Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare A.A. 2006/7

Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2006/7

Il corso, inizialmente, riprende brevemente alcuni argomenti sviluppati nel corso di IFNS, che sono alla base delle molteplici applicazioni che hanno beneficiato delle ricerche della Fisica Nucleare.

Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su:

I)Metodi della Fisica Nucleare e Fisica del neutrone II) Energia dalla Fusione e Fissione nucleare

III) Applicazioni Industriali ed Analitiche

Testi di riferimento:

- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley

- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley

- Nuclear Methods in Science and Technology - Y.M.Tsipenyuk, IoP

Proprieta’ del nucleo, Tecniche nucleari, Acceleratori, Sensori

Unita’ di massa atomica ^, u= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

Binding Energy , B/c2 = Zmp + Nmn - m(A,Z) Mass Excess (amu), Δ = m(Α,Ζ) − Α

Δ < 0 , 20 < Α < 180, nuclidi stabili

Δ > 0 , 20 > Α > 180, nuclidi instabili

€

B

A = M

_n

− Z

A ( M

_n

− M

_H

) ^{− M}

L’energia media per nucleone A

€

= M (

_n

−1 ) ^{− Z}

A ( M

_n

− M

_H

) ^{− Δ}

dominante

€

B

A ≅ 0.008982 − 0.46(0.000840) + 0.0006

= 0.0092amu / nucleone

= 8.5MeV / nucleone

Per 40Ca<A<120Sn, <Z/A> = 0.46

amu/nucleon

Q-value e reazioni nucleari

Per ogni reazione a due corpi

Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-value Q>0 reazione esotermica

Q<0 reazione endotermica

€

5

10

B + n→

₃⁷

Li + α + Q Q = B Li ( ) ^{+ B} ( ) ^{α − B B} ( )

= 39.245 + 28.295 − 64.750

= 2.791MeV

Energia di Separazione

Energia di legame per un singolo nucleone separato dal nucleo

€

S

_a

= M [

_a

( ) A

^'

,Z

^'

^{+ M A − A} (

^'

^{,Z − Z}

^'

) ^{− M A,Z ( )} ] ^c

²

Last Neutron binding energy

€

S

_n

= M [

_n

+ M A −1,Z ( ) ^{− M A,Z} ( ) ] ^c

²

Numeri Magici ->Modello a shell

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ M [ (

_i

+ M

I

) ^{− M} (

^f

^{+ M}

^F

) ] ^c

²

Q = T

_f

+ T

F

− T (

i

+ T

I

) ^{= B f} ( ) ^{+ B F} ( ) ^{− B i} ( ) ^{− B I} ( )

Abbondanza e stabilita’ dei nuclei

Abbondanza e

stabilita’ dei nuclei legati alla struttura nucleare

Nuclei proton-rich o neutron-rich diventano piu’ stabili

mediante decadimento radiattivo β e γ, nuclei con A>209

preferiscono decadimento α.

€

M A,Z ( ) ^c

²

^{≈ A M} [

n

c

²

− a

_a

+ a

_s

/ A

^{1/ 3}

] ^{+ xZ + yZ}

²

^{− δ}

dove x = −4 M (

_n

− M

_H

) ^c

²

^{≅ −4a}

a

; y = 4a

_a

A + a

_c

A

^1/3

Parabola della massa e stabilita’

Dalla formula di Weizsaecker, si ricava M(A,Z), con i coefficienti, di volume, superficie, carica, asimmetria e pairing, ricavati fittando le masse.

€

a_a =16,a_s= 18,a_c= 0.72, a_a = 23.5,a_p = ±11 / A

€

Z_A ≈(M_n − M_H)^c2A1/3

2a_c ≈ 0.9A^1/3

Per A costante la Z assume forma di parabola con minimo in

€

Z_A − x / 2y ≈ A / 2 1+1

4 a_c a_a



  

  A^{2/ 3}

Senza il termine di asimmetria e pairing si avrebbe la relazione NON REALISTICA

Il termine ac diventa importante al

crescere di Z,la linea di stabilita’ si discosta da Z=N=A/2, favorendo ZA<A/2

infatti per Z=20, A=9

I nuclidi instabili per eccesso di protoni o neutroni attivano processi di decadimento β per portarsi verso il punto di stabilita’

Modelli nucleari

Nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantistico a molticorpi.

Impossibile sviluppare teoria esatta della struttura nucleare.

Sono due i tipi base di modello nucleare semplice:

1. Un sistema collettivo senza stati di particella individuale. Un esempio e’ il Liquid Drop Model che e’ alla base della formula

semiempirica.

2.Un modello a particella individuale con i nucleoni in stati di

energia discreta, per es. il Fermi Gas Model o lo Shell Model.

Modello a goccia ^:

* per spiegare la stabilita’ della materia nucleare,

* perche’ i nuclei stabili hanno un certo numero di protoni e neutroni,

* per calcolare la energia di legame dei nuclei stabili ed instabili

Modello a shell ^:

* per tener conto della struttura dei livelli energetici,

* per permettere di calcolare la istemazione dei livelli e la loro densita’,

* per fornire una descizione dlle proprieta’ dinamiche del nucleo.

Modello a goccia

Sperimentalmente e non

Weizsaecker(1935), propose il modello di nucleo a goccia di liquido carico incompressibile.

