Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare A.A. 2005/2006

(1)

Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2005/2006

(2)

Il corso, inizialmente, riprende brevemente alcuni argomenti sviluppati nel corso di IFNS, che sono alla base delle molteplici applicazioni che hanno beneficiato delle ricerche della Fisica Nucleare.

Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su:

I)Stabilita’ Nucleare e Fisica del neutrone II) Energia dalla Fissione e Fissione

III) Applicazioni Industriali ed Analitiche

Testi di riferimento:

- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley

- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley

(3)

Proprieta’ del nucleo, Tecniche Nucleari, Acceleratori, Sensori

(4)

Unita’ di massa atomica

^,

u= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

(5)

Binding Energy , B/c2 = ZmH + Nmn - m(A,Z) Mass Excess, Δ = m(Α,Ζ) − Α

Δ < 0 , 20 < Α < 180, nuclidi stabili Δ > 0 , 20 > Α > 180, nuclidi instabili

amu

(6)

€

B

A = M_n − Z

A

(

M_n − M_H

)

⁻ ^M

L’energia media per nucleone A

€

= M

(

_n −1

)

⁻ ^Z

A

(

M_n − M_H

)

^{− Δ}

dominante

€

B

A ≅ 0.008982 − 0.46(0.000840) + 0.0006

= 0.0092amu / nucleone

= 8.5MeV / nucleone

Per 40Ca<A<120Sn, <Z/A> = 0.46 amu/nucleon

(7)

Q-value e reazioni nucleari

Per ogni reazione a due corpi Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-value Q>0 reazione esotermica

Q<0 reazione endotermica

€

5

10B + n→₃⁷Li + α + Q Q = B Li

( )

^{+ B}

( )

^α ^{− B B}

( )

= 39.245 + 28.295 − 64.750

= 2.791MeV

Energia di Separazione Energia di legame per un singolo nucleone separato dal nucleo

€

S_a = M

[

_a

( )

A^',Z^' ^{+ M A − A}

(

^'^{,Z − Z}^'

)

^{− M A,Z}

^{( )} ]

^c²

Last Neutron binding energy

€

S_n = M

[

_n + M A −1,Z

( )

^{− M A,Z}

( ) ]

^c²

Numeri Magici ->Modello a shell

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ M

[ (

_i + MI

)

^{− M}

(

^f ^{+ M}^F

) ]

^c²

Q = T_f + TF − T

(

i + TI

)

^{= B f}

( )

^{+ B F}

( )

^{− B i}

( )

^{− B I}

( )

(8)

Abbondanza sistematica dei nuclide stabili

N ~ Z per A piccolo N > Z per A grande

Per A grandi la distribuzione dei nuclidi con N > Z e’

spiegabile con la repulsione coulombiana, che favorisce nei nuclidi pesanti la maggior presenza di neutroni; piu’ difficile spiegare perche’ N = Z per A bassi.

A Tipo Nucl. stab. stab. <N.Stab>

E e-e 177 alta 2-3 O e-o 58 buona 1 O o-e 54 buona 1 E o-o 10 bassa 0

(9)

€

M A,Z

( )

^c² ^{≈ A M}

[

nc²− a_a + a_s / A^1/3

]

^{+ xZ + yZ}²⁻^δ

dove x = −4 M

(

n− M_H

)

^c² ^{≅ −4a}â^{; y =} ^4a_Aâ ⁺ _Aâ1/ 3^c

Parabola della massa e stabilita’

Dalla formula di Weizsaecker, si ricava M(A,Z), con i coefficienti, di volume, superficie, carica, asimmetria e pairing, ricavati fittando le masse.

€

a_a = 16,a_s= 18,a_c = 0.72,a_a = 23.5,a_p = ±11 / A

€

Z_A ≈(M_n − M_H)^c²^A^1/3

2a_c ≈ 0.9A^1/3

Per A costante la Z assume forma di parabola con minimo in

€

Z_A − x / 2y ≈ A / 2 1+1

4 a_c a_a



  

  A^{2/ 3}

Senza il termine di asimmetria e pairing si avrebbe la relazione NON REALISTICA

Il termine ac diventa importante al

crescere di Z,la linea di stabilita’ si discosta da Z=N=A/2, favorendo ZA<A/2

infatti per Z=20, A=9

I nuclidi instabili per eccesso di protoni o neutroni attivano processi di decadimento β per portarsi verso il punto di stabilita’

(10)

Abbondanza e stabilita’ dei nuclei

Abbondanza e

stabilita’ dei nuclei legati alla struttura nucleare

Nuclei proton-rich o neutron-rich diventano piu’ stabili mediante decadimento radiattivo β e γ, nuclei con A>209 preferiscono decadimento α.

(11)

Radioattivita’ e decadimenti radioattivi

Tutti i nuclidi radiattivi naturali e la maggior parte di quelli generati artificialmente sono attivi α, attivi β o ( occasionalmente ) entrambi ed emettono una combinazione di α,β e γ.

I nuclidi radioattivi che esistono nell’ambiente, insieme ai raggi cosmici dallo spazio, generano la radiazione di fondo cui noi tutti siamo soggetti

Nuclidi instabili prodotti artificialmente possono decadere emettendo protoni, neutroni o anche ioni pesanti.

