Note di sistemi dinamici

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Note di Sistemi Dinamici

Mauro Lo Schiavo

Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l’Ingegneria Sezione Matematica

Universitá degli Studi di Roma ”La Sapienza“

Via A. Scarpa, 16 00161 Roma mauro.loschiavo@sbai.uniroma1.it

Vol. 12 - 2013

ISBN-A: 10.978.88905708/58

Licensed under

Attribution-Non-Commercial-No Derivative Works

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Published by:

SIMAI - Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale Via dei Taurini, 19 c/o IAC/CNR

00185, ROMA (ITALY)

SIMAI e-Lecture Notes ISSN: 1970-4429

Volume 12, 2013

ISBN-13: 978-88-905708-5-8 ISBN-A: 10.978.88905708/58

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Indice

Prefazione V

Notazione VII

1 Equazioni Diﬀerenziali Ordinarie

Metodi Analitici 1

1.1 I termini del problema . . . . 1

1.2 Equazioni scalari autonome . . . 12

1.3 I teoremi fondamentali . . . 17

1.4 Esempi e casi notevoli . . . 27

1.5 Equazioni lineari scalari del secondo ordine . . . 43

1.6 Ricerca di soluzioni per serie di potenze . . . 54

2 Sistemi diﬀerenziali lineari 75 2.1 Il procedimento di linearizzazione . . . 75

2.2 Sistemi diﬀerenziali lineari a coeﬃcienti costanti, in R² . . . 92

2.3 Sistemi diﬀerenziali lineari a coeﬃcienti costanti, inRⁿ. . . 120

2.4 Sistemi diﬀerenziali lineari a coeﬃcienti variabili, in Rⁿ . . . 125

2.5 La teoria di Floquet . . . 132

3 Equazioni Diﬀerenziali Ordinarie: Metodi Qualitativi 147 3.1 Il piano delle fasi . . . 147

3.2 Gli integrali primi . . . 161

3.3 Il Teorema di Poincar´e - Bendixon . . . 168

3.4 La discussione sul piano delle fasi . . . 173

4 Cenni di stabilit`a 189 4.1 La stabilit`a lineare . . . 189

4.2 Il metodo diretto di Liapunov . . . 208

5 Comportamento caotico dei Sistemi 227 5.1 La mappa quadratica . . . 227

5.2 Cenni di teoria delle biforcazioni . . . 259

5.3 “Classici” esempi di mappe caotiche . . . 277

5.4 “Classici” esempi di flussi caotici . . . 288

6 Alcuni Metodi Perturbativi 303 6.1 Gli sviluppi asintotici . . . 303

6.2 Metodi di Stiramento delle Coordinate . . . 326

6.3 Il pendolo fisico e l’equazione di Duﬃng . . . 358

6.4 Ancora sull’equazione di Duﬃng . . . 373

A 379 A.1 Richiami di Analisi Funzionale. ( I ) . . . 379

A.2 Richiami di Analisi Funzionale. ( II ) . . . 394

A.3 Richiami di Analisi Funzionale. ( III ) . . . 422

A.4 Richiami di Geometria Diﬀerenziale . . . 434

A.5 Richiami di Algebra Lineare. ( I ) . . . 443

A.6 Richiami di Algebra Lineare. ( II ) . . . 459

A.7 Richiami di Analisi Reale . . . 465

A.8 Richiami di Analisi Complessa . . . 471

A.9 Disuguaglianza generalizzata di Gronwall . . . 481

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IV ^INDICE

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Prefazione

Queste Note hanno avuto origine dall’esperienza fatta impartendo lezioni di matematica applicata, ed in particolare il corso di Sistemi Dinamici, presso la facolt`a di Ingegneria della “Sapienza” ormai fin dall’A.A. 1987/88.

Un’esperienza che, per il tipo ed il livello degli argomenti trattati, ha costituito una rara fortuna. Rara, perch´e

è opinione di molti che le attuali discipline scientifiche “standard”, ed in particolare quelle specificatamente rivolte alla formazione matematica dell’ingegnere, siano ben più che sufficienti; fortuna, perché il dover presentare, e far gradire, argomenti di matematica avanzata a giovani ben convinti della superiorità del fare rispetto al dire, mi ha costantemente stimolato a svilupparne l’aspetto concreto a scapito di quello puramente speculativo.

I miei pochi ma fortemente motivati studenti mi hanno fatto chiaramente sentire che il loro interesse e perfino la loro presenza in aula erano un premio, e che questo era rivolto non gi`a alla materia, certo interessante soprattutto se nelle mani dei suoi cultori, ma a quello che la materia avrebbe potuto in futuro rendere loro.

In tal modo mi sono trovato costretto ad un particolare impegno per mettere in luce gli aspetti essenziali, e formativi, che potessero far loro rapidamente acquisire quella sensibilità matematica che non dovrebbe mancare a chi, dal difficile mondo della matematica applicata vuole acquisire, o vorrà in seguito, i metodi talvolta avanzati che sono indispensabili a risolvere problemi concreti.

Con questo spirito ho impartito il mio corso per tutti questi anni, anche in risposta alle richieste a me fatte dai colleghi ingegneri.