€

V ∝ A

€

V ∝ A

²

€

α

= 15.75MeV ,

β

= 17.8 MeV,

γ

= 0.71MeV

ε

= 23.7 MeV,

δ

= 12MeV con k = +1,0,−1

La formula e’ uno strumento indispensabile per studiare le proprieta’ di stabilita’ dei nuclidi artificiali sconosciuti e di ottenere chiare indicazioni dei processi

di decadimento dei differenti nuclei

€

E

_b

= α A − β ^A

^2/3

− γ ^Z

²

^A

^−1/3

− ε (N − Z)

²

A

⁻¹

+ k δ ^A

^{−1/ 3}

Modello a Shell

Basato sul modello a shell atomico che spiega le proprieta’ periodiche degli atomi in termini di occupazione dei livelli energetici elettronici.

Quando il gruppo di livelli energetici associati con una shell sono tutti

occupati si hanno atomi particolarmente stabili (chimicamente)-i gas nobili.

Nel caso nucleare ci sono particolari

valori di Z e N ( cosidetti numeri magici) che sono significativi per quanto

riguarda la struttura dei nuclei.

1. C’e’ un gran numero di isotopi, isotoni a quei particolari valori. Evidenziato

dall’abbondanza degli elementi

2. Gli elementi stabili al termine delle principali serie radioattive hanno un numero magico di neutroni e/o protoni

3. La sez.d’urto dei nuclei con numero magico N di neutroni e’ due ordini di grandezza inferiore a quella degli altri.

Indice che il nucleo e’ molto legato

4. I momenti di quadrupolo elettrico debbono essere zero per nuclei con shell complete perche’ essi hanno simmetria sferica

5. Nuclei con shell chiuse sono relativamente stabili e richiedono una considerevole energia per portarli fuori dallo stato fondamentale.

La lista di numeri magici per Z o N

2,8,(14),20,28.50,82,126

Un modello dellla struttura del nucleo deve includere la spiegazione dei numeri magici.

Il modello a shell e’ quello piu’ accreditato.

Si basa sull’approssimazione di singola particella

in cui l’effetto di tutti gli altri nucleoni e’ rappresentato da un potenziale

.

€

V (r) = −V (0) /(1+ e

^{( r−b )/a}

)

con V(0)≈60 MeV,b≈1.25 A1/3fm, a≈0.65fm

da exp. di scattering

€

Ψ(r) = R

_nl

(r)Υ

_lm

(θ,φ)

Le

€

Ψ

_lm

sono le stesse armoniche sferiche delle funzioni d’onda dell’atomo di idrogeno e l’equazione per la funzione radiale

€

R

_nl

puo’ essere scritta come

Per un potenziale centrale le variabili si possono separare e la funzione d’onda prende forma

€

d

²

(rR

_nl

) / dr

²

+ 2m h

^-2

[E - V(r) - l(l - 1) h

²

(2mr

²

)

⁻¹

](rR

_nl

) = 0

Il termine rappresenta l’effetto centrifugo del momento angolare

Per momento angolare zero un’approssimazione semplice per una buca quadrata finita

V(r)=-V(0) per r<b V(r)= 0 per r>b ha forma

rRnl=Asin(kr) per r<b

rRnl=Bexp(-Kr) per r>b dove k=nπ/b,

€

K = (-2mR)

^1/2

/ h A,B ed E si ricavano imponendo la continuita’ per r=b.

N.B. per E solo certi valori permessi.

€

l(l -1) h

²

(2mr

²

)

⁻¹

I livelli nell’ordine sono:

I totali non sono in accordo con i “numeri magici”, manca l’accoppiamento spin-orbita, della forma

V(r)l•s ----> attrattivo per j=l+1/2 repulsivo per j=l-1/2

effetto sul potenziale del

termine spin-orbita

Col modello a shell si spiegano : - i momenti angolari,

- i Momenti magnetici,

- i Momenti di quadrupolo elettrico - gli stati rotazionali del nucleo

deformato.

Livelli energetici nucleonici nel nucleo

€

ΔE

ls

= (l + 1 / 2) h

²

C

_ls

Lo splitting dei livelli energetici per l’accoppiamento spin-orbita cresce con l, importante per nuclei pesanti

dove l grande.

costante interazione

spin-orbita

Predizione del modella a shell

a.

Momenti angolari

Nuclei E-E monento angolare nullo

Nuclei E-O momento angolare del nucleone O

Nuclei O-O no predizione

b.

Momenti magnetici

Nuclei O hanno MM del nucleone O µ/µN = (j-1/2)gl+gs se l=j-1/2 per nucleone O

µ/µN={(j+3/2)gl-gs}[j/(j+1)] se l=j+1/2 per nucleone O

c.

Momenti di quadrupolo elettrico

gl=1 per p, 0 per n, gs=2.79 per p, -1.91 per n

Per solo protone O Qp~-R2(2j-1)/2(j+1) --->Qn per Nuclei E-E Q--->0

In buono accordo

Il modello non spiega i momenti di quadrupolo elettrico, molto grandi, per i nuclei con A compreso tra 150-190 e >200. spiegati da modello collettivo

Stati nucleari eccitati

Come risultato di reazioni nucleari e/o trasformazioni nucleari un nucleo puo’ anche occupare stati di energia al di sopra dello stato fondamentale, tutti questi stati eccitati formano lo spettro di eccitazione del nucleo atomico.

