PROVA SCRITTA

PROVA SCRITTA

(corso di Matematica B - Ambiente & Territorio) A.A. 2002/2003 – 09 luglio 2003 (1/1)

tempo a disposizione: 2 ore

1) Determinare e disegnare l’insieme di definizione della funzione

f (x, y) :=

q

x − √ y − x ² 2 log(2 − y)

specificando se esso `e aperto, chiuso, limitato, compatto, connesso.

2) Data la funzione f : IR ² → IR def. da:

f (x, y) :=

 



(x ² + y ² ) sin √

¹

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

mostrare che:

a) `e continua;

b) `e differenziabile;

c) le derivate parziali prime sono continue.

3) Calcolare

ZZ

D

xy ²

x ² + y ² dx dy, ove D := {(x, y) : y ≤ x, 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4}.

4) Risolvere l’equazione differenziale y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = xe ^3x . 5) Studiare la fdl

à 2x

√ 2x ² + y ² − y sin xy

!

dx +

à y

√ 2x ² + y ² − x sin xy

!

dy

e determinarne, se esatta, le primitive.

6) Definiti il rotore ”rot f” e la divergenza ”div f” di un campo vettoriale f : IR ³ → IR ³ , riconoscere che se le componenti di f hanno derivate parziali seconde continue allora div(rot f) = 0.

COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):