Non trovando alcun testo adeguato a tale scopo, ed anche a causa della mia scarsa memoria che mi costringe a preparare ogni argomento riscrivendolo quasi integralmente, iniziai a suo tempo a riempire pagine e pagine di fitti appunti che si sono via via arricchiti ed ampliati. Di nuovo i miei studenti, dopo aver vanamente tentato di interpretare il manoscritto, e disperati del dovere non solo decodificare il linguaggio matematico ma anche il mio personale, mi convinsero della necessit`a di “ricopiare in bella” questa raccolta, e di trasformarla in qualcosa che fosse di facile interpretazione e, possibilmente, di ancor pi`u facile manipolazione.

L’esistenza dell’onnipresente computer, qui usato principalmente come compositore di stampa e per produrre accettabili grafici, ed il piacere di rimaneggiare con poche battute tutto un argomento, hanno fatto il resto.

Di conseguenza, anno dopo anno, ed alla luce delle considerazioni fatte l’anno prima, mi sono scoperto rimaneggiare, ampliare e rifinire un qualcosa che da disomogenea raccolta di lezioni `e in definitiva diventato uno (spero) comodo promemoria. Esso si rivolge, oltre che agli allievi del corso di Sistemi Dinamici, anche a chi voglia iniziare a sopravvivere nella vasta ed intricata foresta delle metodologie proprie della matematica applicata; ed in particolare a quelli che, senza farsi scoraggiare da qualche termine tecnico e “per soli introdotti”, vogliono raggiungere una visione sintetica di alcuni dei principali argomenti della matematica (deterministica) applicata ai sistemi in evoluzione.

Non mi è facile, dopo tanto rimaneggiare, rendermi conto dell’effettiva bontà del prodotto: alcuni argomenti sono rimasti molto simili a quelli originari trovati sui vari libri in circolazione, altri invece sono stati rielaborati più volte; e non tanto per partito preso, quanto perché a posteriori mi rendevo conto, dall’occhio triste e depresso della mia platea, che l’approccio adottato, seppur squisito ed ineccepibile dal punto di vista teorico e formale, era stato in realtà poco assaporato ed ancor meno digerito.

Va detto che a mia volta non mi sono facilmente arreso, e non credo di aver fatto illecite concessioni né al rigore matematico né allo spessore della presentazione. Inoltre sapendo che, per molti dei miei studenti, alcuni degli argomenti qui trattati lo sarebbero stati solo in questo corso, per favorirne la lettura ho talvolta indugiato inserendo brevi e sintetici richiami a vasti e doviziosi aspetti delle corrispondenti teorie, dall’enorme profondità concettuale ma dall’impossibile inserimento in piani di studio applicativi.

E evidente pertanto che queste note non hanno pretese di completezza o di dettaglio, viceversa cercano in` generale solo di rendere l’idea nel modo più semplice possibile pur rimanendo corretto. Gli argomenti trattati sono stati solo rielaborati ed opportunamente tradotti, e non è stata mia intenzione apportare sostanziali modifiche ad una materia già largamente codificata. Essi sono tutti presenti in monografie di ben altra ampiezza alle quali si rimanda il lettore interessato. Tuttavia, la mole di esse e l’impegno necessario ad una loro anche solo iniziale lettura, sono generalmente spaventevoli. Per avvicinarsi a queste note, invece, i prerequisiti sono assai modesti: un buon corso di analisi matematica e le nozioni fondamentali di geometria sono sufficienti ad iniziarne la lettura, e permettono di procedere con quelle ulteriori idee di analisi funzionale, algebra, e geometria, necessarie nel corso di esse.

Roma 29 Maggio 2009

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VI ^Prefazione

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Notazione

Caratteri filettati spazi (con strutture); eventualmente spazi vettoriali A cap. 1,2,5 spazio di funzioni

B cap. 1,2,4,a base di uno spazio C cap. a spazio complesso

E cap. 3,5,a spazio vettoriale (euclideo) G cap. 2,a variet`a

H cap. 5,a spazio di Hilbert K cap. 1,a campo numerico

L cap. 1,2,3,4,5,a spazio (vettoriale) di operatori lineari M cap. 1,2,3,4,5,6 variet`a (diﬀerenziabile)

P cap. 2,4,5,6 spazio prodotto T cap. 2,3,5 toro

V cap. 1,2,3,4,5 spazio vettoriale W cap. 2,4,5 spazio vettoriale o variet`a X cap. 1,3,5,6 spazio di punti o di funzioni Y cap. 3,5 spazio di punti o di funzioni N cap. 5 insieme dei numeri interi positivi R cap. 1,2,3,4,5 insieme dei numeri reali C cap. 1,2,3,4,5 insieme dei numeri complessi Q cap. 1,2,3,5 insieme dei numeri razionali Z cap. 1,2,4,5 insieme dei numeri interi Caratteri normali

a, b, c, d, f, . . . costanti reali (o funzioni)

x, y, z, v, w punti su variet`a (eventualmente vettori)

ψ, φ, χ, . . . funzioni reali di variabile reale, o funzioni su variet`a;

i, j, k, n, ν indici interi

A, B, C, D, J, V, Γ insiemi (senza struttura) di punti o di funzioni N (x) intorno del punto x

Br(x) sfera di centro x e raggio r B Cap. a base di intorni

C(R¹,R²) insieme delle funzioni continue daR¹ inR²

L1(R¹,R²) insieme delle funzioniR¹→ R² con modulo Lebesgue-integrabile L2(R¹,R²) spazio di Hilbert delle funzioni con modulo quadro integrabile ΓF0 := F⁻¹(F0) insieme di livello F0 della funzione F