Nella fissione spontanea sono emessi frammenti di massa elevata.

(12)

Emissione Alpha

Nuclei pesanti, 82<Z<92 e quelli transuranici artificiali, Z>92, decadono per emissione α; il nucleo genitore perde massa e carica.

L’emissione di α e’ preferita rispetto ad

altre particelle leggere (d,t,3He...)perche’ e’ una reazione esotermica, Q>0.

Energia cinetica disponibile

€

( A,Z ) → A − 4,Z − 2 ( )

Con nucleo a riposo, nucleo figlio e α hanno direzioni opposte e ugual momento

€

E_D

E_α = 1 / 2m_Dv_D²

1 / 2m_αv_α² = m_α m_D

€

m

_D

v

_D

= m

_α

v

_α

€

Q_α = E_α 1+ E_D E_α



  

  = Eα 1+ m_α m_D



  

  con energie cinetiche

conoscendo

€

Q e le masse, si ricavano le energie cinetiche!

€

Q_α = m

(

p − mD − m_α

)

^c² ^{= E}^D ^{+ E}^α

(13)

€

Q = B

(

⁴He

)

+ B Z − 2, A − 4

( )

^{− B Z, A}

( )

≅ 28.3 − 4 a_v + 8 3

( )

^asA^{−1 3} + 4 a_cZA^{−1 3}

(

1 − Z 3A

)

^{− 4 a}a

(

1− 2Z A

)

² ^{+ 3a}pA^{− 7 4} La dipendenza di Q da A ha un andamento sistematico

ben rappresentato dalle predizioni della formula semiempirica

La Formula semiempirica permette di calcolare con buona precisione la Q dei decadimenti e da’ un corretto Q>0 per nuclei pesanti e

predice

bene la decrescita di Q al crescere di A nella sequenza di isotopi di un nuclide.

(14)

Emissione Beta e cattura elettronica

€

A = Z + N = Const. Z → Z ±1,N → m1

Utilizzato dai nuclidi per discendere parabola di massa fino a isobaro stabile

€

Q = m

(

n − mp − me − m_υ

)

^c²

€

n → p + e⁻ +υ Nel caso di

con neutrone a riposo

€

Q = T

_p

+ T

_e

+ T

_υ ^dove

€

T_p = 0.3KeV e

€

Q ≈ E

( )

_e max = 0.782 ± 0.013MeV Il Q value value calcolato usando le masse

€

Q = 939.573MeV − 938.380MeV − 0.511MeV − m_vc²

€

= 0.782MeV − m_υ Con la precisione di misura di

€

E_e

( )

_max circa 13KeV, il neutrino ha massa zero

(15)

Calcolo di

€

Q

β ⁻

( )

Beta-decay in un nucleo

€

Z

A

X

_N

→

_{Z +1}^A

X ′

_{N −1}

+ e

⁻

+ υ

€

Qβ⁻ = m

[

_N

(

_Z^AX

)

^{− m}^N

(

^{Z +1}^A^X^′

)

^{− m}^e

]

^c²

€

m

_N =massa nucleo massa

atomica

€

m

(

^AX

)

^c² ^{= m}^N

(

^A^X

)

^c² ^{+ Zm}^e^c² ⁻ ^Bⁱ

i Z

∑

^{B.E. i-mo}_elettrone

€

Q_β =

{ [

m

( )

^AX ^{− Zm}^e

]

^{− m}

[ ⁽

^A^X^′

⁾

^{− Z + 1}

⁽ ⁾

^m^e

]

^{− m}^e

}

^c² ⁺ ^Bⁱ ⁻ ^Bⁱ

i Z +1

∑

i Z



∑

 

 



€

= m [ ( )

^A

X ^{− m} (

^A

^X ^′ ) ] ^c

²

^{= T}

^e

^{+ E}

^υ

€

T

_e

( )

_max

^{= E} (

υ

)

_max

^{= Q}

β

€

T_e ⊕ E_υ → 0 quando

Calcolo Q per 210Bi

€

→210Po

€

Q_β = 209.984095u − 209.982848u

( ) (

931.502MeV / u

)

^{= 1.61MeV} ^C.V.D.

(16)

€

β

⁺

^Decay

€

Z

A

X

_N

→

_{Z −1}^A

X

_{N +1}

′ + e

⁺

+ υ

€

Q

_β+

= m [ ( )

^A

X ^{− m} ( )

^A

^X ^′ ^{− 2m}

^e

] ^c

²

€

Electron Capture

€

Z

A

X

_N

+ e→

_{Z −1}^A

X

_{N +1}

′ + υ

€

Q_e = m

[ (

^A X

)

^{− m}

(

^A^X^′

) ]

^c² ^{= B}ⁿ

BE elettrone shell-n

N.B.

Decadimento beta positivo e cattura elettronica portano allo stesso nucleo finale ma non sempre entrambi possono essere energeticamente possibili, quando

€

Q

_e

> 0,Q

_β

< 0 seΔm ≤ 2m

_e

c

²

= 1.022 MeV

N.B.: se stato finale e’ stato eccitato

€

Q_ex = Q_ground − Q_ex

(17)

€

Electron Capture vs β ^decay

€

t_{1 2} = 2.602 y

€

90.4%

€

9.5%

€

0.06%

€

β⁺

La misura del γ permette di identificare l’isotopo radiattivo con precisione; questa tecnica e’ molto piu’ efficace che la misura del β nelle applicazioni di tracciamento,irraggiamento o imaging medicale.

