Facolt`a di Agraria

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica del 14/7/2004 A.A. 2003-2004

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione log ₃ |1 − 7x| < 2

] − 8/7, 10/7[\{1/7}

2. Data la funzione

f (x) = 1

√ 9 − e ^x

1. determinare il dominio;

2. calcolare i limiti agli estremi degli intervalli di cui `e costituito il dominio;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto ¡

0, f (0) ¢

;

5. disegnare un grafico approssimativo di f e della retta tangente precedentemente individuata.

1. ] − √

2 log 3, √ 2 log 3[

2. lim

x→− √

2 log 3

f (x) = lim

x→ √

2 log 3

f (x) = +∞,

3. f ⁰ (x) = x e ^x

(9 − e ^x

) ^3/2 ,

`e decrescente in ] − √

2 log 3, 0];

`e crescente in [0, √ 2 log 3[.

4. y = 1 2 √

2 ;

5.

2 Matematica, 14/7/2004 v1

3. Si consideri la funzione

f :] − ∞, π/2[→ f (] − ∞, π/2[) con legge

f (x) =

( 2x + a se x < 0

tg x se 0 ≤ x < π/2 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = −1 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa e tracciarne un grafico approssimativo;

3. determinare per quali valori di a, se ne es- istono, la funzione `e continua in ogni punto del dominio;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto del dominio.

1. a ≤ 0

2. per a = −1 la funzione `e invertibile e si ha

f ⁻¹ (y) =

 

 y + 1

2 se y < −1 arctg y se y ≥ 0 3. a = 0;

4. non esistono.

4. Dato il problema di Cauchy ( y ⁰ (t) = −2y(t) + t

y(0) = 1

1. dire se la funzione y(t) = 1 − t ²

2 `e una soluzione del problema;

2. determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente, ed eseguire la verifica;

3. dire se possono esistere altre soluzioni del problema oltre a quella trovata, giustificando la risposta.

1. non `e soluzione;

2. y(t) = 5

4 e ^−2t + t 2 − 1

4 ;

3. non vi possono essere altre soluzioni perch´e

l’equazione differenziale `e di tipo lineare.