QUADERNO 1 E – 2019/2020 SETTIMANA 1 Materiale obbligatorio per seguire le lezioni di matematica:

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QUADERNO 1 E – 2019/2020

SETTIMANA 1 Materiale obbligatorio per seguire le lezioni di matematica:

• quaderno a quadretti;

• penna, lapis & gomma, righello;

• libro di testo.

Consigli: quaderno ad anelli; quadretti di lato 5 mm; evidenziatori colorati o anche matite.

Potrebbe essere molto utile disporre di un PC a casa, poter portare a scuola un tablet o un piccolo PC portatile.

Metodo di studio:

– leggere un capitolo del libro a casa;

– sviluppare in classe le questioni più difficili, anche su richiesta;

– eseguire esercizi sia in classe che a casa.

Valutazioni

– 3 compiti scritti a quadrimestre, dunque 6 in tutto l'anno;

– interrogazioni a ciclo continuo (non meno di 2 a quadrimestre).

COME LEGGERE IL LIBRO DI TESTO

• Partire dalle pagine riassuntive (le pagine celesti);

• Approfondire gli aspetti più oscuri nelle pagine in forma estesa e se necessario in classe (ovviamente su richiesta);

• Cercare di distinguere nel testo definizioni, postulati e teoremi.

DEFINIZIONE

La descrizione di un concetto al quale viene attribuito un nome.

TEOREMA

Un'affermazione vera, in quanto dimostrabile.

ASSIOMA

Un'affermazione vera per la sua evidenza, un'affermazione che noi assumiamo vera in virtù della nostra intuizione.

POSTULATO

Un'affermazione vera, o meglio, un'affermazione alla quale viene attribuito convenzionalmente un valore di verità.

Non c'è nulla di scandaloso se noi, per comodità, considereremo le parole “assioma” e “postulato”

come sinonimi.

ASSIOMA O POSTULATO

Un'affermazione che consideriamo convenzionalmente vera per qualche ragione (intuizione o altro)

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DEFINIZIONE DI NUMERO

Un numero è un concetto astratto che esprime quantità e ordine.

DEFINIZIONE DEGLI INSIEMI NUMERICI

ℕ

numeri naturali: i numeri del “contare sulle dita”

ℤ

numeri interi (relativi): numeri col segno, conto ancora con le dita ma “in due sensi”, senso positivo e senso negativo, lo zero sta al centro.

ℚ

numeri razionali: i numeri che possono essere scritti in forma di frazione, ovvero di divisione tra due numeri interi.

ℝ

numeri reali: l'unione dell'insieme dei numeri razionali con gli insieme dei numeri irrazionali (ovvero quelli che non possono essere scritti in forma di frazione).

ℂ

numeri complessi: estensione dei numeri reali intruducendo il numero immaginario i=

√

−1 . (Ce ne occuperemo in quarta o in quinta)

DISPORRE I NUMERI SU UNA RETTA ORIENTATA

Nell'esempio seguente abbiamo scelto come distanza tra 0 e 1 i lati di 15 quadretti del quaderno.

Dunque posizioneremo il numero 1

2 esattamente a metà tra 0 ed 1, ovvero contando 7 quadretti e mezzo partendo da 0. La distanza tra 0 e 1 rappresenta la nostra unità (di misura), il numero 1

2 rappresenta la metà dell'unità e quindi noi lo disegneremo a metà strada tra 0 e 1.

Quando leggiamo un numero scritto in forma di frazione n

d e come se ci chiedessero di spezzare un bastone lungo quanto l'unità di misura in d parti e unirne insieme n.

Quindi per rappresentare sulla retta orientata 1

3 divido l'unità di misura in 3 parti: ciascuna parte sarà lunga 15:3=5 quadretti. Dunque il nostro numero 1

3 lo disegno a 5 quadretti a destra di 0; il numero 2

3 a 5×2=10 quadretti a destra di 0. Abbiamo poi la conferma grafica del fatto che

(3)

3

3=1 perché 3

3 va a cascare proprio sui 15 quadretti dell'unità. Possiamo anche uscire dall'intervallo tra 0 e 1. A destra di 1 possiamo posizionare 4

3 , contando 5 quadretti da 1 o, se preferite, 20 quadretti da 0. A sinistra di 0 potremmo posizionare il numero −1

3 contando cinque quadretti da zero, questa volta verso sinistra (nel verso negativo).

Nella figura vedete anche il numero 1

5 che si posiziona a 15:5=3 quadretti a destra di 0.

LE OPERAZIONI

Fin dalle elementari ci hanno insegnato ad eseguire le operazioni.