(18)

Energetica:

€

E

_i

= E

_f

+ E

_γ

+ T

_R

; 0 = p r

_R

+ p r

_γ

€

ΔE = E_i − E_f = E_γ + T_R = E_γ + E_γ² 2Mc² back-to-back

calcolo

€

Emissione Gamma

€

E_γ = Mc² −1 ± 1 + 2 ΔE Mc²



  

 

 1 2



 





€

E_γ ≅ ΔE −

(

ΔE

)

²

2Mc² ricavo

€

T

_R

= p

_R²

2M

€

p_R = p_γ dato

ma

€

ΔE ≤ 10MeV << Mc

²

espandendo

€

T

_R

≈ 100eV

N.B.:

per γ di 5-10MeV , possibile radiation damage nel lattice cristallino per spostamento di atomo

(19)

€

Conversione Interna

Compete con emissione gamma: transizione tra stati del nucleo inducono interazioni EM con elettroni atomici che risulta in espulsione elettrone.

NON e’ un processo two-step!

€

T

_e

= ΔE − B

_e

dipende dalla shell:K,L,M...

€

ΔE

Energia disponibile per emissione γ

Energia dell’elettrone sparato fuori dalla shell

Se energia sufficiente anche pair conversion

(20)

Rate del decadimanto radioattivo

€

N t

( )

^{= N 0}

( )

^e⁻^λ^t

N(t) =numero di nuclidi al

tempo t, erano N(0) a t=0.

€

λ = λ

₁

+ λ

₂

+ L

Probabilita’ di decadere per unita’ di tempo

€

τ =

∫

tdN dN =

te⁻^λ^tdt

0

∞

∫

e⁻^λ^tdt

0

∞

∫

= 1 λ

€

t_{1 2} = τ e’ il tempo ^ln2 di dimezzamento

€

A → B → C → L

Catena di decadimenti

il tempo medio di esistenza del nuclide

€

A → B

€

dN

_B

dt = − λ

_B

N

_B

+ λ

_A

N

_A moltiplico per

€

e

^λ^B^t

€

d

dt

(

N_Be^λ^B^t

)

⁼ ^λ^A^N^A

^{( )}

⁰ ^e⁽^λ^B⁻^λ^A⁾^t

€

N_Be^λ^B^t = λ_A

λ_B − λ_A ^N^A

( )

⁰ ^e⁽^λ^B⁻^λ^A⁾^t ^{+ K}

per =0 NB(0)=0 Integro

€

NB( )t ⁼ ^λ^A λB − λA

NA( )0

(

^e⁻^λ^A^t ^{− e}⁻^λ^B^t

)

Similmente per C ed altri prodotti nella catena di decadimento, arrivando alla cosidetta equazione di Bateman per la sua soluzione.

(21)

€

τ

_A

>> τ

_B

€

τ

_A

≅ τ

_B

€

τ

_A

<< τ

_B

Attivita’ A = rate decadimento di campione

radioattivo = λN

1 Curie = 3.7 1010Bq

Decay chain

(22)

Quattro serie radioattive naturali, esistenti dalla formazione della terra 4.5 x 109 anni fa: U238,U235,Np237 e Th232

(23)

(24)

(25)

Il neutrone

(26)

Il Neutrone e’ duale: corpuscolo e onda

€

•Massa:m_n =1.675 ×10⁻²⁷Kg = 939.573MeV / c²

•Carica = 0;Spin =1 / 2

•Momento dipolo magnetico:µ=1.913µ_N

•Magnetone nucleare:µ_N = eh 4πm_p = 5.051×10⁻²⁷JT⁻¹

•E = m_nv² 2 = k_BT = hk 2

(

π

)

² ^{/ 2m}ⁿ^; ^{k = 2}^{π λ} ^{= m}ⁿ^{v h 2}

(

^π

)

€

Thermal ≤ 100 ≈ 10

³

0.4 − 0.1

€

Slow ≤ 10⁶ ≈ 10⁷ 0.05 − 0.001

€

Epitherm ≤ 10³ ≈ 10⁴ 0.1 − 0.05

€

Cold ≤ 10 ≈ 10² 3 − 04

€

Type E (meV ) Temp(K ) λ

(

^nm

)

λ (nm) = 395.6/v (m/s) E(meV) = 0.02072k2 (k in nm-1)

€

Fast ≤ 2 ×10

¹⁰

≈ 10

¹¹

0.001 −10

⁻⁵

(27)

Reazioni Nucleari

Rutherford 1916 osserva:

€

α+¹⁴N→¹⁷O + p Cockcroft&Walton, 1930 primo acceleratore:

€

p+⁷Li→⁴He +α

€

≤ 10MeV / nucleone

€

100MeV − 1GeV / nucleone

€

≥ 1GeV / nucleone

Low Energy Medium Energy

High Energy

neutrone

€

a + X → Y + b ⇔ X a,b ( ) ^Y

-Scattering elastico -Scattering inelastico -Knockout reaction -Transfer reaction