ε costante reale piccola ϵ vettore (di base) j(x) funzioni di Bessel hn(x) polinomi di Hermite p(x) polinomio

Γ(x) funzione speciale Γ Φ(t) sistema fondamentale

Ψ(t) sistema delle evoluzioni dei vettori di base TxM spazio tangente laM in x

Altri caratteri

∂ operatore di derivata

T Cap. 1,2,3,4,5,6 periodo (durata) di tempo [D] chiusura dell’insieme D

∂D frontiera dell’insieme D

{x} insieme costituito dal solo elemento x

⟨ a, b ⟩ prodotto scalare fra a e b πⁱ i-ma proiezione: πⁱ(x) = xⁱ

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VIII ^Notazione Caratteri calligrafici

A, B, C, D, T , P operatori su variet`a; (op. lineari se su spazi vettoriali) G Cap. 1,2,3,a applicazione di avanzamento

I Cap. 3 applicazione di avanzamento

Caratteri maiuscoletto punti di uno spazio (aﬃne o) fisico a cap. 5

b cap. 5 c cap. 1,2,5 d cap. 5 o cap. 1,2,4,5,a p cap. 1,2,5,a q cap. 1 Ω cap. 1,5

Caratteri gotici e corsivo A Cap. 5 attrattore B Cap. 2,a forma bilineare

D Cap. 2,4 determinante, o divario E Cap. 1,3,4,6 funzione energia meccanica

F Cap. 3,4,a funzione di Liapunov, o integrale primo H Cap. 2,3,4,6 funzione hamiltoniana

G Cap. 5 Omomorfismo I Cap. 5 Isomorfismo

L Cap. 2,3 funzione lagrangiana K Cap. 2,4 tensore della metrica

χ

Cap. 2,4 tensore della metrica O Cap. 4 funzione omogenea Q Cap. 1,4 forma quadratica T Cap. 2,3,4,a energia cinetica W Cap. 2,4 funzione wronskiano V Cap. 1,2,3,6 energia potenziale Caratteri math grossi

π

Cap. 2,4 operatore parte quadratica dell’energia potenziale

ϕ

Cap. 1,2,3,4 trasformazione di rettificazione, o di coordinate

g

Cap. 5 generatore

s

^{Cap. 5} ricoprimento

τ

Cap. 5,a topologia

α

^{Cap. 5} ^algebra

β

^{Cap. 5} ^algebra

ℓ

^{Cap. 5} ^linea

γ

Cap. 3,5,a linea, cammino, bordo di superficie

φ

^{Cap. a} immagine di una curva

ψ

Cap. a immagine di una curva, cammino

ω

Cap. 3,4,5 insieme omega-limite Caratteri grassetto

a, b, c, e, f , g n-ple di numeri reali: coordinate di vettori α Cap. 2 n-pla di numeri reali

γ Cap. 2,a n-pla di numeri reali ϵ Cap. 2,a n-pla di numeri reali ζ Cap. 2,a n-pla di numeri reali η Cap. 1,2.a n-pla di numeri reali θ Cap. 2,5 n-pla di numeri reali κ Cap. 2 n-pla di numeri reali ν Cap. 1,2,3,5,a n-pla di numeri reali

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ξ Cap. 2,3,5,a n-pla di numeri reali π Cap. 4 n-pla di numeri reali σ Cap. 2,4,5 n-pla di simboli τ Cap. 1,2,a n-pla di numeri reali φ Cap. 1,2,3,5,a n-pla di numeri reali χ Cap. 1,2 n-pla di numeri reali ψ Cap. 1,2,3,5,a n-pla di numeri reali ω Cap. 1,4,5,a n-pla di numeri reali ρ Cap. 2,a n-pla di numeri reali ϱ Cap. 2 n-pla di numeri reali ϕ Cap. 1,2,3,5 n-pla di numeri reali ℓ Cap. 3,a n-pla di numeri reali Caratteri grassetto grossi

A, B, C, D, E n²-ple di numeri reali: matrici n× n T Cap. 1,2,.. matrice dell’operatoreT

τ

Cap. 2,4 altra matrice dell’operatoreT

G Cap. 1 matrice dell’applicazione d’avanzamento I Cap. altra matrice dell’applicazione d’avanzamento Ω Cap. 2 matrice

Λ Cap. 2 matrice Ξ Cap. 2,3 matrice Π Cap. a matrice Υ Cap. 2 matrice

Φ Cap. 1,2,a matrice di un sistema fondamentale Ψ Cap. 1,2,5 matrice principale

b

Cap. a matrice

c

Cap. a matrice

f

^{Cap. a} ^matrice

q

^{Cap. a} ^matrice

a

2,4,a matrice della forma quadratica dell’energia cinetica A 2,4,a matrice dell’operatore dell’energia cinetica

α

^{Cap. 2} altra matrice dell’operatore dell’energia cinetica

β

^{Cap. 2} altra matrice dell’operatore dell’energia potenziale

κ

Cap. 2,4,a matrice della metrica

χ

Cap. 2,4,a altra matrice della metrica

Σ

^{Cap. a}

ϕ

^{Cap. a}

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Capitolo 1

Equazioni Diﬀerenziali Ordinarie Metodi Analitici

1.1 I termini del problema

Nel seguito verranno usate le seguenti locuzioni con i significati (forse talvolta riduttivi) vicino espressi:

Sistema := l’oggetto in esame, che si assume caratterizzato mediante un insieme di grandezze che si possono individuare tramite valori numerici e convenienti unit`a di misura.

