Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna
Foglio 3. (28 gennaio–1 febbraio 2008)
Esercizio 1. Vengono lanciati due dadi regolari a 6 facce. Si indichi con Z la somma dei risultati ottenuti nei due lanci.
a) Si scriva esplicitamente uno spazio campionario S per questa situazione, mo- strando che Z `e una variabile casuale discreta.
b) Si determini la densit`a discreta di Z e si calcoli E(Z) e Var(Z). [Z(S) = {2, 3, . . . , 12}, P (Z = i) = i−136 se i ≤ 7 mentre P (Z = i) = 13−i36 se i > 7.
E(Z) = 3.5 + 3.5 = 7, Var(Z) = 3512+ 3512 = 356 ≈ 2.92]
Esercizio 2. Sia X una variabile casuale discreta con funzione di massa tale che p(0) = 1
2, p(1) = 1
6, p(3) = c ,
dove c ∈ R. Si determini il valore di c e si calcolino E(X) e Var(X). [c = 13, E(X) = 76, Var(X) = 6536]
Esercizio 3. Acquistiamo una confezione di 20 DVD registrabili. Supponiamo che ciascun DVD abbia la probabilit`a dell’1% di essere guasto, indipendentemente dagli altri. Si indichi con X il numero di DVD guasti presenti nella confezione.
a) Qual `e la probabilit`a che nella confezione ci siano esattamente 2 DVD guasti?
E che ce ne siano almeno 2? [P (X = 2) = 202(1001 )2(10099)18 ≈ 0.016, P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − 200(1001 )0(10099)20− 201(1001 )1(10099)19 ≈ 0.017]
b) Si determini l’insieme dei valori X(S) assunti da X e la sua funzione di massa.
[X(S) = {0, . . . , 20}, pX(k) = 20k(1001 )k(10099)n−k]
Esercizio 4. In ogni estrazione del Lotto sulla ruota di Venezia vengono scelti 5 numeri a caso tra 1 e 90.
a) Qual `e la probabilit`a che nella prossima estrazione della ruota di Venezia esca il numero 79? [ 894/ 905 = 5/90 = 1/18]
b) Qual `e la probabilit`a che nelle prossime 27 estrazioni della ruota di Venezia non esca mai il numero 79? [P (B(27, 1/18) = 0) = (1718)27 ≈ 0.21]
Esercizio 5. Si sa che nei libri prodotti da una certa casa editrice ciascuna pagina pu`o contenere refusi con probabilit`a 201, indipendentemente dalle altre pagine. Qual
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e la probabilit`a che, scelto un libro a caso di 100 pagine, questo contenga al pi`u una pagina con refusi? [P (B(100,201 ) ≤ 1) = (1920)100+ 100 · 201 · (1920)99≈ 0.037]
Esercizio 6. Due eventi A, B sono tali che P (A) = 13, P (B) = 14. Mostrare che P ((A ∪ B)c) > 0. [P ((A ∪ B)c) = 1 − P (A) − P (B) + P (A ∩ B) = 125 + P (A ∩ B) ≥ 125]
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