Plan du cours

Plan du cours

Solutions analytiques

Fréquences et modes propres – Théorème d’expansion Coordonnées généralisées – solution générale

Vibrations des Milieux continus

g ℓ

x_o

y_o ^{A B}

( ) ( )

P D u u f

∀ ∈ M ɺɺ + L =

p conditions aux limites

( ) u ɺɺ + ( ) u = f

M L

d sur u

d sur

u u S

n T S_σ σ

 =

 =



( 0) 0

( 0) 0

t position initiale

t vitesse initiale

u u

u u

=

=

=



 ɺ = ɺ

2 conditions initiales

Régime libre

Problème aux valeurs propres

( )

( ) 0 ( ) 0

P D U U

P D U

ω

 ∀ ∈ − =

 

∀ ∈∂ =



L M

B

( ) ( )

q U

qɺɺ = − L U

M

q ɺɺ = − ω

q

( , )^{P t} ( ) ^P q( )^t

u = U

équation différentielle en espace dépendent de « p » constantes d’intégrations

solution non banale si le

déterminant de ce système est nul

i

0 B(z ) =

ω

Pulsations propres solutions de det( ) B = 0

∞

Modes propres Z

solutions de p conditions aux limites

L

Théorème d’ expansion Régime libre M ( ) u ɺɺ + L ( ) u = 0 base modale (ensemble des modes) L ^et M orthogonale

( ) 0

( ) 0

j i

D

j i

D

Z Z d Z Z d

 =



=



∫

∫

L D

M D

i j

ω ω≠

pour base modale est une base complète

( , ) de comparaison ( ) ( )

1

P t i P i t

i

u u Z q

∞

=

∀ = ∑

Si mode multiple alors choix

fonctions de comparaison vérifient toutes les CL du problème

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

0

P t P t

i i i i

i i

P D Z q Z q

∞ ∞

= =

   

∀ ∈   +   =



∑

∑

M L

Pb.

( ) ( 0) 0

1

( ) ( 0) 0

1

P t position initiale

i i

i

P t vitesse initiale

i i

i

Z q u

Z q u

∞

=

=

∞

=

=

 =



 =



∑

∑

Conditions initiales

Projection sur la base modale

Multiplions les équations par Z

et intégrons sur le domaine

cos

sin

i io i i

i

i q q ω t q ω t

∀ = + ω ɺ

( ) ( ) 1

P t

i i

i

u Z q

∞

=

= ∑

2

( ) ( )

i i i i i

D D

Z Z d Z Z d

ω = ∫ ^{L D} ∫ ^{M D}

Orthogonalité des modes ^{∀ ∈ ∞ i} [ [ ^{1, q ɺɺ}

^{+ ω}

^q

^{= 0}

( ) ( )

( ) ( )

0

0

( ) ( )

( ) ( )

io i i i

D D

io i i i

D D

q Z u d Z Z d

q Z u d Z Z d

 =



=



∫ ∫

∫

∫

ɺ

M D M D

M D M D

Conditions initiales

Régime libre M ( ) u ɺɺ + L ( ) u = 0

Solution générale

( , )

( ) _i ^{P t}

P D u e

∀ ∈∂ B_i =

Se ramener à des Conditions aux limites homogènes Résolution du problème homogène

Calcul des pulsations et modes propres

Diagonaliser les équations (TH d'expansion)

Résolution des équations et retour aux déplacements Méthodologie

d’équations à un degré de liberté [ [

ii D

i q q Z f d

ω m

∀ ∈ ∞ ^ɺɺ + =

∫

∞

( )

( )

0

0

1 ( )

1 ( )

io i

ii D

io i

ii D

q Z v d

m

q Z v d

m

 =



 =



∫

∫

ɺ

M D

M D

( , )

1 ' ^{P t}

i i

ii D

Z f d

ϕ = m

∫

0

( ) sin ( )

cos sin

t

io i i

i io i i

i i

q t

i q q ω t ωt ϕ τ ω τ dτ

ω ω

∀ = + ^ɺ +

∫

( ) ( ) 1

P t

i i

i

u Z q

∞

=

= ∑

En pratique on tronque la base modale

puis

Illustrons ce cours théorique

Avec l’étude des vibrations d’une barre

Les fréquences et modes de vibration Réponse forcée à :

Réponse dynamique à une force échelon

( ρ , E, S)

ℓ F

cos( )

F ω t