Stato del sistema := una particolare scelta dei valori delle grandezze che descrivono il sistema.

Spazio delle fasi := collezione di tutti i possibili stati.

N.B. 1.1.1 Stato non significa necessariamente posizione o configurazione, e cio`e un insieme di coordinate spaziali o generalizzate, ma piuttosto l’insieme di tutte le variabili dalle quali il sistema risulta totalmente e definitivamente

caratterizzato (cfr. oltre). ♦

Sistema dinamico := la famiglia delle trasformazioni dello spazio delle fasi in s´e che fanno passare da un certo stato “attuale” ad un altro, “passato” o “futuro”, e che ha come indice il parametro “tempo”. Questo ha valori reali t∈ R per sistemi continui ed ha valori interi t ∈ Z per sistemi discreti, ed entrambi sono minori o maggiori di zero, rispettivamente, per passato e futuro.

Sistema, o processo, deterministico := un sistema per il quale è possibile individuare, ed univocamente, il passato ed il futuro a partire dal suo stato attuale. Si pretende cioè che il modello matematico che ne regola l’evoluzione ammetta Esistenza ed Unicità della soluzione uscente da ogni possibile dato iniziale.

Di natura diversa sono, per esempio, i seguenti due processi.

Processo stocastico := una famiglia di funzioni definite sullo spazio delle fasi (con struttura di spazio di misura), dette variabili casuali, integrabili su comodi insiemi, detti eventi, indiciata dal parametro temporale t. Le transizioni fra due istanti, cos`ı come il valore degli integrali, possono essere regolati da convenienti misure di probabilit`a (stabilite apriori o dedotte da osservazioni di esperimenti quali, per esempio, il lancio di un dado, la lunghezza di un messaggio, l’applicazione di una qualche matrice di transizione, etc.). Tuttavia, tali transizioni possono anche essere deterministiche, e solo le variabili non esserlo.

Processo ereditario := l’intero passato del sistema determina (o influisce) sul suo futuro.

Un esempio di sistema deterministico di evidente importanza `e quello di un

Sistema meccanico a dimensione finita := lo stato `e assegnato mediante la coppia (x, ˙x), x, ˙x ∈ Rⁿ, dove le x (o anche q ) sono un insieme di coordinate spaziali (o generalizzate) che individuano la configurazione del sistema; la sola x non lo renderebbe deterministico.

Sistemi evolutivi deterministici nella loro descrizione matematica (anche se possono non esserlo i modelli dei sistemi fisici che essi interpretano) e di “dimensione infinita” sono per esempio i sistemi continui, i sistemi quantistici, i sistemi cinetici, etc. Per essi lo spazio delle fasi `e un conveniente spazio funzionale, magari discreto.

Nel seguito ci si occuperà solo di sistemi con spazio delle fasi a dimensione finita. In particolare, si tratteranno principalmente sistemi definiti su spazi (a dimensione finita e) convenientemente regolari: M aventi struttura di varietà differenziabili, (e cioè localmente Rⁿ, vedi oltre). I punti di questi, rappresentanti i possibili stati del sistema, verranno indicati con lettere minuscole in caratteri normali; le loro rappresentazioni in un qualche fissato sistema coordinate, e quindi formate da n -ple ordinate di numeri reali, dalle stesse lettere in caratteri grassetto. Quando invece si vorrà rimarcare il carattere puntuale dello spazio, in particolare dello spazio fisico tridimensionale, e distinguere (fissata la carta) un certo punto dello spazio dal vettore di posizione che gli corrisponde, quest’ultimo verrà indicato con il sopra-simbolo di vettore, o anche con la coppia di punti che ne individuano gli estremi: per esempio −op invece di quell’elemento p→ ∈ M le cui coordinate (fissata la carta) sono assegnate dalla n -pla p∈ Rⁿ delle componenti del vettore di estremi (fissato il riferimento) il punto p e l’origine o .

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Processo differenziabile := un sistema deterministico con spazio delle fasi avente la struttura di Varietà differenziabile, o “Manifold”: M, (si veda: Appendice A.4), e la cui evoluzione è in esso descritta da funzioni:

g : (t, x0)∈ R &→ g(t, x⁰)∈ M diﬀerenziabili.

Pi`u spesso con questo aggettivo si intende la prima di queste propriet`a, e la seconda solo rispetto al dato:

x0∈ M.

Verranno ora introdotte, con maggiori dettagli, le proprietà essenziali di un possibile modello per un processo differenziabile a dimensione finita che sia stazionario, e cioè tale da non contenere un transitorio dipendente dal particolare istante iniziale.

Si considera innanzi tutto una variet`a M come spazio delle fasi, ed un punto x ∈ M che rappresenti lo stato del sistema in un certo istante t0.

Come si è detto, l’evoluzione fra t0 e t è modellata da una trasformazione dello spazio delle fasi in sé, detta Applicazione d’avanzamento o Operatore d’evoluzione Gt^t0 :Mônto−→M :=

una mappa univocamente definita su tutto M ed a valori su tutto M, che fa corrispondere a ciascun x ∈ M il suo evoluto Gt^t0x dopo l’intervallo di tempo [t0, t].