Y e b sono nello stato fondamentale Y o b sono in uno stato eccitato

a e b sono gli stessi, + un altro nucleone Nucleoni trasferiti da X e Y

-Direct reaction

-Compound nucleus reaction -Resonance reaction

Interazione diretta tra a e nucleone di X a e X formano nucleo composto

Formazione di stato quasilegato

(28)

Energetica delle reazioni nucleari

€

Q = m

(

_in − m_fi

)

^c² ^{= m}

⁽

^X ^{+ m}^a ^{− m}^Y ^{− m}^b

⁾

^c²

€

= T_fi − T_in = T_Y + T_b − T_X − T_a

€

Q > 0 Q < 0 Q = 0

Prodotti finali acquistano KE

KE iniziale convertita in massa o BE Scattering elastico

θ ξ

a X

b

Y

pa

py pb

€

a + X → Y + b

€

p

_a

= p

_b

cos θ + p

_Y

cos ξ 0 = p

_b

sin θ − p

_Y

sin ξ

€

θ ^, ξ ^,T

_Y

^,T

_b

3 eq. 4 incognite :

In termini solo di Tb e

€

θ

€

T_b^{1 2} = (m_am_bT_a)^{1 2}^cos^θ ^{± m}

{

^a^m^b^T^a ^cos²^θ^{+ m}( ^Y ^{+ m}^b)

[

^m^Y^{Q + m}( ^Y ^{− m}^a)^T^a

] }

^{1 2}

m_Y + mb

Reazioni con Q>0 non hanno soglia e sono single value, diversamente

dalle reazioni con Q<0. ^€

3He n, p( )³^H

€

14N n, p( )¹⁴^C

€

14C p,n

( )

¹⁴^N

€

3H p,n

( )

³^He

€

Q < 0

(29)

Reazioni con formazione di nucleo composto

€

64Zn^*

[ ]

€

p +⁶³Cu α +⁶⁰Ni

€

63Zn + n

62Cu + n + p

62Zn + 2n

Ciascun stato iniziale puo’ produrre tutti gli stati finali

La sezione d’urto per ciascun stato finale non dipende dai reattanti iniziali Tutte le reazioni hanno lo stesso nucleo intermedio ( composto)

a + X → [C] → Y + b*

(30)

€

d + ⁶ Li → α + α

€

T

_d

= 2MeV

€

θ

€

φ

€

p r

_α₁

€

r p

_d

€

p r

_α₂

€

T_i^*

m_dc²+ m_Lic²

E*

m_Bec² 0.0

€

T_f^*

m_αc²+ m_αc²

(31)

€

64Zn^*

[ ]

€

p +⁶³Cu α +⁶⁰Ni

€

63Zn + n

62Cu + n + p

62Zn + 2n

€

T_i^* m_ac²+ m_Xc²

E*

m_C*€ c² 0.0 T_f^*

m_bc²+ m_Yc²

€

σ₍_{a ,b}₎ =σ _{a+ X →C}^* ⋅ P

C^*→b+Y

€

σ₍_{a ,b}₎ = πD² Γ_sΓ E − E_o

( )

² ^{+ Γ}² ⁴ ^⋅

Γ_i Γ

€

σ₍_{a ,b}₎ = πD² Γ_sΓ_i E − E_o

( )

² ^{+ Γ}^€² ⁴

g_J

€

g_J

€

g_J = 2J + 1 2I_a + 1

( ) (

^2IX +1

) Include spin effects

Modello di nucleo composto

Reazione in due passi - formazione del nucleo -decadimento del nucleo

(32)

Sorgenti di neutroni

€

Sorgenti α − Berillio

€

4

He+

⁹

Be→

¹²

C +n

Il Q-value della reazione e’ 5.7 MeV. Con Ra-226 si hanno Alpha di circa 5-8 MeV, lo spettro energetico dei neutroni varia fino a 13 MeV.

Neutroni non monoenergetici per via di:

- molti livelli energetici di devadimento - rallentamento nel materiale

- emissione a largo spettro angolare - possibile che C-12 sia in stato eccitato La rate e’ di circa 10**7 neutroni/sec per un Ci di

€

226Ra

€

210Po 138d

( )

^,²³⁸^{Pu 86 y}

( )

^,²⁴¹^{Am 458 y}

( )

Attualmente si impiegano

(33)

Sorgenti Fotoneutroniche

Sorgente di neutroni puo’ essere ottenuta similmente a (α,n) con una reazione (γ,n).

€

γ +

⁹

Be→

⁸

Be+n

Neutrone quasi monoenergetico, se fotone monoenergetico.

Il ²⁴Na emette γ di 2.76 MeV, maggiore energia legame neutroni.

Lo yield e’ buono, 2 10⁶neutroni/s per ogni Ci di ^24Na,

ma vita media breve (15h).

Altra sorgente di γ e’ l’isotopo ¹²⁴Sb(60 d) che emtte un γ di energia di poco superiore all’energia di legame del neutrone, che viene emesso con una bassa energia, appena 24 KeV.

Last neutron BE per il Be-9 e’ di solo 1.66 MeV.

