Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 11 Luglio 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si consideri la seguente matrice di M4(R):
A =
h 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 − h 0
1 1 1 h
,
dove h ∈ R.
(a) Determinare per quali valori di h ∈ R la matrice A risulta invertibile.
(b) Determinare per quale valore di h ∈ R la matrice A ha rango 2.
(c) Per il valore di h trovato al punto precedente, completare le due righe di A (pensate come vettori di R4) che sono linearmente indipendenti, ad una base di R4.
2 Sia B = {e1, e2, e3} le base canonica di R3 e si consideri l’applicazione lineare F : R3 −→ R3 tale che F (e1) = e2+ e3, F (e2) = e1+ e2+ e3, F (e3) = 2e1+ e2+ e3.
(a) Determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(b) Denotata con M la matrice associata ad F rispetto alla base canonica di R3, si determini se M `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si esibisca una matrice diagonalizzante per M .
3 Discutere, al variare del parametro k ∈ R, il seguente sistema lineare:
kx + z = 2 x − 2y − kz = −1
x + kz = −2
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto P = (1, 1, h) e la retta ` di equazioni
x − y = 0 z − 2y = 0
(a) Determinare l’equazione cartesiana del piano π passante per l’origine ed ortogonale ad `.
(b) Determinare per quali valori del parametro h ∈ R il punto P appartiene al piano π.
(c) Determinare i punti della retta ` distanti √
6 dal piano π.
5 Sia M una matrice quadrata di ordine n ad elementi in un campo K e sia λ ∈ K un autovalore di M.
Mostrare che λ3 ∈ K `e autovalore della matrice M3, dove M3 = M M M .
6 Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e siano U e W due sottospazi di V . Si dia la definizione di U + W e si mostri che U + W `e un sottospazio vettoriale di V .
Traccia I — 1