Livelli eccitati

Singola particella

Moto collettivo rotazionale del nucleo

Stati vibrazionali della superficie nucleare

Il modell a shell di singola particella descrive bene gli stati eccitati solo per shell chiuse, lontano dei nuclei magici effetti cooperativi tra nucleoni diventano dominanti e si hanno fenomeni di moto coordinato di nucleoni- many-particle motion.

Nuclei con shell chiuse -->nuclei sferici-->moti vibrazionali della superficie

Nuclei deformati--> moti rotazionali

Modello a goccia descrive bene moti rotazionali e vibrazionali e stati eccitati nucleari

Schema di vibrazioni nucleari

ottuppolo l=3 quadrupolo l=2

Frequenza delle vibrazioni superficiali

€

ω

_l

= (k + k

_C

) / µ

€

k = 1 2

4 πα D

²

R

²

Termine di supericie con α coefficiente di tensione superficiale

€

k

_C

= −3Z

²

e

²

/ R

³

Coefficiente di variazione dell’energia Coulombiana con la deformazione da cui l’energia

vibrazionale di quadrupolo

€

hω

quad

≅ (2 − γ) / A MeV

€

µ ≅ 3 D

R m

massa in vibrazione del nucleo

La relazione fornisce stime dei livelli vibrazionali in buon accordo con i valori

misurati, es. per il Nickel da’ un valore del primo livello eccitato di circa 3.5MeV

€ γ = 0.047Z

²

/ A

Ec/ Es nucleo sferico

Il nucleo deformato presenta anche stati eccitati di bassa energia dovuti alla rotazione

€

E_rot = E₀ + h²

2ℑ J(J + 1)

Livelli rotazionali per 167Er Livelli rotazionali per 166Er

Momento d’Inerzia Eo --> Energia dello stato

base della banda rotazionale

J=l+s

Le bande rotazionali si aggiungono allo stato fondamentale

ed a ciascun stato eccitato

Nei nuclei e-e per simmetria la differenza di momento angolare tra livelli rotazionali successivi e’ la stessa ed e’ uguale a 2

I=0+,2+,4+,...

Vibrazioni di dipolo nucleare

Nel nucleo esiste un particolare moto collettivo: vibrazione della massa neutronica relativa alla massa protonica: vibrazioni di dipolo nucleare.

Conseguenza: separazione parziale dei protoni dai neutroni. Le energie di queste vibrazioni sono alte, circa 15-20 MeV, risonanze giganti.

Energia delle risonanze giganti dipende da A.

In un oscillatore la frequenza di risonanza

€

ω₀= k / m

con k = rigidita’ dell’oscillatore e m=massa vibrante

Nel caso di vibrazioni di dipolo k e’ proporzionale alla frazione di nucleoni shiftati, quindi alla superficie.

€

ω

₀

= k / m ∝ R

²

/ R

³

∝ R

^−1/2

∝ A

^−1/6

Ad energie di eccitazione attorno a 5-6 MeV il numero dei livelli nucleari e’ molto grande, specie per nuclei pesanti, e quindi la separazione e’ molto piccola. Difficile definire gli stati quantici dei livelli.

Importante e’ la densita’ dei livelli e la loro dipendenza dall’energia:

modello statistico del nucleo

Sperimentalmente si e’ visto che la densita’

dei livelli e’ esprimibile come

€

ρ(E ) = Ce

^{2 αE}

con a e C calcolate derivate da considerazioni statistiche del modello.

In particolare per energie tra 3-5Mev la relazione diventa

€

ρ

( E) ∝ 1

T exp(E − E₀ T )

e

€

ΔE = 1 / ρ(E)

Temperatura del nucleo

Tipica struttura dello spettro dei livelli di energia degli stati nucleari eccitati (sinistra) e dipendenza dall’energia della sezione d’urto (destra).

Radioattivita’ e decadimenti radioattivi

Tutti i nuclidi radiattivi naturali e la maggior parte di quelli generati artificialmente sono attivi α, attivi β o ( occasionalmente ) entrambi ed emettono una combinazione di α,β e γ.

I nuclidi radioattivi che esistono nell’ambiente, insieme ai raggi cosmici dallo spazio, generano la radiazione di fondo cui noi tutti siamo soggetti

Nuclidi instabili prodotti artificialmente possono decadere emettendo protoni, neutroni o anche ioni pesanti.

Nella fissione spontanea sono emessi frammenti di massa elevata.

Decadimento Alpha

Per nuclei alpha-attivi vale la relazione empirica , Geiger-Nuttal

€

lnT

_1/2

= a + b / E

con T (sec), E energia della alpha emessa (MeV) Z n.Atomico nucleo figlio e a, b costanti

€

a ≈ −1.6Z

^2/3

− 21.4, b ≈1.6Z

nel nucleo i 4 nucleoni (2p+2n) sono indistinguibili, ma esiste una probabilita’ (~ 10-6) che i 4 nucleoni in un certo breve tempo si trovino in prossimita’ FORMARE un gruppo di 4 nucleoni.

La particella alpha pero’ e’ distinguibile solo separata dal nucleo ed a grande distanza ( su scala nucleare).

Il decadimento e’ possibile se #E = E(A-4,Z-2 + Ea - E(A,Z) > 0 Eb di una particella α e’ ~ 28 MeV,

~ 7 MeV/nucleone,

il decadimento possibile solo

per nuclei con energia di legame

media inferiore a ~7 MeV/nucleone.

