• Studiare al variare del parametro α ∈ R + e in x ≥ 0, y ≥ 0, la continuit` a e la differenziabilit` a nell’origine della seguente funzione e stabilire per quali direzioni b r la funzione ammette derivate direzionali nell’origine:

Tutoraggio Analisi II, Ing. Civile-Trasporti (M-Z) Dott.ssa Silvia Marconi - 20 Aprile ’07 -

 Regolarit` a di funzioni in due variabili

- Continuit` a, derivabilit` a parziale e direzionale, differenziabilit` a

• Studiare al variare del parametro α ∈ R ⁺ e in x ≥ 0, y ≥ 0, la continuit` a e la differenziabilit` a nell’origine della seguente funzione e stabilire per quali direzioni b r la funzione ammette derivate direzionali nell’origine:

f (x, y) =

( (x

−y

)

x

+y

(x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)

• Data la funzione f (x, y) = arctan 

x y



determinare il suo insieme di definizione e calcolare, se esistono, f _x (0, 1) e f _y (0, 1). Stabilire inoltre se f ammette derivata direzionale secondo l’asse y = x orientato nel verso delle x crescenti nel punto (1, 1).

• Stabilire per quali valori del parametro α ∈ R la funzione:

f _α (x, y) = e ^αx sin[(α ² − 1)y] cos x ² ha la derivata direzionale lungo la direzione b r = ( ^{√ 1}

2 , ^{√ 1}

2 ) nel punto (0, 0) pari a 0.

• Data la funzione

f (x, y) =

( x

+y

+2xy+ √ y

x

+y

(x, y) 6= (0, 0)

1 (x, y) = (0, 0)

con y ≥ 0, stabilire se f ` e continua e se esistono direzioni b r lungo le quali ` e derivabile direzionalmente nell’origine. Stabilire se la funzione ` e differenzia- bile nell’origine.

• Data la funzione

f (x, y) =

( e

−1

x

+y

(x, y) 6= (0, 0) 1 (x, y) = (0, 0)

studiare la continuit` a, la derivabilit` a parziale e la differenziabilit` a di f in (0, 0). Stabilire per quali direzioni la funzione ` e derivabile direzionalmente nell’origine.

• Data la funzione f (x, y) = 1 + p(x − 1)

² y

calcolare le derivate direzionali nel punto (1, 0). Verificare che la funzione

non ` e differenziabile in tale punto.

- Piano tangente

Determinare l’equazione del piano tangente al grafico delle seguenti funzioni nel punto a fianco indicato:

• f (x, y) = px ² + y ² in (2, 0, 2)

• f (x, y) = arctan(x + 2y) in (0, 0, 0)