Sia dato il sistema retroazionato di figura

Università di Parma – Facoltà di Ingegneria

Prova Scritta di Controlli Automatici del 3 Maggio 2002 PARTE 1

Sia dato il sistema retroazionato di figura

1) Determinare la funzione di trasferimento fra r (set-point) ed y (uscita controllata).

2) Determinare i modi del sistema retroazionato.

3) Determinare il tempo di assestamento e la sovraelongazione in risposta ad un gradino unitario di set-point.

4) Determinare l’evoluzione forzata ( ) y t in risposta all’azione forzante r t ( ) = t

1( ) t . 40

s

1 4 s +

y

r

+

Considerare il circuito elettrico della figura sottostante,

C L

u

v₁ i₁

v₂ C

R R

V_A

con R = 1, C = ¹₂ e L = ¹₂, il generatore di tensione u rappresenta l’ingresso, lo stato del sistema

`e rappresentato dalla corrente i1sull’induttanza e dalle tensioni v1e v2ai capi delle due capacit`a (prendere le variabili di stato in questo ordine). L’uscita `e data dalla tensione VA.

1) Mostrare che il sistema pu`o essere descritto dal modello

˙x = Ax + Bu y = Cx, ,

dove A =







−1 −1 −1

1 −1 1

1 1 −1





, B =





 2 0 0





, C =

£ 1/2 1/2 1/2 ¤

, con x =





 i1

v1

v2





.

Nota: per ricavare il modello pu`o essere utile, prima di tutto, esprimere la tensione VA in fun- zione delle variabili di stato i1, v1 e v2.

2) Mostrare che il sistema non `e completamente controllabile, mettere il sistema nella forma standard per i sistemi non completamente controllabili e indicare gli autovalori controllabili e non controllabili.

3) Assegnare mediante una retroazione stato-ingresso gli autovalori del sistema retroazionato a {−2, −2, −2}, scegliendo un opportuno vettore F .

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Parte 3

Sia dato il sistema lineare e tempo invariante descritto dalle equazioni

˙x = Ax + Bu y = Cx, con A =

"

5 −1

1 3

# , B =

"

1 0

#

e C =£

1 0 ¤ .

1) Calcolare la forma di jordan J della matrice A determinando una trasformazione di stato T tale che J = T⁻¹AT .

2) Calcolare la funzione di transizione dello stato Φ(t) = e^At, servendosi di quanto trovato al punto precedente.

3) Calcolare la funzione di trasferimento G(s) del sistema dato.

4) Calcolare l’evoluzione libera del sistema partendo dallo stato iniziale x0=

"

1 0

# . 5)Calcolare l’evoluzione forzata del sistema con l’ingresso costante u = 1, per t > 0.

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Prova Scritta di Controlli Automatici del 3 Maggio 2002 PARTE 4

Dedurre le relazioni che legano le condizioni iniziali al tempo 0 − a quelle al tempo 0 + ^{per un} sistema retto dalla seguente equazione differenziale ( ^a

^{≠ 0, b}

^{≠ 0} ) ^:

3 2 2

3

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a D y t + a D y t + a Dy t + a y t = b D u t + b Du t + b u t

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Parte 5

Considerare il sistema

˙x = Ax + Bu

x(0) = x0 , (1)

1) Scrivere la soluzione in forma chiusa per lo stato iniziale x0 e l’ingresso u(t), distinguen- do l’evoluzione forzate e l’evoluzione libera.

2)Dimostrare per verifica che tale formula risolve effettivamente il sistema 1.