La costante di decadimento e’ uguale al prodotto della Probabilita’ di trovare la α fuori dal nucleo con energia E per la probabilita’ che la α si trovi sul bordo del nucleo

E modificata dal momento angolare del nucleo nel rinculo

€

E = 1

2 mv

²

+ L

²

/ 2mr

²

+ U(r) L=mvtr

momento angolare del nucleo figlio La variazione di momento angolare dovuto al decadimento α

aumenta lo spessore effettivo della barriera e aumenta λ1/2 del decadimento.

L’aumento di λ1/2 dipende dal rapporto

per Z=90, z=2,R=10-12 cm. Effetto di l trascurabile sulla penetrabilita’

€

λ

= h

mR² P_α P_α = exp[−2

h 2m(U − E)

R r_t

∫

^dr]

€

σ = altezza barr.centrifuga

altezza barr.Coulombiana= l(l + 1)h²

2mz(Z − 2)e²R ≈ 0.002l(l + 1)

Lo spettro energetico del

decadimento α ha una struttura

fine piccata, in generale, all’energia max.

Energy spectrum 212Bi83

Decadimento α da

nucleo eccitato per

decadimento beta

Emissione Alpha

Nuclei pesanti, 82<Z<92 e quelli transuranici artificiali, Z>92, decadono per emissione α; il nucleo genitore perde massa e carica.

L’emissione di α e’ preferita rispetto ad

altre particelle leggere (d,t,3He...)perche’ e’ una reazione esotermica, Q>0.

Energia cinetica disponibile

€

( A,Z ) → A − 4,Z − 2 ( )

Con nucleo a riposo, nucleo figlio e α hanno direzioni opposte e ugual momento

€

E

_D

E

_α

= 1 / 2m

_D

v

_D²

1 / 2m

_α

v

_α²

= m

_α

m

_D

€

m

_D

v

_D

= m

_α

v

_α

€

Q

_α

= E

_α

1+ E

_D

E

_α



  

  = E

α

1+ m

_α

m

_D



  

  con energie cinetiche

conoscendo

€

Q e le masse, si ricavano le energie cinetiche!

€

Q

_α

= m (

p

− m

D

− m

_α

) ^c

²

^{= E}

^D

^{+ E}

^α

€

Q = B (

⁴

He ) + B Z − 2, A − 4 ( ) ^{− B Z, A} ( )

≅ 28.3 − 4 a

_v

+ 8 3 ( ) ^a

s

A

^{−1 3}

+ 4 a

_c

ZA

^{−1 3}

( 1 − Z 3A ) ^{− 4 a}

a

( 1− 2Z A )

²

^{+ 3a}

p

A

^{− 7 4}

La dipendenza di Q da A ha un andamento sistematico

ben rappresentato dalle predizioni della formula semiempirica

La Formula semiempirica permette di calcolare con buona precisione la Q dei decadimenti e da’ un corretto Q>0 per nuclei pesanti e

predice

bene la decrescita di Q al

crescere di A nella sequenza

di isotopi di un nuclide.

Decadimento ß

Processo spontaneo di trasformazione di un nucleo instabile con carica che varia #Z±1

Il processo e’ un decadimento debole,

10-14 rispetto ad interazione nucleare,

half-life dei nuclei ß-attivi piu’

lunga,

ordine di minuti e ore.

3 casi

Caso A: EZ+1 < EZ transizione possibile , decadimento ß- Caso B: EZ+1--->EZ energeticamente possibile solo se nucleo Z+1 assorbe elettrone da shell K,L,M

Caso C: EZ+1 ≥ EZ+2mc2 energeticamente proibita, ma possibile se protone acquista energia dal nucleo.

Quale momento angolare per il ß ? Momento angolare |rxp|< Rope

€

se E

_e

= T

_e

=1 MeV; p

_e

≅ 1.4 MeV / c

Ro per nucleo medio ~6 fm , Rope~2.8 10-23 MeVs

l=0 momento angolare ok

l=1 il valore del momento angolare dovrebbe

essere ~30 volte maggiore di quello richiesto per un nucleo di media grandezza.

l>1 idem

€

I momenti angolare permessi l(l +1) / h → 0, 2h,L

Decadimento ß permesso con L=0;

L=1 primo proibito, L=2 secondo proibito.

Energetica Emissione ß e cattura elettronica

€

A = Z + N = Const. Z → Z ±1,N → m1

Utilizzato dai nuclidi per discendere parabola di massa fino a isobaro stabile

€

Q = m (

n

− m

p

− m

e

− m

_υ

) ^c

²

€

n → p + e

⁻

+ υ Nel caso di

con neutrone a riposo

€

Q = T

_p

+ T

_e

+ T

_υ

^dove

€

T

_p

= 0.3KeV e

€

Q ≈ E ( )

_e max

= 0.782 ± 0.013MeV Il Q-value calcolato usando le masse

€

Q = 939.573MeV − 938.380MeV − 0.511MeV − m

_v

c

²

€

= 0.782MeV − m

_υ

Con la precisione di misura di

€

E

_e

( )

_max

circa 13KeV, il neutrino ha massa ~zero

Calcolo di

€

Q

β ⁻

( )