Affinché una famiglia {Gt^t0}^t∈R di tali applicazioni d’avanzamento possa rappresentare una evoluzione del sistema con le proprietà richieste, è necessario che su tutto M

per il determinismo, sussista la: Gt^t¹0 =Gt^t¹Gt^t0, ∀t⁰, t1, t∈ R;

per la stazionariet`a, sussista la: Gt^t+τ =G0^τ =:G^τ, ∀τ, t ∈ R.

Queste propriet`a insieme forniscono:

G^t+τ =G^tG^τ=G^τG^t, ∀τ, t ∈ R . (1.1)

Gruppo ad un parametro di evolutori := {G^t}t∈R una famiglia di applicazioni d’avanzamento G^t : M → M tali che

G^t+τ =G^tG^τ ∀τ, t ∈ R, G⁰= 1I . A volte ci si dovr`a limitare a

Gruppi locali, ad un parametro := famiglie di trasformazioni che verificano la legge di composizione gruppale per valori del parametro t solo in convenienti sottoinsiemi (connessi) di R;

o addirittura (vedi oltre) a famiglie di applicazioni d’avanzamento che non verificano la composizione gruppale, e cioè per le quali Gt^t²1 ̸= G0^t²^−t¹. In tali casi il sistema non è stazionario e la composizione Gt^t3⁴G^tt1² è sicuramente definita solo se t3= t2 e se, ovviamente, sono definiti i fattori.

N.B. 1.1.2 In generale, infatti, non è detto che la Gt^t3⁴Gt^t1² sia un’ammissibile applicazione d’avanzamento, e cioè che per una certa evoluzione G esistano t⁵, t6 tali che l’assegnato sistema evolva fra t5 e t6 secondo la G^tt5⁶ =Gt^t3⁴Gt^t1². Ma se t3 = t2 il determinismo assicura che ciò accade, almeno con t5 = t1 e t6 = t4 (e sempre che il secondo membro sia definito: cioè sempre che esistano Gt^t1² e Gt^t2⁴). Quando il sistema è stazionario, invece, per ogni τ∈ R ed arbitrari t, t0 si ha che

Gt^t+τ0+τ = Gt^t0 o anche Gt^t0−τ = Gt^t+τ0

e l’esistenza dei due fattori G^τ e G^τ `e suﬃciente a garantire quella di G^tG^τ =G^t+τ.

Le due proprietà, tuttavia, sono indipendenti fra loro; ad esempio l’evoluzioneGt^t0x0:= x0t/t0 è deterministica ma non stazionaria, mentre la Gt^t0x0 := x0 se t≤ t⁰ e Gt^t0x0 := x0(1 + t− t⁰) se t > t0 è stazionaria ma non

deterministica. Per ulteriori esempi si veda oltre. ♦

Un buon modello per un sistema diﬀerenziabile deterministico stazionario a dimensione finita `e allora dato da un:

Flusso di fase differenziabile := una funzione g : R × M → M definita per ogni t ∈ R ed x ∈ M dalla g : (t, x) &→ G^tx, con le ipotesi che g sia differenziabile ovunque in R × M e che {G^t}^t∈R sia un gruppo ad un parametro di trasformazioni dello spazio delle fasi in sé.

Ne segue che G^t `e, per ogni t, un

Diffeomorfismo := una corrispondenza biunivoca differenziabile con inversa differenziabile.

Per esempio G^tx := x^t, con x∈ R e t = 3, non lo `e perch´e (x^1/3)^′(0) non esiste.

Spazio delle fasi ampliato := lo spazio R × M delle coppie (t, x).

Moto uscente da x∈ M in t = 0 := la funzione x : t! ∈ R → !x(t) ∈ M definita da !x(t) = G^tx, ove g : (t, x)&→ G^tx∈ M `e un flusso di fase diﬀerenziabile.

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1.1. I termini del problema 3 Osservazione sulla notazione

• Ci si ricorda della scelta fatta del particolare x ∈ M relativo all’istante t = 0 con la locuzione: moto di un “elemento” rappresentativo che all’istante t = 0 si trovi nel punto x dello spazio delle fasi M, o più brevemente con moto di x. E però evidente che questo moto non corrisponde generalmente ad alcun tipo` di moto effettivo di alcun elemento materiale in alcuno spazio fisico.

• Inoltre è generalmente conveniente ricordare che il punto x è quello scelto all’istante t⁰ indicandolo con la notazione x0, ma si badi bene che tale punto è del tutto generale e deve poter essere scelto arbitrariamente in tutto lo spazio delle fasi M.

• Accade poi spesso che il superscritto: “ ! ” della funzione !x : J ⊆ R → M scompaia e che si confonda, nella notazione, il punto x∈ M con il valore assunto in t dalla funzione !x e che coincide con il punto x stesso, scrivendo cioè x = x(t) invece di x =!x(t). Tale notazione, impropria, è comune quando si voglia ricordare esplicitamente e brevemente gli argomenti di una funzione, ed allora la locuzione “funzione φ(t, t0, x0)” può perfino essere usata al posto di: funzione φ : (t, t0, x0)&→ φ(t, t⁰, x0)∈ M.

