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Università degli Studi di Siena

Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 13-14) 5 settembre 2014

Compito

") Si possono dare vari esempi, il modo più semplice è forse quello di considerare due intervalli chiuso e aperto con E F F § E, in questo modo E ∪ F è un intervallo chiuso e E ∩ F un intervallo aperto, ad esempio E œ Ò!ß $Ó F œ Ó"ß #Ò e . Nel secondo caso possiamo notare che se EÎF è aperto, allora V
EÎF è chiuso, perché entrambi siano intervalli è necessario che EÎF sia un intervallo illimitato e quindi intervalloE illimitato, per rispondere alla domanda allora è sufficiente prendere intervalloE illimitato e aperto e intervallo disgiunto da , ad esempio F E E œ Ó!ß  ∞Ò e F œ Ó  #ß  "Ó.

#) Per il 318 ogni cifra può essere scelta in nove modi, abbiamo quindi la possibilità di formare *⁽ numeri telefonici diversi, per il 319 ogni cifra può essere scelta in cinque modi ed abbiamo quindi la possibilità di formare &⁽ numeri telefonici diversi. In totale la compagnia potrà sottoscrivere *  & œ %Þ)'"Þ!*%^{( (} nuovi contratti telefonici.

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L'inversa di 1Ð0 Ð1ÐBÑÑÑ si ottiene da C œÈ"  $^È"B Ê $^È"B œ C  " Ê^# È"  B œlog_$
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#

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#

; razionalizziamo:

B Ä  ∞

637

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637 637

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Segno: C € !ß aB − GÞIÞ perché la funzione è una irrazionale di indice pari.

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La funzione presenta asintoto orizzontale destro di equazione C œ ". Crescenza e decrescenza: C œ^{w "} †  /^$B  $ œ ^$/ .

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C 4 !^w per B 4 !. Funzione strettamente crescente nel suo GÞIÞ; minimo assoluto pari a CÐ!Ñ œ !. Nota che la funzione non è derivabile in B œ ! ed in particolare

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Concavità e convessità:

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Per lo studio del segno di C^ww notiamo che le quantità */^'B e %ŠÈ"  /^$B‹^$ sono sicuramente positive per B 4 !, mentre "  #/^$B è negativa sempre per B 4 ! quindi C 5 !^ww per B 4 !. Funzione strettamente concava.

Grafico:

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Compito 

") Si possono dare vari esempi, il modo più semplice è forse quello di considerare due intervalli aperto e chiuso con E F F § E, in questo modo E ∪ F è un intervallo

aperto e E ∩ F un intervallo chiuso, ad esempio E œ Ó!ß $Ò F œ Ò"ß #Ó e . Nel secondo caso possiamo notare che se FÎE è aperto, allora V
FÎE è chiuso, perché entrambi siano intervalli è necessario che FÎE sia un intervallo illimitato e quindi intervalloF illimitato, per rispondere alla domanda allora è sufficiente prendere intervalloF illimitato e aperto e intervallo disgiunto da , ad esempio E F E œ Ó!ß  ∞Ò e F œ Ó  ∞ß  "Ò.

#) Per il 318 ogni cifra può essere scelta in nove modi, abbiamo quindi la possibilità di formare *⁽ numeri telefonici diversi, per il 319 ogni cifra può essere scelta in quattro modi ed abbiamo quindi la possibilità di formare %⁽ numeri telefonici diversi. In totale la compagnia potrà sottoscrivere *  % œ %Þ(**Þ$&$^{( (} nuovi contratti telefonici.

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L'inversa di 1Ð0 Ð1ÐBÑÑÑ si ottiene da C œ /^{È/ "B} ÊÈ/  " œ^B logC Ê / œ^B log^#C  " Ê B œlog log
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B Ä  ∞ B Ä  ∞

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Segno: C € !ß aB − GÞIÞ perché la funzione è una irrazionale di indice pari.

Intersezioni: œC œÈ"  / œC œÈ"  / œ È œ ,

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intersezione con l'asse delle ordinate nel punto SÐ!ß !Ñ;

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Per lo studio del segno di C^ww notiamo che le quantità /^%B e ŠÈ"  /^#B‹^$ sono sicuramente positive per B 4 !, mentre "  #/^#B è negativa sempre per B 4 ! quindi C 5 !^ww per B 4 !. Funzione strettamente concava.

Grafico:

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