Beta-decay in un nucleo

€

Z

A X _N → _{Z +1} ^A X ′ _{N −1} + e ⁻ + υ

€

Q

β⁻

= m [

_N

(

_Z^A

X ) ^{− m}

^N

(

^{Z +1A}

^{X ′} ) ^{− m}

^e

] ^c

²

€

m

_N

=massa nucleo massa

atomica

€

m (

^A

X ) ^c

²

^{= m}

^N

(

^A

^X ) ^c

²

^{+ Zm}

^e

^c

²

^{− B}

ⁱ

i Z

∑ ^{B.E. i-mo} _elettrone

€

Q

_β

= { [ m ( )

^A

X ^{− Zm}

^e

] ^{− m} [ ⁽

^A

^{X ′ ) − Z + 1 ( ) m}

^e

] ^{− m}

^e

} ^c

²

^{+ B}

ⁱ

^{− B}

ⁱ

i Z +1

∑

i Z

 ∑

 

 



€

= m [ ( )

^A

X ^{− m} (

^A

^{X ′} ) ] ^c

²

^{= T}

^e

^{+ E}

^υ

€

T

_e

( )

_max

^{= E} (

υ

)

_max

^{= Q}

β

€

T

_e

⊕ E

_υ

→ 0 quando

Calcolo Q per 210Bi

€

→

210Po

€

Q

_β

= 209.984095u − 209.982848u ( ) ( 931.502MeV / u ) ^{= 1.61MeV C.V.D.}

€

β ^{+ Decay}

€

Z

A

X

_N

→

_{Z −1}^A

X

_{N +1}

′ + e

⁺

+ υ

€

Q

β⁺

= m [ ( )

^A

X ^{− m} ( )

^A

^{X ′ − 2m}

^e

] ^c

²

€

Electron Capture

€

Z

A

X

_N

+ e→

_{Z −1}^A

X

_{N +1}

′ + υ

€

Q

_e

= m [ (

^A

X ) ^{− m} (

^A

^{X ′} ) ] ^c

²

^{= B}

ⁿ

BE elettrone shell-n

N.B.

Decadimento beta positivo e cattura elettronica portano allo stesso nucleo finale ma non sempre entrambi possono essere energeticamente possibili, quando

€

Q

_e

> 0,Q

_β

< 0 seΔm ≤ 2m

_e

c

²

= 1.022 MeV

N.B.: se stato finale e’ stato eccitato

€

Q

_ex

= Q

_ground

− Q

_ex

€

Electron Capture vs β ^decay

€

t_{1 2} = 2.602 y

€

90.4%

€

9.5%

€

0.06%

€

β

⁺

La misura del γ permette di identificare l’isotopo radiattivo con

precisione; questa tecnica e’ molto piu’ efficace che la misura del β

nelle applicazioni di tracciamento,irraggiamento o imaging medicale.

Radiazione γ

L’emissione γ avviene quando il nucleo eccitato non ha sufficiente energia per emettere nucleoni o altre particelle. La diseccitazione via γ e’ la piu’ probabile.

Sono transizioni multipolari.

Il multipolo del campo e.m.

e’ uno stato caratterizzato da momento totale e parita’.

Stato con momento L e parita’ (-1)L --->2L-polo el., E Stato con momento L e parita’ (-1)L+1--->2L-polo mag.,M

€

W = 1

3c

³

ω

⁴

^d

²

€

1 τ ⁼

W h ω ⁼

d

²

3 hc

³

ω

³

€

ΔE τ ≅ h

Potenza irradiata da dipolo

€

E

_γ

= hω

Per

Ampiezza del livello e vita media

Per la maggior parte dei nuclei il tempo di transizione 10-14-10-17s.

Favorite le γ-emission di polarita’

bassa: E1,E2,M1,E3,M2...

probabilita’ di transizione diminuisce di

€

(D / R)²

al crescere di L

€

Γ

_γ

∝ E

³

Il fotone emesso nello stato 2L porta vai al nucleo un momento angolare L

€

| J

_i

− J

_f

|≥ L ≥ J

_i

+ J

_f

Transizioni nucleari permesse

Radiazione γ dipolo (L=1) emessa in transizione

€

ΔJ = 0,±1

, no 0-0 per radiazione γ quadrupolo (L=2) transizione

€

ΔJ = ±2,±1,0

Vita media di nuclei eccitati che decadono via γ-emission e’ molto breve 10-7-10-11s.

Stati eccitati di nuclei che decadono γ con tempi macroscopici sono detti isomeri, le transizioni sono fortemente proibite con γ poco energetici.

Stati isomeri appartengono al primo stato nucleare eccitato, usualmente

a quello dei nuclei con numeri magici di nucleoni.

Energetica:

€

E

_i

= E

_f

+ E

_γ

+ T

_R

; 0 = p r

_R

+ p r

_γ

€

ΔE = E

_i

− E

_f

= E

_γ

+ T

_R

= E

_γ

+ E

_γ²

2Mc

²

back-to-back

calcolo

€

Emissione Gamma

€

E

_γ

= Mc

²

−1 ± 1 + 2 ΔE Mc

²



  

 



1 2



 





€

E

_γ

≅ ΔE − ( ΔE )

²

2Mc

²

ricavo

€

T

_R

= p

_R²

2M

€

p

_R

= p

_γ

dato

ma

€

ΔE ≤ 10MeV << Mc

²

espandendo

€

€

T

_R

≈ 100eV

N.B.: per γ di 5-10MeV , possibile radiation damage

nel lattice cristallino per

spostamento di atomo

€

Conversione Interna

Compete con emissione gamma: transizione tra stati del nucleo inducono interazioni EM con elettroni atomici che risulta in espulsione elettrone.

