Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 12/2011 1

I gruppo di esercizi (Funzioni: inizio studio del grafico)

Per le funzioni che seguono, determinare:

1) il dominio D_f (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha

( )

⁰

f x = ^{) ;}

4) il segno (cioè i punti in cui si ha ^f

( )

^{x > 0}

o (cioè i punti in cui si ha ^f

( )

^{x < 0);}

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti

lim ( )

x f x

→+∞ ,

lim ( )

x f x

→−∞ (se esistono).

Esercizio n. 1

( ) 16 2

f x = − x

[

^{4; 4}

]

Df = −

Si tratta di una semicirconferenza con centro nell’origine e raggio r = 4^.

( )

⁰

f x = ^per x = − ∨ =4 x 4^{; f}

( )

^{x > 0 per x ∈ −}

(

^{4; 4}

)

Minimo assoluto: m = 0 Massimo assoluto: M = 4

Asintoti: ovviamente non esistono I limiti

lim ( )

x f x

→+∞ ,

lim ( )

x f x

→−∞ non esistono, in quanto il dominio D_f = −

[

4; 4

]

è limitato sia a destra che a sinistra.

Esercizio n. 2

( ) 32 2 2

f x = − − x

[

4; 4

]

Df = −

Si tratta di una semiellisse con centro nell’origine.

( )

⁰

f x = per x = − ∨ =4 x 4; ^f

( )

^{x < 0 per x ∈ −}

(

^{4; 4}

)

Minimo assoluto: m = −4 2 Massimo assoluto: M = 0

Asintoti: ovviamente non esistono I limiti

lim ( )

x f x

→+∞ ,

lim ( )

x f x

→−∞ non esistono, in quanto il dominio Df = −

[

^{4; 4}

]

è limitato sia a destra che a sinistra.

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti lim ( ) x

f x

®+¥

, lim ( ) x f x

®-¥

(se esistono

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti lim ( ) x

f x ®+¥

, lim ( )

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali,

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 12/2011 2

Esercizio n. 3

( ) 9 2 2

f x = − + x

Df = ℝ

Si tratta di un ramo d’iperbole (avente fuochi sull’asse Y e centro nell’origine).

La funzione non si annulla mai ( ^f

( )

^{x = 0 non}

ammette soluzioni).

Minimo assoluto: non esiste (la funzione non è inferiormente limitata).

Massimo assoluto: M = −3 Asintoti (obliqui): y = ± 2 ⋅ x

lim ( )

x

→+∞ f x = −∞^,

lim ( )

x

→−∞ f x = −∞

Esercizio n. 4

( ) 4 2 1

f x = x +

Df = ℝ

Si tratta di un ramo d’iperbole (avente fuochi sull’asse Y e centro nell’origine).

La funzione non si annulla mai (^f

( )

^{x = 0} non ammette soluzioni).

Minimo assoluto: m = 1^.

Massimo assoluto: non esiste (la funzione non è superiormente limitata) Asintoti (obliqui): y = ± ⋅2 x

lim ( )

x f x

→+∞ = +∞^,

lim ( )

x f x

→−∞ = +∞

Esercizio n. 5

2 1

( ) 4 1

f x = x −

]

^{; 2}

] [

^2;

[

Df = −∞ ∪ +∞

Si tratta di un ramo d’iperbole (avente fuochi sull’asse X e centro nell’origine).

( )

⁰

f x = ^per x = − ∨ =2 x 2^{; f}

( )

^{x > 0 per}

(

^{; 2}

) (

^2;

)

x ∈ −∞ − ∪ +∞ ^. Minimo assoluto: m = 0.

Massimo assoluto: non esiste (la funzione non è superiormente limitata)

Asintoti (obliqui): y = ± ⋅¹₂ x

lim ( )

x f x

→+∞ = +∞^,

lim ( )

x f x

→−∞ = +∞

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti lim ( ) x

f x

®+¥

, lim ( ) x f x

®-¥

(se esistono

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti lim ( ) x

f x ®+¥

, lim ( )

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali,

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 12/2011 3

Esercizio n. 6 ( )

4

2 5

f x x

x

= +

− Df = ℝ

Si tratta di un’iperbole equilatera traslata (riferita ad assi paralleli agli asintoti), avente centro nel puntoC

(

⁵2

;

¹2

)

.

( )

⁰

f x = ^per x = −4

Minimo assoluto: non esiste (la funzione non è inferiormente limitata)..

