PROVA SCRITTA

PROVA SCRITTA

(corso di Matematica B - Ambiente & Territorio) A.A. 2002/2003 – 25 giugno 2003 (1/1)

tempo a disposizione: 2 ore

1) Determinare l’insieme di definizione della funzione

f (x, y) := log xy · log(2 − |x|) · ^q 1 − log |y|

√

4x ² + y ² − 4 .

2) Data la funzione f : IR ² → IR def. da:

f (x, y) :=

( (x ² + y ² ) sin _x

+y ¹

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

mostrare che:

a) `e continua;

b) `e differenziabile;

c) le derivate parziali prime non sono continue in (0, 0).

3) Calcolare

ZZ

D

xy ²

x ² + y ² dx dy, ove D := {(x, y) : y ≥ x, 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4}.

4) Risolvere l’equazione differenziale y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = e ^2x . 5) Studiare la fdl

à x

√ x ² + 2y ² + y cos xy

!

dx +

à 2y

√ x ² + 2y ² + x cos xy

!

dy e determinarne, se esatta, le primitive.

6) Definito il gradiente ”grad f ” di un campo scalare f : IR ³ → IR, e la divergenza

”div F” di un campo vettoriale F : IR ³ → IR ³ , riconoscere che div(grad f ) = ∂ ² f

∂x ² +

∂ ² f

∂y ² + ∂ ² f

∂z ² .

COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):