In particolare ciò avverrà nel seguito quando un’equazione nell’incognita funzione !x contenga, per esempio in qualità di coef- ficienti, anche altre funzioni assegnate e generalmente non costanti: quando ciò non leda la chiarezza, queste ultime potranno essere indicate con il simbolo riservato al loro valore in un punto. Per un sistema su Rⁿ, per esempio, si scriverà

˙

x = c1(t)x + c2(t), con (t0, x0)∈ R × Rⁿ, piuttosto che

d

dt x =! !c1 x +! !c2, con

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

!

x : t∈ J ⊆ R &→ x = !x(t)∈ Rⁿ;

!

c1: t∈ I ⊆ R &→ !c1(t), c1(t) : x∈ Rⁿ&→ c1(t)x∈ Rⁿ;

!

c2: t∈ I ⊆ R &→ !c2(t)∈ Rⁿ; (t0, x0)∈ R × Rⁿconx(t! 0) = x0 . Nell’Appendice A.4 vengono poi date una motivazione ed una notazione anche pi`u generali di queste.

Curva integrale := il Grafico del moto, e cio`e la curva nello spazio delle fasi ampliato (R × M) costituita dalla famiglia di coppie {(t, Gt^t0x0)}^t∈J⊆R.

N.B. 1.1.3 Il determinismo fa s`ı che due curve integrali non si intersechino, e che ciascuna abbia una e una sola

intersezione con i piani t = cost. ♦

Nel caso in cui M ≡ R `e lo spazio delle configurazioni, la curva integrale `e il ben noto diagramma orario.

Se, ma non solo se (si veda: §III.1), {G^t}t∈R `e un gruppo, le curve integrali sono invarianti per traslazioni:

t→ t + τ , (si veda: [Arnold I]):

Proposizione 1.1.1 Sia H^τ : (t, x) &→ (t + τ, x) l’operatore di traslazione lungo l’asse dei tempi nello spazio delle fasi ampliato e {(t, G^tx)}t∈R una curva integrale, con G^t verificante la propriet`a di gruppo: G^t+τ =G^tG^τ. Allora

{H^τ(t,G^tx)}^t∈R={(t + τ, G^tx)}^t∈R `e anch’essa una curva integrale.

Dimostrazione Dato che {G^t}^t∈R `e un gruppo, esiste unico y = G^−τx, e quindi x = G^τy . Inoltre la stessa composizione G^t+τ =G^tG^τ assicura l’esistenza di: G^tx =G^t+τy . Quindi {(t + τ, G^tx)}^t∈R≡ {(σ, G^σy)}^σ∈R con σ := t + τ .

G ^-¿x x

t ¿ (t+¿) 0 t ¿ (t+¿)

0 G ^t+¿y

G ^ty y=

"

Curva di fase, o Orbita, uscente da x, o Traiettoria per x := l’Immagine del moto, e cio`e il sottoinsieme di M dato da

γ

^:={Gt^t0x}t∈J ⊂ M.

N.B. 1.1.4 Se {G^t}^t∈R `e un gruppo, le curve di fase non si intersecano (perch´e in caso contrario si potrebbero sempre trovare due curve integrali che ad esse corrispondono e che si intersecano). ♦

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Le seguenti definizioni (si veda anche: [Arnold I]) riassumono le varie possibilit`a.

Sistema dinamico (deterministico stazionario differenziabile a dimensione finita) := la coppia (M, g) con M una va- rietà differenziabile e g un flusso differenziabile.

Tuttavia, perfino nei casi di stazionariet`a, ci si deve spesso limitare a:

Sistemi dinamici locali := (M, J⁰, V0, g) dove: M è una varietà differenziabile, J0 un intorno dell’origine in R, V⁰⊆ M un conveniente intorno di un arbitrario punto x⁰ dello spazio delle fasi M, e g una funzione da J0× V⁰ in M tale che:

(i) per ciascun fissato t∈ J⁰, l’applicazione d’avanzamento G^t: V0→ M definita da x &→ G^tx := g(t, x) `e un diﬀeomorfismo;

(ii) per ciascun x∈ V⁰, il moto !x : J0→ M definito dalla t &→ !x(t) := g(t, x) `e una funzione diﬀerenziabile su J0 e tale che x(0) = x;!

(iii) per ogni x∈ V⁰ si ha G^t+τx =G^tG^τx per quei t, τ ∈ J⁰ per i quali il secondo membro `e definito. Inoltre, per ogni x ∈ V⁰ esistono N (x) ⊂ V⁰ e δ > 0 tali che G^tG^τx^′ `e definito per ogni x^′ ∈ N(x) e

|τ|, |t| < δ .

Nel caso non stazionario, il flusso di fase non è più invariante per traslazioni temporali: le curve integrali non è detto siano più le traslate rigide l’una dell’altra secondo l’asse delle t (e le funzioni φ(t + c, t0, x0) siano soluzioni della stessa equazione della quale è soluzione la φ(t, t0, x0)). Per ogni applicazione d’avanzamento occorre allora fissare l’esplicita coppia degli istanti di riferimento, e specificare il particolare intorno J × V⁰ ⊂ R × M del punto (t0, x0) vicino al quale si studia il sistema.

