Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 10 Aprile 2017 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Siano dati in R4 i sottospazi S = {(x, y, z, t)|x + y + z = 0} e T = {(x, y, z, t)|y − z = 0}.
(a) Si determini una base per S∩ T e S + T . (b) Si stabilisca se S + T `e una somma diretta.
2 Si discuta al variare del parametro reale h il seguente sistema lineare:
(1− h)x + y=0 2x + hy + 2z=0 x + y + (1− h)z=h
3 Siano S =
1 1 0 0 1 −1
3 3 0
una matrice ad elementi reali e f : R3 7→ R3,1 l’applicazione cos´ı definita
f (x, y, z) = S
x y z
(a) Si verifichi che f `e lineare e si determinino la dimensione e una base per Kerf e Immf . (b) Si determinino gli autospazi di S e si stabilisca se S `e diagonalizzabile.
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti P (1, 0,−1), Q(2, 1, −1), R(1, 1,−2).
(a) Dopo aver verificato che i punti P , Q, R non sono allineati si determinino l’equazione cartesiana e le equazioni parametriche del piano α da essi generato.
(b) Si determinino le equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per il punto P e parallela all’asse delle ascisse.
(c) Si stabilisca la posizione reciproca del piano α e la retta r..
5 Si scrivano le definizioni di autovalore e di autovettore di una matrice quadrata e se ne enuncino alcune propriet´a.
6 Si scriva la definizione di distanza euclidea tra un punto e un piano dello spazio euclideo E3. Si mostri come calcolarla mediante un esempio.
Traccia I — 1