(34)

Fissione spontanea

Isotopi iperuranici, quali il ²⁵²Cf(2.65 y) soggetti a fissione spontanea costiuiscono ottime sorgenti di neutroni.

I neutrroni vengono prodotti direttamente nel processo ad una rate di circa 4 neutroni per fissione

La rate di fissione, nel ²⁵²Cf e’ del 3%, con decadimento alpha 97%. Lo yield e’ di 2.3x10**12 n/s/g oppure di 4.3x10**9 n/s per Ci.

Energia media dei neutroni e’ di 1-3 MeV, tipica del processo di fissione

Un limite e’ l’alto costo, (e’un prodotto transuranico artificiale), e la vita media di dimezzamento corta, appena 2.65 anni.

(35)

Reazioni Nucleari

Neutroni sono prodotti in reazioni nucleari indotte da particelle con acceleratori.

Scegliendo energia particella incidente e angolo emissione neutrone, si ottiene fascio neutroni monoenergetici di energia desiderata.

Le reazioni piu’ comunemente usate sono:

€

3H + d→⁴He + n Q = +17.6 MeV

9Be+⁴He→¹²C + n Q = +5.7MeV

7Li + p→⁷Be + n Q = −1.6MeV

2H + d→³He + n Q = +3.3MeV

Ill grafico mostra la dipendenza dell’energia dall’energia incidente e dall’angolo nella reazione n.1

(36)

I reattori come sorgenti di neutroni

In un reattore a fissione si ha un alto flusso di ~1014

neutroni/cm2/s. Lo spettro energetico si estende fino a 5-7 MeV con un picco a 1=2 MeV.

Questi vengono rallentati, ma esiste pur sempre una certa percentuale di neutroni veloci. Estraendo questi neutroni e

selezionando la loro energia si possono ottenere fasci di neutroni per attivita’ di ricerca ed industriali.

Gli alti flussi dei neutroni nei reattori, di ricerca, sono anche usati per la produzione di radioisotopi, mediante cattura neutronica o attivazione neutronica o nucleosintesi.

(37)

Lo spettro dei neutroni prompt come essi sono prodotti in un evento di fissione e’ il risultato dell’evaporazione da un nucleo originariamente eccitato.

La distribuzione riflette la distribuzione delle energie dei neutroni nel nucleo.

Per ottenere dei neutroni termici si debbono rallentare e quindi trasportarli fuori dal reattore.

(38)

Spallazione

L’urto di una particella energetica, protone, >1 GeV, su nucleo pesante produce una reazione chiamata “spallation”.

Reazione in due tempi: prima eccitazione del nucleo, in secondo tempo evaporazione

Protoni sparati in bunch su atomi alto A, es. tungsteno, mercurio producono neutroni impulsati

In media sono espulsi 30-40 neutroni per ogni protone incidente.

€

q +

^Aⁱ

Z

_i

→

^A^f

Z

_f

+ n

_p

p + n

_n

n + n

_d

d + n

_α

α + L

(39)

European Spallation Source Project

(40)

I neutroni impulsati sono rallentati e portati alle aree sperimentali attraverso beam guide apposite.

Hanno intensita’ 50-100 volte maggiore neutroni da reattore.

Ogni impulso di neutroni contiene neutroni

con range di energia e lunghezza d’onda diverse, che possono essere separati lungo un cammino di pochi metri e permettere l’analisi

mediante TOF.

Possibile effettuare misure con spettro continuo

per ogni impulso

(41)

Fraser(circa 1965) ha trovato sperimentalmente una relazione tra yield e spessore targhetta in funzione dell’energia dei protoni incidenti.

Yield lineare con l’energia dei protoni significa una rate di produzione di neutroni costante per unita’ di tempo di potenza del fascio di protoni.

Per un fascio di 1 GeV di protoni

su una targhetta sottile di tungsteno si hanno in media 10 neutroni per protone incidente, circa 1 neutrone ogni 56 MeV di energia del protone.

(42)

Lo spettro energetico e la distribuzione angolare dei neutroni mostra che per neutroni di energiasotto 1 MeV c’e’ un picco quasi isotropo,

sopra i 10 MeV la interazione diretta dei neutroni domina la distribuzione favorendo la distribuzione in avanti.

(43)

Assorbimento e rallentamento dei neutroni

Un fascio di neutroni e’ attenuato a causa delle reazioni nucleari innescate nel materiale attraversato;

-per neutroni veloci le reazioni piu’ probabili sono le (n,p), (n,α) o (n,2p) -per neutroni lenti o termici e’ la cattura in forma di (n,γ)

Al di fuori della zona delle risonanze, attorno ad 1 eV, la sezione d’urto decresce al crescere della velocita’, come 1/v; piu’ sono lenti piu’ sono assorbiti.