DEFINIZIONE DI ADDIZIONE a+b=c

Tra numeri naturali: nella retta orientata mi posiziono sul primo addendo a e poi conto tante volte quanto il secondo addendo b. Dove mi fermo è la somma c.

Risulta facile estendere questa definizione ai numeri interi: nella retta orientata mi posiziono sul primo addendo a e poi conto tante volte quanto il secondo addendo b (verso destra se b è positivo, verso sinistra se b è negativo). Dove mi fermo è la somma c.

Per estendere la definizione di addizione ai razionali e ai reali ho bisogno di uno strumento più potente del “contare sulle dita”. Visto che siamo sulla retta orientata possiamo pensare anche alle lunghezze dei segmenti: nella retta orientata mi posiziono sul primo addendo a e poi sovrappongo un segmento lungo tanto quanto il secondo addendo b. (da a verso destra se b è positivo , da a verso sinistra se b è negativo) Dove mi fermo è la somma c.

OSSERVAZIONE

Una volta definita l'addizione, possiamo definire le altre operazioni in funzione di essa.

DEFINIZIONE DI SOTTRAZIONE a−b=c

La differenza c è quel numero che addizionato al sottraendo b dà come somma il minuendo a.

OSSERVAZIONE 1

Nei numeri naturali la differenza potrebbe non esistere!

OSSERVAZIONE 2

La definizione è adeguata per naturali, interi, razionali e reali.

DEFINIZIONE DI MOLTIPLICAZIONE TRA NATURALI a×b=c

Eseguo l'addizione di tanti addendi uguali al primo fattore a quanti il secondo fattore b: la somma ottenuta è il prodotto c

OSSERVAZIONE

Per estendere la definizione ai numeri interi sono costretto a stabilire un assioma (o postulato): la regola dei segni.

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ASSIOMA: REGOLA DEI SEGNI

Data la moltiplicazione tra numeri interi a×b=c , c è positivo se a e b sono concordi (cioè hanno lo stesso segno), mentre è negativo se a e b sono discordi (cioè hanno segno diverso).

OSSERVAZIONE

Tale assioma ci serve essenzialmente nel caso in cui entrambi i fattori siano negativi, negli altri casi potremmo estendere la definizione agli interi senza difficoltà.

DEFINIZIONE: OPPOSTI

Due numeri si dicono opposti se la loro somma è 0.

DEFINIZIONE: VALORE ASSOLUTO

Per valore assoluto di un certo numero a si intende lui stesso se a è positivo, oppure il suo opposto -a se a è negativo.

OSSERVAZIONE

Posso pensare all'insieme dei numeri naturali come l'insieme degli interi positivi o anche come l'insieme dei valori assoluti dei numeri interi.

DEFINIZIONE DI MOLTIPLICAZIONE TRA INTERI a×b=c

Il prodotto c ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti di a e b e il segno che gli viene attribuito dalla regola dei segni.

OSSERVAZIONE

Per estendere la moltiplicazione a razionali e reali devo di nuovo chiamare in causa la geometria e pensare alle aree dei rettangoli.

DEFINIZIONE DI MOLTIPLICAZIONE a×b=c

Il prodotto c corrisponde all'area del rettangolo di base lunga come il primo fattore a e altezza lunga come il secondo fattore b.

DEFINIZIONE DI DIVISIONE a : b=c

Il quoziente c è quel numero tale che moltiplicato per il divisore b dà come prodotto il dividendo a. Il divisore b deve essere diverso da 0.

OSSERVAZIONE 1

Se fosse b=0 tale definizione non avrebbe senso, visto che anche il prodotto sarebbe 0 per qualsiasi valore di a.

OSSERVAZIONE 2

Nei naturali e negli interi il quoziente potrebbe non esistere. Ma come certo ricorderete bene, per naturali e interi si definisce una divisione leggermente diversa: la divisione con resto.

DIVISIONE CON RESTO a=b×q+r

Nella divisione con resto tra i numeri naturali a e b , il quoziente o quoto q è determinato dal fatto che il resto r sia il minimo possibile.

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ESERCIZIO SULLA DISPOSIZIONE DEI NUMERI SULLA RETTA ORIENTATA

Rappresenta i seguenti numeri razionali su una retta orientata, scegliendo come unità di misura la lunghezza di 6 quadretti del tuo foglio.

0 ; 1 ; 1

2 ^; −1 3 ^;

2 3 ^;

1

6 ^; −5 6 ^;

4 3 Risposta:

ESERCIZIO SULLA DISPOSIZIONE DEI NUMERI SULLA RETTA ORIENTATA

Rappresenta i seguenti numeri razionali su una retta orientata, scegliendo una opportuna* unità di misura.