Un buon modello per l’evoluzione di un sistema deterministico non stazionario, nell’intorno di un punto (t0, x0)∈ R × M, consiste allora in una

Famiglia locale di applicazioni d’avanzamento su R × M := (M, J, V⁰,&g)

dove: M è una varietà differenziabile, J× V⁰⊆ R × M è un intorno del punto (t⁰, x0) e &g, che verrà chiamato Avanzamento locale, una funzione &g : J × J × V⁰→ R × M tale che, indicando con {t¹} il singleton {t^′∈ R | t^′ = t1}, si abbia:

(i) per ciascun (t, t1)∈ J × J l’applicazione &Gt^t1 : ({t¹} × V⁰)→ J × M definita da &Gt^t1(t1, x) :=&g(t, t¹, x) `e un diﬀeomorfismo da {t¹} × V⁰ in {t} × M;

(ii) per ciascun (t1, x)∈ J × V⁰, il Moto uscente da x∈ M in t¹, e cioè la mappa x : t! ∈ J ⊆ R → !x(t)∈ M definita nella (t,!x(t)) := &g(t, t¹, x), è una funzione differenziabile su J e tale che !x(t1) = x;

(iii) sussiste la: &Gt^t1³(t1, x) = &G^tt2³G&t^t1²(t1, x) se t1, t2, t3∈ J ed x ∈ V⁰ sono tali che il secondo membro `e definito.

In tal caso, per ciascun (t1, x)∈ J × V⁰ esiste un intorno N (t1)× N(x) tale che il secondo membro continua ad essere definito per ogni x^′ ∈ N(x) e t², t3∈ N(t¹).

Identificando con un unica M ogni “copia” dello spazio delle fasi, data per ogni t ∈ J da {t} × M, si ha che la mappa &Gt^t1² :{t¹} × V⁰→ {t²} × M individua la mappa Gt^t1² :M → M di cui si `e parlato precedentemente, e che si riduce a G^t²^−t¹ quando il sistema `e stazionario.

Tale identificazione permette anche di introdurre la

Componente spaziale dell’Avanzamento locale := la funzione φ : J × J × V⁰&→ M definita dalla (t, φ(t, t¹, x)) := &g(t, t¹, x). La sua restrizione a t e t1 fissati arbitrari in J è un diffeomorfismo Gt^t1 da V0 in M, e la sua restrizione a (t1, x) fissati arbitrari in J × M è il moto !x : J → M uscente da x in t¹ e quindi definito da t&→ !x(t) := φ(t, t1, x)≡ Gt^t1x con x(t! 1) = φ(t1, t1, x) = x, ed analoga proprietà per il suo valore a (t, x) fissati.

Posizione di equilibrio := punto unito di una famiglia di applicazioni di avanzamento, ovvero un punto che sia esso stesso una traiettoria.

Qualora la variet`a sia ad un numero infinito di dimensioni tale punto viene spesso chiamato “soluzione stazionaria”, da non confondere per`o con un sistema stazionario.

Dato un moto!x : J⊆ R → M definito, come si `e detto, da !x(t) := φ(t, t0, x0), ed indicata con x =!x(t) =Gt^t0x0

la posizione occupata all’istante t dall’elemento rappresentativo che per t = t0 occupava il punto x0, si definisce

(14)

1.1. I termini del problema 5 Velocità di fase, nel punto x, individuata dal moto := la velocità ˙x che tale elemento rappresentativo possiede nel punto x ed all’istante t; e cioè il valore della derivata

˙x = d dτ '' ''

τ =0

!

x(t + τ ) = d dτ '' ''

τ =0

Gt^t+τx

essa dipende, come si vede, da x e da t e quindi, per ogni (t, x)∈ J × V⁰, durante una certa evoluzione individuata da {Gt^t0}^t∈J sussiste la

˙x = v(t, x) , x∈ M, v∈ T^xM (1.2)

da interpretarsi come un legame (eventualmente dipendente dal tempo) che durante quella evoluzione sussiste fra la posizione all’istante t e la velocit`a che in quello stesso istante compete ad un elemento in quella posizione.

Quando queste si intendano quali valori di funzioni del tempo, la (1.2) pu`o essere interpretata come un’equazione funzionale avente come incognita la funzione moto, ed infatti in tutti gli istanti t di definizione il moto risulta verificare l’identit`a,

d

dt !x(t)≡ d dτ ''

''_{τ =0}Gt^t+τx = d dτ ''

''_{τ =0}Gt^t+τGt^t0x0≡ v(t, !x(t)). (1.3) In particolare, se la famiglia di trasformazioni forma un gruppo locale, e cioè se il sistema è stazionario, questa velocità dipende solo dal punto e non dipende esplicitamente dal tempo; si ha infatti

d dτ ''

''_{τ =0}Gt^t+τx≡ d dτ ''

''_{τ =0}G^τx = v(x) .

N.B. 1.1.5 Per il momento, la funzione v : x&→ v(x) `e individuata per componenti: vⁱ(x) = _dt^d''_t=0xⁱ(G^tx);

e quando nel seguito si vorrà distinguere il caso scalare: dimM = 1 dal caso: dim M > 1, lo si farà con la (usuale) notazione: ˙x = v(x) nel primo caso e ˙x = v(x) nel secondo. Come già accennato tuttavia, (si veda: Appendice A.4 ed [Arnold 1]) questa differente notazione avrà anche il compito di distinguere l’equazione sul tangente alla varietà

dalla sua rappresentazione in coordinate. ♦

Si riassume tutto ci`o nel seguente modo:

La terna (J, V0,G) individua una famiglia di applicazioni d’avanzamento {Gt^t0}t∈J, e questa definisce su J × V⁰ ⊆ R × M un campo vettoriale v = v(t, x)∈ T^xM. Il moto !x(·, t⁰, x0) : J → M, definito dalla

(t,x(t)) := (t, φ(t, t! 0, x0)) := (t,Gt^t0x0),

`e (una) soluzione dell’equazione diﬀerenziale associata al campo (o definita dal campo):

˙x = v(t, x) .