L’intensita’ decresce come

vale solo per neutroni monoenergetici,

perche’ σ dipende da energia

dove σt= sezione d’urto totale N = densita’ atomica

dx = spessore materiale

σt=σs+σa

€

I = I

₀

e

^{− Nσ}^t^x

(44)

In termini di sezione d’urto macroscopica l’intensita’ trasmessa diviene

€

I = I

₀

e

^{− Σx}

= I

₀

e

^{−x /}^λ

€

Σ = Nσ

€

λ = 1/ Σ

con

essendo λ la lunghezza di attenuazione media, che e’ uguale al libero cammino medio. La probabilita’ di trovare un neutrone tra x e x+dx e’

proporzionale a exp(-x/λ) e quindi il cammino medio si trova come la distanza media percorsa prima di interagire

€

xe^{− x/}^λdx

0

∞

∫

e^{−x /}^λdx

0

∞

∫

= λ

€

Σ = N(σ

_s

+ σ

_a

) = Σ

_s

+ Σ

_a

€

1 λ ⁻

1 λ_s ⁺

1 λ_a

La sezione d’urto macroscopica sara’ relazionata alle sezioni d’urto di scattering e assorbimento

e il libero cammino medio sara’

€

σ

_a

>> σ

_s neutroni assorbiti prima di scatterare

€

σ

_s

>> σ

_a neutroni subiscono molti scattering e perdono energia, slowing down

(45)

E m

v

M

E’,v’

m M

v*

Vcm v’

w*

Laboratorio C.M.

€

mv = (m + M)V

_cm

nel CM la Vcm

nel CM energia cinetica neutrone e targhetta conservata, nel Laboratorio la velocita’ del neutrone = somma velocita’ CM + velocita’ neutrone nel CM

€

v = v

^∗

+ V

_CM

ma

€

v^∗ = vM m + M

( )

^e

si ha

€

v'

²

= v *

²

+V

²^CM

+ 2v V*

_CM

cos θ Slowing down dei neutroni

€

v '= r r

v +* r

V

_cm

(46)

€

E' /E = (v' /v)

²

Sostituendo v* e Vcm e ricordando che

Si ottiene l’energia del neutrone scatterato nel laboratorio

€

E'= E M² + m² + 2Mm cosθ M + m

( )

²





 





 

Se

€

θ = π

Si ottiene il valore dell’energia minima assunta dal neutrone dopo lo scattering

€

E '(min) = E M − m M + m



  

 

2

=αE

(47)

Quindi:

urto elastico neutrone, A=1, energia iniziale E con atomo massa A a riposo.

L’energia dopo urto E’ vs E

€

E'

E = A² + 1+ 2Acosθ A + 1

( )

²

misurato nel C.M.

θ =180⁰ collisione centrale, minimo di Energia del neutrone

€

E'(min)

E =

(

A −1

)

²

A + 1

( )

² ⁼ ^α

Per energie <10 MeV, urto isotropico in CM, quindi indipendente da θ

€

P(θ^)dθ = 2π ^sinθ^dθ 4π ⁼

1

2 sinθ^dθ = −P( E ')dE'

€

dE ' dθ ^{= −}

2 AE'sinθ A + 1

( )

²

ma

€

P( E' )dE'=

(

A + 1

)

²

4AE dE'= dE'

1−α

( )

^E

Energia del neutrone,dopo urto, uniformemente tra E’(min) ed E.

(48)

Dopo ogni collisione il neutrone perde in media

€

E ' = 1

2

(

1 −

α )

^E

La perdita frazionaria di energia dopo ogni urto e’ sempre uguale.

Decremento logaritmico dell’energia ε dopo ogni singola collisione.

Per urto isotropico nel CM

indipendente da energia iniziale

€

ξ = ln(E / E')

€

= ln(E / E')P(E')dE'

αE E

∫

€

ξ

= 1

1 −

α

₁ ^{ln xdx =}

α

∫

¹⁺ _{1 −}

^α _α

^ln

^α

€

x = E'

prendendo

E

(49)

dopo n collisioni

Un espressione semplice, precisa al 1%, di ξ per A>6 mostra

il n di urti necessari per rallentare un neutrone dall’energiainiziale E all’energia media E’ saranno

€

Nucleo α ε n.Urti

1H 0 1.000 18

2H 0.111 0.725 25

4He 0.360 0.425 43

12C 0.716 0.158 115

238U 0.983 0.0084 2200

Nel regime termico la distribuzione delle energie dei neutroni

sara’ piu’ correttamente descritta dalla distribuzione maxwelliana delle velocita’ perche’ saranno in equilibrio termico con il moderatore a temperatura T

€

ξ = ln E − ln E'

€

ln E ' = ln E − n ξ

€

ξ = 2

A − 4 3A²

€

n = 1

ξ ln E E'

(50)

€

f (v)dv = 4πn( m

4πkT )

^3/2

v

²

e

^−mv²^{/ 2kT}

dv

€

f ( E)dE = 2 π n

( π kT)

^3/2

E

^1/2

e

^{−E / kT}

dE

La distribuzione maxwelliana delle velocita’ del neutrone in equilibrio termico col moderatore sara’ quindi

che in termini di energia si scrive

(51)

Rivelatori per neutroni

Dato di fatto e’ che i neutroni non ionizzano, rivelati attraverso prodotti ionizzanti generati reazioni indotte, quali (n,p),(n,a)(n,g)o (n,fissione).