NON e’ un processo two-step!

€

T

_e

= ΔE − B

_e

dipende dalla shell:K,L,M...

€

ΔE

Energia disponibile per emissione γ

Energia dell’elettrone sparato fuori dalla shell

Se energia sufficiente

anche pair conversion

Rate del decadimanto radioattivo

€

N t ( ) ^{= N 0} ( ) ^e

^−λt

N(t) =numero di nuclidi al

tempo t, erano N(0) a t=0.

€

λ = λ

₁

+ λ

₂

+ L

Probabilita’ di decadere per unita’ di tempo

€

t

_{1 2}

= τ e’ il tempo ^ln2 di dimezzamento

€

A → B → C → L

Catena di decadimenti

il tempo medio di esistenza del nuclide €

A → B

€

dN

_B

dt = − λ

_B

N

_B

+ λ

_A

N

_A

moltiplico per

€

e

^λBt

€

d

dt ( N

_B

e

^λBt

) ^{= λ}

^A

^N

^A

^{( ) 0 e}

^(λB−λA)t

€

N_Be^λBt =

λ

_A

λ

_B −

λ

_A ^NA

( )

^{0 e(λB−λA)t + K}

per t=0 NB(0)=0 Integro

€

NB

( )

t ⁼

^λ

^A

λ

B −

λ

A

NA

( )

0

(

^{e−λAt − e−λBt}

)

Similmente per C ed altri prodotti nella catena di decadimento, arrivando alla cosidetta equazione di Bateman per la sua soluzione.

€

τ = ∫ tdN

∫ dN ⁼

te

^−λt

dt

0

∞

∫

e

^−λt

dt

0

∞

∫

= 1

λ

€

τ _A >> τ _B

€

τ _A ≅ τ _B

€

τ _A << τ _B

Attivita’ A = rate decadimento di campione

radioattivo = λN

1 Curie = 3.7 1010Bq

Decay chain

Quattro serie radioattive naturali, esistenti dalla formazione della

terra 4.5 x 109 anni fa: U238,U235,Np237 e Th232

Fissione nucleare spontanea

Scoperta nel ‘40 successivamente a quella indotta da neutroni lenti

Per un nucleo pesante e’ energeticamente vantaggioso scindersi in due o piu’ frammenti

nucleari perche’ questi hanno una energia di legame maggiore avendo Numero Atomico minore.

Il processo di fissione nucleare e’ legato alla deformazione del nucleo pesante dovuta a roto-vibrazioni e quindi alla variazione dell’energia.

€

E

₀

= V

_p

+ E

_k

+ V

_c

Energia totale nello stato fondamentale del nucleo

E cinetica nucleoni

E pot. int. Coulombiana E pot. int. nucleare

€

V

_p

= −V

₀

(v − γ ^S)

Con base il modello a goccia si puo’

scrivere che l’energia potenziale nucleare consista di due termini,

uno proporzionale al volume e l’altro alla superficie

Idem per Energia cinetica

€

E

_k

= E

_{k 0}

(v − ε S)

γ misura la differenza tra energia legame nucleoni superficiali e quelli piu’ interni

Energia nucleare totale ha forma

€

v(E

_k

− V

₀

) + S( γ ^V

₀

− ε ^E

₀

) + 1 2

ρ

_i

ρ

_j

r

_i

− r

_j

dv

_i

∫∫ ^dv

^j

A volume costante il primo termine si puo’ trascurare, rimangono il termine di superficie e il termine Coulombiano.

A piccole deformazioni il

termine di superficie cresce ma poi domina la repulsione Coulombiana :si forma una barriera di energia, simile alla barriera coulombiana per il decadimento alpha.

Barriera fissione ---> piccola probabilita’ di fissione---> effetto tunnel---> fissione spontanea deformazioe

x nucleo pesante in uno stato eccitato E, la probabilita’ di fissione cresce esponenzialmente.

Un modello di barriera di fissione (Hill e Wheeler, 1953), ha forma di parabola con due parametri, altezza della barriera Ef e curvatura

€

hωf

€

P

_f

= 1+ exp − 2 π

h ω

_f

^{(E − B}

^f

⁾



 



 



 

 



 

 

−1

€

Z

²

/ A

parametro di fissionabilita’ e’ proporzionale al rapporto tra energia Coulombiana e di superficie

L’intervallo di energia in cui la penetrabilita’

passa da 0.1 a 0.9 e’

€

0.7 hω

Per una energia di eccitazione pari a Ef la penetrabilita’ e’ 0.5.

Radioattivita’ esotica

In principio, un nuclide, nello stato fondamentale puo’ emettere nucleoni o gruppi di nucleoni, es. apha, se e’ energeticamente permesso.

Due modi di decadimento sono conosciuti: radioattivita’ protonica (proton radioactivity) e la radiattivita’ da emissione di frammenti pesanti(f-radioactivity)

€

58

Ni+

⁹⁶

Ru→

¹⁵¹

Lu + p + 2n;

¹⁵¹

Lu→

¹⁵⁰

Yb + p

Proton radioactivity (1982)

Il nuclide Yb-150 decade con T1/2=(85±10)ms con emissione di protone da 1.23 MeV Esistono anche processi di emissione di protoni ritardati da nuclidi in stato eccitato con difetto di neutroni.

f-radiaactivity

E’ stata osservata in certi nuclidi con Z=87-97, con emissione di frammenti pesanti 14C,20O, 24-26Ne, 28-30Mg, 32Si.