Con ciò si intende che esso è una funzione !x : J ∈ R → M, differenziabile, tale che !x(t0) = φ(t0, t0, x0) = x0, e tale che v(t,x(t)) è definito per ogni t! ∈ J e vi risulta

d

dt x(t) = v(t,! x(t))! ∀ t ∈ J .

Osservazione fondamentale nello studio dei sistemi dinamici:

sotto certe condizioni `e vero il viceversa: certi campi vettoriali sono tali da ammettere ed individuare una famiglia {G^t}t∈R che `e un gruppo ad un parametro.

Pi`u in generale:

se il campo v = v(t, x) è differenziabile in un aperto D⊆ R × M si può mostrare (si veda: §I.3) che esiste una famiglia locale di applicazioni d’avanzamento, e quindi un avanzamento locale &g relativo ad un conveniente intorno J× V⁰⊆ D di un arbitrario punto (t⁰, x0) interno al dominio D di regolarità del campo.

Memento 1.1.1 Dominio:= aperto, connesso, non vuoto. Qui, “aperto” nella topologia indotta dalla metrica euclidea in R¹⁺ⁿ.

(15)

Sotto queste ipotesi infatti, la famiglia delle soluzioni !x dell’equazione ˙x = v(t, x) uscenti in t1 dai punti x1

di V0 individua, al variare di (t1, x1) in J × V⁰, una funzione φ : J × J × V⁰ &→ M atta a definire mediante la (t, φ(t, t1, x1)) =:&g(t, t¹, x1) un avanzamento locale &g in quanto si vedr`a che:

(i) &Gt^t1(t1,·) := φ(t, t¹,·) `e un diﬀeomorfismo da {t¹} × V⁰ in {t} × M;

(ii) per costruzione, il flusso &g(·, t¹, x1) `e compatibile con un moto x(!·) tale che

t&→ !x(t) `e soluzione di

( ˙t =1

˙x =v(t, x), e verifica:&g(t¹, t1, x1) =x(t! 1) = x1;

(iii) &g(t³, t2,&g(t², t1, x)) =&g(t³, t1, x) l`ı dove tali operazioni sono definite.

Nel seguito, purché ciò non dia adito a dubbi, non solo la !x ma anche la funzione φ verrà chiamata soluzione dell’equazione ˙x = v(t, x). Ciò per motivi di brevità, e vuole ricordare non solo che per (t0, x0) fissati in J× M la x il cui valore in t è! !x(t) := φ(t, t0, x0) =Gt^t0x0∈ M verifica su J la (1.2) e la condizione !x(t0) = x0∈ M, ma anche che al variare di (t0, x0)∈ J × V⁰ e per t fissato, il punto x =x(t) varia in modo (almeno) continuo in! M.

Inoltre, come si è già accennato, la notazione con il superscritto “! ” verrà abbandonata a meno che essa sia strettamente indispensabile. Per esempio, quando non vi siano dubbi sul punto (t0, x0), si preferirà indicare la !x(t) con x(t).

Esempio 1.1.6 ˙x = kx, k, t0, x0∈ R ⇒ x(t) = e^k(t^−t⁰⁾x0.

v(x) x

x

x₀

t #

Esempio 1.1.7 Si consideri l’equazione

¨

x = k , con k∈ R (1.4)

La sua soluzione generale si pu`o trovare integrando direttamente due volte l’equazione stessa. Scelti t0, x0, ˙x0

arbitrari in R si ha

˙x(t) = k(t− t⁰) + ˙x0 , e x(t) = 1

2 k(t− t⁰)²+ ˙x0(t− t⁰) + x0 . (1.5) La (1.4) pu`o essere trasformata nella seguente equivalente equazione, con ˙x0≡ y⁰∈ R,

˙ x≡

)˙x

˙y

*

= v(x)≡

)v^x(x, y) v^y(x, y)

* :=

)y k

*

= )0 1

0 0

* )x y

* +

)0 k

*

, (1.6)

che mostra chiaramente la non linearit`a della (1.4).

Per brevit`a si ponga τ := (t− t⁰); la (particolare) funzione η(τ ) := kτ²/2 non dipende dai dati iniziali (x0, y0), si annulla con la sua derivata in τ = 0 , ed ha derivata seconda pari a k . La soluzione della (1.6), equivalente alla (1.4), `e esprimibile come segue

)x(τ ) y(τ )

*

= )1 τ

0 1

* )x0

y0

* +

)kτ²/2 kτ

*

=

)kτ²/2 + τ y0+ x0

kτ + y0

*

. (1.7)

La curva di fase che in t0= 0 passa, per esempio, per (0, 0) `e il luogo )x(t)

y(t)

*

= )kt²/2

kt

*

e cio`e x = 1

2k y² . (1.8)