Massimo assoluto: non esiste (la funzione non è superiormente limitata) Asintoti: y = ¹₂ ^e x = ⁵₂

1

lim ( ) 2

x f x

→+∞ = ^, lim ( ) ¹₂

x f x

→−∞ =

Esercizio n. 7

( ) ² 4

f x = x − x

]

^{; 0}

] [

^4;

[

Df = −∞ ∪ +∞

Si tratta di due archi di iperbole equilatera con fuochi sull’asse X e centro nel punto ^C

(

^{2; 0}

)

^.

( )

⁰

f x = ^per x = ∨ =0 x 4^{; f}

( )

^{x > 0 per x ∈ −∞}

(

^{; 0}

) (

^{∪ 4;+∞}

)

Minimo assoluto: m = 0

Massimo assoluto: non esiste (la funzione non è superiormente limitata) Asintoti (obliqui): y = ± −(x 2)

lim ( )

x

→+∞ f x = +∞,

lim ( )

x

→−∞ f x = +∞

Esercizio n. 8

( ) 1 1 ²

4 f x = − + − x

[

^{2; 2}

]

Df = −

Si tratta di un arco di ellisse con centro nel punto ^C

(

^{0; 1−}

) ( )

⁰

f x = ^per x = 0^{; f}

( )

^{x < 0 per} x ∈ Df −

{ }

⁰

Massimo assoluto: M = 0 Minimo assoluto: m = −1

Esercizio n. 9

( ) 2 1 ² 4 f x = − + x

Df = ℝ

Si tratta di un ramo di iperbole traslata (riferita agli assi di simmetria) con centro nel punto ^C

(

^{0; 2}

)

^.

( )

⁰

f x = ^per x = 2 3 ^{e per} x = −2 3 ^{; f}

( )

^{x > 0 per x ∈ −}

( ^{2 3;2 3} )

^;

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti lim ( ) x

f x

®+¥

, lim ( ) x f x

®-¥

(se esistono

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti lim ( ) x

f x ®+¥

, lim ( )

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali,

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 12/2011 4

( )

⁰

f x _< per ^{x ∈ −∞ −}

( ^{; 2 3} ) (

^∪

^{2 3;}

^+∞

)

Massimo assoluto: M = 1 ^per x = 0

Minimo assoluto: non esiste (la funzione non è inferiormente limitata) Asintoti (obliqui): 1

2 2 y = ± x +

lim ( )

x f x

→+∞ = −∞^,

lim ( )

x f x

→−∞ = −∞

Esercizio n. 10

x x x

f

( )

=

1

− ² −

4

Df = ℝ

Si tratta di un curva composta da una semicirconferenza con centro nel punto ^C

(

^2;1

)

e due archi di iperbole equilatera traslata (riferita agli assi di simmetria) con centro nel punto ^C

(

^2;1

)

^.

( )

⁰

f x = ^per x = ±2 3 ^{e per} x = ±2 5^;

( )

⁰

f x > ^{per x∈}

( ²

⁻

^5;2

⁻

³ ) (

^∪

²

⁺

^3;2

⁺

⁵ )

^;

( )

⁰

f x < per ^{x∈ −∞ −}

( ^{; 2 5} ) (

^∪

²

⁻

^{3; 2}

⁺

³ ) (

^∪

^{2 5;}

^+∞

)

Minimo relativo: m = −1 ^per x = 2

Massimo assoluto: M = 1 ^per x = ∨ =0 x 4

Massimo assoluto: non esiste (la funzione non è inferiormente limitata) Asintoti (obliqui): y = −x 1^, y = − +x 3

lim ( )

x f x

→+∞ = −∞

,

lim ( )

x f x

→−∞ = −∞

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti lim ( ) x

f x

®+¥

, lim ( ) x f x

®-¥

(se esistono

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali, verticali, obliqui);

8) i limiti lim ( ) x

f x ®+¥

, lim ( )

1) il dominio Df (inteso come insieme di esistenza);

2) il grafico (può essere utilizzato per facilitare le risposte alle domande che seguono);

3) gli zeri o radici (cioè i punti in cui si ha f ( x ) = 0 ) ;

4) il segno (cioè i punti in cui si ha f ( x ) > 0 o (cioè i punti in cui si ha f ( x ) < 0 );

5) massimo assoluto M e minimo assoluto m (se esistono);

6) massimi e minimi relativi (se esistono);

7) eventuali asintoti (orizzontali,