La probabilita’ di emissione spontanea di frammenti e’ 10-8-10-16 la probabilita’ di decadere alpha, ma e’ piu’ grande della probabilita’ di fissione spontanea.

€

223

Ra →14C+

²⁰⁹

Pb

Radionuclidi per energia

L’energia della radiazione α, β e γ, catturata in un mezzo e’ convertita in calore.

Il vantaggio dei nuclidi α-radioattivi, dal punto di vista energetico, risiede nell’alta energia rilasciata nel decadimento, energia in forma di energia cinetica del nucleo figlio e dell’alpha. Nel β-decay l’energia rilasciata e’ solo ~1 MeV.

I nuclidi energeticamente utili sono circa 10, i piu’ usati sono:

90Sr, 144Ce, 137Cs, 238Pu, 244Cm

con 0,936, 26.7, 0.144, 0.58 e 122.5 W/hr potenza di calore specifico

90Sr (T1/2=28.8 Yr) elemento comunemente usato generatore termoelettrico da radiazione

238Pu (T1/2=86.41 yr) elemento usato principalmente per impianti di lunga durata

Vantaggi radionuclidi come generatori di energia termica e potenza elettrica:

sorgenti di elettricita’ autonome, alto contenuto di energia specifica ( >103 W hr/kg), alta affidabilita’ ed operabilita’ ( nessun problema di circuiti)

I Radionuclide thermal-electric generators (RTEG) sono molto utilizzati come PS di stazioni autonome, es. radiofari, stazioni spaziali, missioni spaziali,...

Luce da radioisotopi, es. tritio.

Il tritio- nucleo tritone, emettettitore ß di 18KeV, T1/2=12.26 yr, accoppiato con materiale fosforoso, fornisce luce fluorescente autonoma.

Fisica del neutrone

Il Neutrone e’ duale: corpuscolo e onda

€

Thermal ≤ 100 ≈ 10

³

0.4 − 0.1

€

Slow ≤ 10

⁶

≈ 10

⁷

0.05 − 0.001

€

Epitherm ≤ 10

³

≈ 10

⁴

0.1 − 0.05

€

Cold ≤ 10 ≈ 10

²

3 − 04

€

Type E (meV ) Temp(K ) λ ( ^nm )

λ (nm) = 395.6/v (m/s) E(meV) = 0.02072k2 (k in nm-1)

€

Fast ≤ 2 ×10

¹⁰

≈ 10

¹¹

0.001 −10

⁻⁵

€

Massa:m

_n

= 1.675 ×10

⁻²⁷

Kg = 939.573MeV / c

²

•Carica = 0;Spin = 1 / 2

•Momento dipolo magnetico: µ = 1.913 µ

_N

•Magnetone nucleare: µ

_N

= eh 4 π m

_p

= 5.051×10

⁻²⁷

JT

⁻¹

•E = m

_n

v

²

2 = k

_B

T = hk 2 ( π )

²

^{/ 2m}

n

; k = 2 π λ = m

_n

v h 2 ( π )

Reazioni Nucleari

Rutherford 1916 osserva:

€

α+

¹⁴

N→

¹⁷

O + p Cockcroft&Walton, 1930 primo acceleratore:

€

p+

⁷

Li→

⁴

He +α

€

≤ 10MeV / nucleone

€

100MeV − 1GeV / nucleone

€

≥ 1GeV / nucleone

Low Energy Medium Energy

High Energy

neutrone

€

a + X → Y + b ⇔ X a,b ( ) ^Y

-Scattering elastico -Scattering inelastico -Knockout reaction -Transfer reaction

Y e b sono nello stato fondamentale Y o b sono in uno stato eccitato

a e b sono gli stessi, + un altro nucleone Nucleoni trasferiti da X e Y

-Direct reaction

-Compound nucleus reaction -Resonance reaction

Interazione diretta tra a e nucleone di X a e X formano nucleo composto

Formazione di stato quasilegato

Leggi di conservazione nelle reazioni nucleari

In un sistema isolato, come puo’ essere il sistema composto da nucleo e particella, la energia totale e il momento angolare sono conservati, come la carica elettrica, parita’ ed il numero barionico.

La conservazione di energia nel processo A(a,b)B richiede

€

Q = E_i − E_f = T_f − T_i

€

E₀₁+ T1 = E02 + T2

€

E

₀₁

= (M

_A

+ m

_a

)c

²

, T

₁

= T

_A

+ T

_a

E

₀₂

= (M

_B

+ m

_b

)c

²

, T

₂

= T

_B

+ T

_b

e Q-value con

con targhetta A a riposo

€

(E

_a

+ E

_A

)

²

− p

²

c

²

= M

²

c

⁴

2E

_a

E

_A

+ m

²

c

⁴

+ M

²

c

⁴

= M

²

c

⁴

2T

_a

Mc

²

+ (m + M)

²

c

⁴

= M

²

c

⁴

ed essendo Ta=Ea-mc2 che si scrive come

Ricordare: Q>0 reazione esotermica, Q<0 reazione endotermica

L’energia di soglia Tthr = energia minima perche’ la particella incidente attivi la reazione

€

T_a^thr = M² − (m + M)² 2 M c² essendo Q = (m + M −M)c² T_a^thr = −QM + m + M

2M

nel caso non relativistico

€

M ≅ m + M

T

_a^thr

= Q (1+ m / M)

Le reazioni nucleari si dividono praticamente in due gruppi:

- reazioni di nucleo composto - reazioni dirette

Nucleo Composto

la particella proiettile e’ catturata dal nucleo tarhetta per formare un stato intermedio.

