Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 11 Febbraio 2019 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Dati i seguenti sottospazi di R4:
W = h(1, −1, 0, 1), (2, 1, 1, 0)i, U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − t − z = 0, z = y + t}.
(a) Determinare la dimensione ed una base di U , W⊥ e U + W . (b) Estendere la base di U + W trovata ad una base di R4. 2 Si consideri il seguente endomorfismo:
F : (x, y, z) ∈ R3 7−→ (ax, bx + y + z, y + z) ∈ R3, dove a e b sono parametri reali.
(a) Al variare dei parametri a e b, si determini la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e si stabilisca se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(b) Stabilire, al variare di a e b in R, se l’endomorfismo F `e diagonalizzabile.
(c) Posto a = 1, si determini una base di R3 diagonalizzante per F . 3 Discutere, al variare del parametro k ∈ R, il seguente sistema lineare:
x + (k + 1)y + z = 0
−4x + y + kz = 0 (k + 4)x − y = k + 1
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
r :
x = λ y = λ z = λ
, λ ∈ R, s : x + y + z = 1 x − y − z = 0 . (a) Verificare che r ed s sono sghembe.
(b) Determinare la retta incidente e perpendicolare ad entrambe.
(c) Trovare la distanza tra r ed s.
5 Sia M = a b c d
∈ M2(R) e siano λ1, λ2 gli autovalori di M . Mostrare che λ1λ2 = det(M ).
6 Sia F : V −→ W un’applicazione lineare. Dare la definizione di Ker(F ) e dimostrare che Ker(F ) `e un sottospazio vettoriale di V .
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 11 Febbraio 2019 — Traccia II
COGNOME NOME
1 Dati i seguenti sottospazi di R4:
W = h(0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)i, U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = z = 0}.
(a) Determinare la dimensione ed una base di U⊥, W e U + W . (b) Estendere la base di W trovata ad una base di R4.
2 Si consideri l’endomorfismo
F : (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 7−→ (3x1, x3, x4, −3x2+ x3+ 3x4) ∈ R4.
(a) Determinare se F `e biettiva ed in caso affermativo si calcoli la matrice associata ad F−1 rispetto alla base canonica di R4.
(b) Stabilire se l’endomorfismo F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di R4 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro k ∈ R, il seguente sistema lineare:
kx + z = 2 x − 2y − kz = −1
x + kz = −2
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette r : y = 0
z = 1 , s :
x + y + z = 0 3x + y + 2 = 0 . (a) Verificare che r ed s sono sghembe.
(b) Determinare la retta incidente e perpendicolare ad entrambe.
(c) Trovare la distanza tra r ed s.
5 Sia V un K–spazio vettoriale e sia F : V 7→ V un endomorfismo. Si fornisca la definizione di polinomio caratteristico di F . Dimostrare che λ `e un autovalore di F se e solo se λ `e radice del polinomio caratteristico di F .
6 Dimostrare che un’applicazione lineare F `e iniettiva se e solo se Ker(F ) = {0}. Fornire un esempio di applicazione lineare non iniettiva.
Traccia II — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 11 Febbraio 2019 — Traccia III
COGNOME NOME
1 Dati i seguenti sottospazi di R4:
V = h(−1, 0, −3, 0), (1, −1, −2, −1)i, W = h(0, 2, 0, 4), (0, −1, −5, −1)i.
(a) Determinare la dimensione ed una base di V + W e V ∩ W .
(b) Determinare la dimensione ed una base di Z + V e (Z + V )⊥, dove Z = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 3x − z = y = t = 0}.
2 Si consideri l’endomorfismo
F : (x1, x2, x3) ∈ R3 7−→ (2x1, 2x2+√ 3x3,√
3x2) ∈ R3. (a) Determinare la matrice A che rappresenta F rispetto alla base canonica di R3.
(b) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(c) Calcolare l’inversa di A.
(d) Stabilire se A `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una matrice P tale che P−1AP risulti diagonale.
3 Discutere, al variare del parametro k ∈ R, il seguente sistema lineare:
x + y − kz = k x + y + z = 2 + 3k
2x − ky + z = 2
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
r :
x = 2 + λ y = −2λ z = −1 + 3λ
, λ ∈ R, s : x + y + 2z = 0 x + y + z = 0 . (a) Determinare la retta ` per P = (2, 1, 3) incidente s e perpendicolare ad r.
(b) Determinare la distanza tra r ed `.
5 Dimostrare che l’applicazione (A, B) ∈ M2(R)×M2(R) 7−→ T r(ABt) ∈ R definisce un prodotto scalare.
6 Enunciare e dimostrare la formula dimensionale per le applicazioni lineari.
Traccia III — 1
