R esiste x

M

∈ R tale che

(34)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Limite finito per

x → +∞

Sia

f :]a, +∞[→ R (oppure f : N → R)

Diremo che

f ha limite ℓ ∈ R per x tendente

a

+∞

e si scrive

lim

x

→+∞

f (x) = ℓ

se per ogni

ε > 0 esiste x

ε

∈ R tale che

ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε per ogni x ∈]a, +∞[

(35)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(36)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Dato un valore

M

M

(37)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

M

(38)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

M

(39)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

hanno valori

corrispon-denti

f (x) > M

M

(40)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

hanno valori

corrispon-denti

f (x) > M

M

x

M

x

(41)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Cambiando

M

M

(42)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

M

(43)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(44)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(45)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(46)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Questo dev’essere vero

per ogni

M

!

M

(47)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Questo dev’essere vero

per ogni

M

!

M

(48)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Questo dev’essere vero

per ogni

M

!

M

(49)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

(50)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

M

(51)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(52)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(53)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(54)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(55)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(56)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

(57)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Dato un valore

M

M

(58)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

M

(59)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

M

(60)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

hanno valori

corrispon-denti

f (x) < M

M

(61)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

hanno valori

corrispon-denti

f (x) < M

M

x

M

x

(62)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Cambiando

M

M

(63)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

M

(64)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(65)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(66)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(67)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Questo dev’essere vero

per ogni

M

!

M

(68)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Questo dev’essere vero

per ogni

M

!

M

(69)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Questo dev’essere vero

per ogni

M

!

M

(70)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

(71)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

M

(72)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(73)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(74)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(75)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(76)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3

Limiti di successioni Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 3

Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

arctg x =

π

2

π/2

−π/2

(77)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3

Limiti di successioni Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc. . . A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Limiti

- p. 10/39

Illustrazione della definizione 3

Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

arctg x =

π

2

Dato

ε > 0

π/2

−π/2

π/2 − ε

π/2 + ε

(78)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2

Illustrazione della definizione 3

Limiti di successioni Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 3

Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

arctg x =

π

2

Dato

ε > 0

esiste

x

ε

nel dominio

π/2 − ε

π/2 + ε

Figura

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni
Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni
Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni
Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni
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