Reazioni utilizzate:

€

10

B + n→

⁷

Li

^∗

+ α + 2.8MeV

€

3

He + n→

³

H + p + 0.76MeV

€

6

Li + n → ( )

⁷

Li ^→

³

^He+

⁴

He + 4.8MeV

stato eccitato di 0.48MeV Si usano camere a ionizzazione con BF3 o contatore

proporzionalefatto di boro metallico o composto di boro.

Altra reazione

Oppure

Questa reazione non produce stati eccitati nei prodotti finali per cui e’

preferita quando non c’e’ schermatura dai raggi gamma

(52)

La sez.d’urto per le 3 reazioni sono molto grandi per i neutroni termici e varia come 1/v fino a valori di centinaia di KeV, cio’

permette di calcolare facilmente la densita’

dei neutroni.

€

dR = N σ ^n(v)vdv

R=Rate di conteggio N=nuclei di Boro

n(v)dv=n.neutroni per unita’ volume e velocita’ compresa tra v e v+dv.

€

R = Nσn(v)vdv = NC n(v )dv = NCn ∫ ∫

ora

€

σ ∝1 /v

€

C ∝ σ v

La Rate di conteggi e’ proporzionale alla densita’ di neutroni per ogni distribuzione di velocita’, finche’ vale la 1/v.

n(v)vdv=flusso di neutroni attraverso il rivelatore

(53)

Altra tecnica per misurare l’intensita’ del flusso di neutroni:

- Esposizione ad un materiale che diventa radioattivo per cattura neutronica Bisogna conoscere bene la sezione d’urto di

cattura per le varie energie, si misura la radiattivita’ indotta..

-Misura della velocita’

dei neutroni con un selettore di velocita’ realizzato con materiale che assorbe molto i neutroni termici

-Tempo di Volo,ToF, per i neutroni termici.

I neutroni termici hanno una velocita’

di circa 2200 m/s facilmente misurabile.

(54)

Misure di energia:

- in regime termico si usa la diffrazione con cristalli.

la lunghezza d’onda di deBroglie e’ circa 0.1 nm stessa dimensione lattice cristallino

Legge di Bragg

€

nλ = 2d sinθ

- in regime veloce si usa la tecnica del recoil

scattering tra neutrone e targhetta leggera (H,2H,3He,4He,...)

€

(E_R)_max = E − E '_min = E 4 A ( A + 1)² La Er max per H=E,

per 3He max = 0.75 E

La risposta in energia dovrebbe essere uno spettro uniforme lungo tutto il range, ma viene modificato nella parte bassa dalla non linearita’ dello scintillatore.

(55)

Per Idrogeno (ER)max= E , per 3He, (ER)=0.75E

Non linearita’ dello scintillatore

Risoluzione del rivelatore

Spettro di neutroni monoenergetici di 14 MeV in uno scintillatore N.B. l’efficienza degli scintillatori nel rivelare protoni di rinculo , caso neutroni veloci, e’ 50%

(56)

Reazioni neutroniche e sezioni d’urto

La sezione d’urto “geometrica” non spiega l’andamento 1/v a basse energie perche’ basata su un modello assorbimento totale., ma bisogna tener conto della probabilita’ che ci sia riflessione della funzione

d’onda.

€

σ = π(R + λ / 2π )² kK (k + K)²

€

K = 2m( E'+Vo) /h² k = 2mE /h²

per E<<Vo e k<<K con

ricordando che λ/2π >>R

€

σ = 4π kK

€

λ ^{/ 2} π = k

⁻¹

e k = p / h percui σ ∝1 / v

Al crescere dell’energia le proprieta’

medie prevalgono, somma sulle risonanze, quindi buona la stima geometrica della sezione d’urto

€

σ

_t =

π

(R +

λ

/ 2

π

)

€

R = R_oA^{1/ 3} con

(57)

Cattura Neutronica

Nel processo di cattura neutronica, per neutroni termici, il processo piu’ probabile e’ (n,γ)

€

(Z, A) + n → (Z, A + 1) + γ

Nel decadimento g tutti gli stati eccitati possono essere occupati tenuto conto delle regole di selezione

La cattura neutronica e’ un mezzo per spettroscopia degli stati

eccitati del nucleo catturante

(58)

Importante il caso in cui lo stato fondamentale del nucleo dopo cattura e’ lo stesso del nucleo radioattivo, quindi se (Z,A+1) instabile

€

(Z, A + 1) → (Z + 1, A + 1) + β⁻ +ν

€

Α = 0.602 m

A σ φ

3.7 •10

¹⁰

(1− e

⁻^λ^t

)

In questo caso, quando il nuclide e’ sottoposto ad un fascio di neutroni termici la sua attivita’ aumenta

dove σ e’ la sezione d’urto di cattura, φ il flusso di neutroni termici (neutroni/cm2/s) e t durata bombardamento neutronico.

Conoscendo σ e φ si puo’ fare analisi qualitativa e determinare m, questa tecnica va sotto il nome di Neutron Activation Analysis, NAA.

(59)

Neutron Scattering

(60)

- I neutroni interagiscono con i nuclei atomici via forze a corto range (~fm) - I neutroni interagiscono anche con elettroni spaiati via int. dipolo magnetico In un tipico esperimento di neutron scattering si illumina il campione di materia con un flusso di neutroni e si misura la distribuzione spaziale dei neutroni scatterati o/e la variazione della loro energia.