0 ; 1 ; 1

2 ^; −1 4 ^;

2 3 ^;

1

6 ^; −5 3 ^;

3 2

* “opportuna” significa che il disegno deve essere chiaro, preciso, leggibile, inequivocabile.

Risposta:

Diamo un'occhiata ai denominatori: il m.c.m è 12 quindi la migliore scelta è sicuramente quella di usare come unità di misura la distanza di 12 quadretti. Non è sbagliato utilizzare una distanza di 6 quadretti, (sfruttando anche il mezzo quadretto per i quarti) ma il disegno diventerebbe sicuramente troppo piccolo e poco visibile. Si può anche verificare se nel quaderno sia possibile fare un disegno con una unità di 24 quadretti, magari nel foglio protocollo aperto, ma forse il disegno diventerebbe troppo grande e un po' scomodo. Tutte le altre scelte non sono opportune.

Nel disegno realizzato con GeoGebra ho utilizzato per l'unità la distanza di 12 quadretti.

ESERCIZIO SULLA DISPOSIZIONE DEI NUMERI SULLA RETTA ORIENTATA (contenuto extra)

Rappresenta i seguenti numeri su una retta orientata, scegliendo autonomamente una opportuna unità di misura.

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a 0 ^b 1 ^c 1 2

d

− 3 20

e 2 5

f

−3 4

g

− 7 10

h 23

20 Risposta:

Si noti che il m.c.m dei denominatori è 20, quindi una scelta opportuna è sicuramente quella di utilizzare 20 quadretti come unità di misura. È accettabile anche una scelta di 10 quadretti (utilizzando anche il “mezzo quadretto), volendo, se ci si organizza bene lo spazio sul foglio, si può anche usare come unità di misura 40 quadretti. Tutte le altre scelte risulterebbero imprecise o impraticabili. Nella figura l'unità di misura è 20 quadretti.

a 0 ^b 1 ^c 1

2

d

− 5 18

e 2 3

f

−1 6

g

−7 9

h 23

18 Risposta:

a 0 ^b 1 ^c 1

2

d

− 9 20

e 11

10

f

−1 4

g

−2 5

h 17

20 Risposta:

(7)

a 0 ^b 1 ^c

−1 2

d 4

3

e

−1 5

f 7 6

g 23

15

h

− 3 10 Risposta:

Si noti che il m.c.m dei denominatori è 30, quindi una scelta opportuna è sicuramente quella di utilizzare 30 quadretti come unità di misura. È accettabile anche una scelta di 15 quadretti (utilizzando anche il “mezzo quadretto). Tutte le altre scelte risulterebbero imprecise o impraticabili. Nella figura l'unità di misura è 30 quadretti.

a 0 ^b 1 ^c 1

2

d

−2 3

e 4 5

f

−5 6

g

− 2 15

h

11 10 Risposta:

Si noti che il m.c.m dei denominatori è 30, quindi una scelta opportuna è sicuramente quella di utilizzare 30 quadretti come unità di misura. È accettabile anche una scelta di 15 quadretti (utilizzando anche il “mezzo quadretto). Tutte le altre scelte risulterebbero imprecise o impraticabili. Nella figura l'unità di misura è 30 quadretti.

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MAPPA CONCETTUALE

Disegnamo adesso una sorta di “albero genealogico” delle operazioni.

In questa mappa vogliamo schematizzare il fatto che l'operazione di addizione si definisce utilizzando il concetto primitivo del contare, la sottrazione e la moltiplicazione possono essere definite in funzione dell'addizione (e quindi, in qualche modo, ne sono figlie). A sua volta dalla moltiplicazione possiamo definire la divisione e la potenza e dalla potenza possiamo definire la radice.

MAPPA DEI NUMERI RAZIONALI COMPRESI TRA 0 E 1.

Scegliamo come unità di misura 30 quadretti del quaderno, questa sarà la distanza tra 0 e 1.

Il numero 1

2 sarà posizionato esattamente a metà strada, a quindici quadretti da 0.

Per posizionare i numeri 1

3 e 2

3 dovrò dividere il segmento unitario in tre parti, ciascuna di dieci quadretti.

E così via, come si può constatare dal disegno realizzato con GeoGebra qui riportato.

Si noti che le diverse rappresentazioni in forma di frazione dello stesso numero occupano ovviamente la stessa posizione.

Oltre al disegno che si riferisce all'attività fatta in classe, riporto, come contenuto extra, anche una mappa più dettagliata (arriva fino ai quindicesimi) e impostata per una lettura più agevole.

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