Il susseguente decadimento e’ praticamente indipendente dal modo di formazione, la probabilita’ di un certo tipo di stato finale dipende solo dall’energia di eccitazione disponibile.

Evidenza degli stati a vita media lunga si ha dall’analisi della struttura della xsect delle reazioni nucleari fortemente risonante, es. xsect dell’Indio per neutroni

€

ΔEΔt ≈ h → Δt ≈10

⁻¹⁶

s

confrontare con ~10-22 s tempo per traversare nucleo

Un modello di formazione di nucleo composto prevede che la particella proiettile, che ha energia positiva, sia intrappolata momentaneamente in uno degli stati virtuali di singola particella.

Per un potenziale a corto raggio sono possibili stati quasi legati o stati virtuali di singola particella con energia positiva.

Il decadimento avviene quando, scambiando energia con i nucleoni interni, uno o piu’ nucleoni si portano negli stati eccitati, con conseguente probabilita’ di decadere.

Potenziale complesso ---> modello ottico Uno stato eccitato decade con probabilita’

€

λ = 1 / τ, inverso vita media

€

ΔEΔt = h → ΔE = h /τ λ = λ

_i

∑

i

; Γ = Γ

_i

i

∑ ^{= λ h = h / τ}

Cenni su Modello ottico

Modello semplice usato per trattare in modo generale processi di scattering con assorbimento Equazione di Schroedinger risolta con potenziale complesso

€

U(r) = −V (r) − iW (r)

Per nucleoni V parametrizzato alla Woods-Saxon e W smile, ma parametrizzazioni anche diverse.

Il potenziale W fa si’ che l’onda incidente sia attenuata all’interno del nucleo.

Onda piana propagantesi lungo z in potenziale Uniforme U(r) ha forma eikz con numero d’onda

€

k = k

_r

+ k

i

= 2m(E − U ) / h

²

= 2m(E + V + iW ) / h

²

W<<(E+V), espandendo e prendendo solo il primo termine in W si ottiene

€

k

_r

= 2m( E + V )

h

²

; k

_i

= k

_r

W 2(E + V )

L’onda incidente

€

ψ = e

^ikz

= e

^ikrz

e

^−ikiz presenta un’ampiezza che decresce man mano che procede, viene assorbita.

In molti casi V>>W, si puo’ stimare il libero cammino medio d, come la distanza per cui l’ampiezza si attenua di un fattore 1/e come 1/2ki o il tempo medio di attenuazione dt ~ h/4%W.

Es. per protoni di 30Mev, V=50 MeV e W=10 MeV si calcola d~4 fm, questo significa che il protone penetra nel nucleo e viene a contatto col la regione piu’ interna e non solo con la superficie

€

σ

_ab

= σ

_c

Γ

_b

/ Γ

€

A + a → C → B + b

Xsect delle reazioni nucleari nella regione delle risonanze

Quando in una reazione nucleare la ECM~Ei* di uno stato eccitato del nucleo composto la xsect della reazione

€

A + a → C → B + b

prende la forma di una distribuzione di Lorentz

ed e’ data dalla equazione di Breit-Wigner

€

σ

(E ) ∝ 1

( E − E_r)²+ (Γ / 2)²

€

σ

_αβ

= g

_α

(J) π k

_α²

Γ

_α

Γ

_β

( E − E

_r

)

²

+ (Γ / 2)

²

€

α → A +a channel , β → B +B channel

k

_α

= n.d'onda canale α , g

_α

(J) = fattore di spin

Limite superiore per scattering elastico

€

α ≡ β, no assorbimento Γ_α = Γ

Ampiezza totale

€

Γ = ∑ Γ

_β

€

σ

_αα

(max) = σ

_l^el

= (2l + 1) 4 π k

_α²

La xsect di assorbimento e’ proprzionale a

€

Γ_α Γ_β

α≠β

∑

^{= Γα(Γ − Γα)} che ha il max per

€

Γ_α = Γ / 2

€

σ

_l^abs

(max) = (2l +1) π k

_α²

per particelle senza spin il limite superiore si ha per E=Er

€

g_α(J) = 2J + 1 (2I_a+ 1)(2I_A + 1)

€

64 Zn ^*

[ ]

€

p + ⁶³ Cu

α + ⁶⁰ Ni

€

63 Zn + n

62 Cu + n + p

62 Zn + 2n

€

T

_i^* m_ac² + m_Xc²

E*

m_C*

€

c² 0.0

T

_f^*

m_b c² + m_Yc²

a + X → [C*] → Y + b

€

σ

_{( a,b )}

= σ

_{a +X →C}*

⋅ P

_C*

→b +Y

Reazione in due passi

- formazione del nucleo

-decadimento del nucleo

€

d + ⁶ Li → α + α

€

T

_d

= 2MeV

€

θ

€

φ

€

p r

_α1

€

r p

_d

€

p r

_α2

€

T

_i^*

m_dc² + m_Lic²

E*

m_Bec² 0.0

€

T

_f^*

m_αc² + m_αc²