(61)

(62)

Sezioni d’urto

€

d²σ

dΩdE =Numero neutroni scatterati per secondo in dΩ& dE ΦdΩdE

€

d σ

dΩ =Numero neutroni scatterati per secondo in dΩ ΦdΩ

€

Φ = Numero di Neutroni incidenti per cm² per secondo

€

σ = Numero di Neutroni scattterati per secondo / Φ

€

σ = in barn: 1 barn = 10^-24cm²

Attenuazione=exp (-Nσt) N= #Atomi/unita’ di volume t = spessore (cm)

(63)

Scattering da un singolo nucleo (fisso)

Il range delle forze nucleari (~1 fm)

<<λ del neutrone, scattering point- Energia del neutrone troppo piccola per like cambiare energia del nucleo e il neutrone non puo’ trasferire KE al nucleo fisso, scattering e’ elastico.

Si considera solo scattering lontano dalle risonanze nucleari, dove l’assorbimento e’ trascurabile

€

vdS |ψ_scatt |²= vdSb² / r² = vb²dΩ

Il numero di neutroni che passano attraverso un’area S per secondo dopo lo scattering e’:

€

Φ = v | Ψ

_inc

|

²

= v

€

d

σ

dΩ = vb²dΩ

ΦdΩ = b²

€

σ

_tot

= 4 πb

²

Il numero di neutroni incidenti attraverso l’area unitaria e’

per cui e quindi

b=scattering length: caratteristica di ogni isotopo, definita sperimentalmente

(64)

Notare come b sia circa la meta’ del raggio nucleare

(65)

Scattering di neutroni da Materia

Lo scattering non e’ necessariamente elastico, perche’ i singoli atomi nella materia sono liberi di muoversi, attorno a certe posizioni.

Possono acquistare o cedere energia e momento.

€

Momentum Transfer h

2π Q = h

2π (k − k')

Q = vettore di scattering Negli esperimenti di scattering da neutroni si misura l’intensita’ dei neutroni scatterati,

per neutrone incidente, come una funzione delle variabili Q ed ε, I(Q,ε)= neutron scattering law.

Van Hove (1954) ha mostrato che la legge dello scattering puo’ essere scritta esattamente in termini di correlazione time-dependent tra le posizioni di coppie di atomi nel campione, vale a dire che la I(Q,ε) e’ proporzionale alla

trasformata di Fourier di una funzione che da’ la probabilita’ di trovare due atomi ad una certa distanza.

(66)

Due tipi di effetti:

Scattering coerente: in cui la funzione d’onda del neutrone interagisce con la materia come un tutt’uno cosicche’ le onde scatterate dai diversi nuclei interferiscono tra di loro.

Lo scattering dipende dalla posizione relativa dei singoli atomi e cosi’ si ha informazione sulla struttura del materiale.

Scattering coerente elastico

€

ε = 0

( ), informazioni su struttura atomica in equilibrio Scattering coerente inelastico

€

ε ≠ 0

( ), informazioni su moti collettivi degli atomi Scattering incoerente: la funzione d’onda del neutrone scattera

indipendentemente con ciascun nucleo del materiale cosicche’ le monde scatterate da differenti nuclei NON ineterferiscono, ma si sommano incoerentemente.

Lo scattering incoerente puo’ essere dovuto all’interazione dell’onda del neutrone con lo stesso atomo ma in posizione e tempi diversi.

Lo scattering incoerente fornisce informazioni sulla diffusione atomica.

(67)

Diffrazione o scattering di Bragg

Uno scattering elastico coerente e’ la diffrazione

Per un lattice tridimensionale con un singolo isotopo, la legge dello scattering di Van Hove si scrive semplicemente:

€

I Q

( )

⁼ ^b²^coh

j ,k

∑

^e^{iQ⋅ r}⁽ ^j^{− r}^k⁾

€

= b²^coh e^iQ⋅r^j

j

∑

2

≡ S(Q)

rj,rk posizioni atomi j,k

bcoh lunghezza di scattering coerente degli atomi j,k

S(Q) =intensita’ misurata in un esperimento di diffrazione neutronica con un cristallo reale S(Q): Funzione di Struttura

La S(Q) e’ una somma incoerente su molti nuclei, in media vale zero, eccetto per certi valori unici di Q.

(68)

€

S(Q) ≠ 0 solo per certi valori di Q Q relazionata a

€

r_j− r_k distanza tra atomi

Quali valori di Q per diffrazione?

Se Q perpendicolare a un piano atomico

€

Q = n ⋅ 2π ^{/ d}

€

Q⋅ (r_j − r_k) = n ⋅ 2π

€

(r_j − r_k) = d

S(Q) e’ NON zero perche’ ciascun termine esponenziale vale UNO

Quando

Q deve essere perpendicolare ai piani degli atomi nel lattice ed il suo valore deve essere un multiplo intero di 2π/d I valori di Q per cui si ha diffrazione neutronica sono soddisfano alla relazione di Bragg (1912) per la diffrazione della luce.

€

Q = n(2π / d) = 2k sinθ

€

essendo λ = 2π / k si ha la legge di Bragg nλ = 2dsinθ