Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 4

Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 4

Misura e integrale.

Esercizio 1. Sia X una funzione misurabile da (Ω, A, µ) in R, tale che X ≥ 0 q.o..

Indichiamo con I(X) :=R

ΩX dµ l’integrale rispetto a µ (quando esiste).

(a) Si ha X = 0 q.o. se e solo se I(X) = 0.

(b) Se I(X) < ∞ allora X < ∞ q.c.

[Sugg.: può essere utile la disuguaglianza di Markov.]

Esercizio 2. Siano (X_n)_n∈N funzioni misurabili definite su uno spazio di misura (Ω, A, µ) a valori in R, e sia e sia I(X) :=R

ΩX dµ.

(a) Se X_n≥ 0 q.o. per ogni n ∈ N, allora I

 X

n∈N

X_n



=X

n∈N

I(X_n) (?)

(dove entrambi i membri possono valere +∞).

(b) SeP

n∈NI(|Xn|) < ∞, allora la serie P

n∈NXn converge q.o. e definisce una funzione integrabile per cui vale la relazione (?), in cui entrambi i membri sono finiti.

[Sugg.: Si ponga S := lim inf_{N →∞}S_N dove S_N := PN

n=1X_n. In questo modo S è una funzione misurabile da Ω a valori in R, che coincide con la serie P

n∈NX_n ogniqualvolta questa sia ben definita.]

Esercizio 3. Sia µ una misura su (R, B(R)) tale che µ(A) ∈ {0, 1} per ogni A ∈ B(R). Si mostri che esiste c ∈ R tale che µ = δc.

Esercizio 4. Sia (E, E ) uno spazio misurabile, la cui σ-algebra contenga i singoletti: {x} ∈ E per ogni x ∈ E. Data una probabilità ν su (E, E ), diremo che essa è discreta se esiste una funzione p : E → R, tale che

ν(A) =X

x∈A

p(x) , ∀A ∈ E .

(a) Si mostri che p è una densità discreta su E, ossia p(x) ≥ 0 ∀x ∈ E eP

x∈Ep(x) = 1.

(b) Si mostri che una probabilità ν su (E, E ) è discreta se e solo se è supportata da un insieme finito o numerabile, ossia le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• ν è una probabilità discreta su (E, E);

• ν è una probabilità su (E, E) tale che esiste I ⊆ E, |I| ≤ |N| per cui ν(I) = 1;

• ν è una probabilità su (E, E) tale cheP

x∈Eν({x}) = 1.

(c) In particolare, nel caso in cui E = R, una probabilità ν su (R, B(R)) è discreta se e solo se P

x∈R(Fν(x) − Fν(x−)) = 1, dove Fν(x) := ν((−∞, x]) indica la funzione di ripartizione associata.

†Ultima modifica: 31 ottobre 2013.

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Esercizio 5. Sia F : R → [0, 1] una funzione crescente e C¹ a tratti (ossia continua in ogni punto di R e derivabile con derivata continua in ogni punto di R \ N , dove N ⊆ R è un insieme senza punti di accumulazione).

(a) La funzione f (x) := F⁰(x), definita arbitrariamente per x ∈ N , è Lebesgue-integrabile su ogni intervallo limitato [a, b] ⊆ R e si ha che

F (b) − F (a) = Z b

a

f (t) dt . Se inoltre F (−∞) := lim_x→−∞F (x) = 0, allora

F (x) = Z _x

−∞

f (t) dt , ∀x ∈ R .

(b) Sia ν una probabilità su (R, B(R)) tale che la funzione di ripartizione Fν(x) :=

ν((−∞, x]) associata è C¹ a tratti. Allora ν è una probabilità assolutamente continua, con densità f_ν(x) := F_ν⁰(x).

Richiami di teoria della misura.

Esercizio 6. Per a, b ∈ R^d poniamo (a, b) := (a₁, b1) × · · · × (a_d, b_d) ⊆ R^d e definiamo analogamente (a, b] (con la convenzione che (a, b) = ∅ se a_i ≥ b_i per qualche i = 1, . . . , d, e analogamente (a, b] = ∅ se a_i≥ b_i per qualche i = 1, . . . , d). Consideriamo quindi le famiglie C := {(a, b) : a, b ∈ Q^d} , D := {(a, b] : a, b ∈ Q^d} , E := {(−∞, b] : b ∈ Q^d} ∪ {∅} . Si mostri che C, D, E sono basi della σ-algebra di Borel B(R^d).

Esercizio 7. Sia (Ω, A) uno spazio misurabile e, per ogni n ∈ N, sia Xn : Ω → R una funzione misurabile. Si mostri che le seguenti funzioni da Ω in R sono misurabili:

sup

n

X_n, inf

n X_n, lim sup

n

X_n, lim inf

n X_n, lim

n→∞X_n
1_{{∃ limn→∞Xn∈R}}. Esercizio 8. Si consideri per ogni n ∈ N la funzione ϕn: [0, +∞] → [0, +∞] definita da

ϕ_n(x) :=

n2ⁿ−1

X

k=0

k 2ⁿ1_[k

2n,^k+1_2n )(x) + n 1_[n,∞)(x) .

(a) Si mostri che ϕ_n è una funzione semplice, che ϕ_n+1(x) ≥ ϕn(x) per ogni n ∈ N e x ≥ 0 e che lim_n→∞ϕ_n(x) = x per ogni x ≥ 0.

(b) Sia ora (Ω, A) uno spazio misurabile e sia X : Ω → [0, ∞] una funzione misurabile positiva. Ponendo X_n:= ϕ_n(X) = ϕ_n◦ X, si mostri che X_n è una funzione semplice, per ogni n ∈ N, e che Xn↑ X per n → ∞.

(c) Con le stesse notazioni del punto precedente, supponiamo che X sia limitata, ossia esiste M ∈ (0, ∞) tale che |X(ω)| ≤ M per ogni ω ∈ Ω. Si mostri che, per ogni n > M , si ha |X_n(ω) − X(ω)| ≤ ₂¹n per ogni ω ∈ Ω. In particolare la convergenza X_n→ X è uniforme e non solo puntuale: kX_n− Xk_∞:= sup_ω∈Ω|X_n(ω) − X(ω)| → 0 per n → ∞.