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FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2005/2006 Prova scritta del 5 Luglio 2006

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(1)

1) Un corpo di massa m1 = 1500 g comprime di un tratto ∆x=10 cm una molla di costante elastica k=2000 N/m. All’istante iniziale la molla viene rilasciata ed il corpo si mette in moto lungo un piano orizzontale scabro di coefficiente di attrito dinamico µd = 0.2, come mostrato in figura.

Dopo aver percorso un tratto d = 3 m il corpo urta in modo completamente anelastico contro un corpo di massa m2 = 2 kg. Dopo l’urto i due corpi continuano il loro moto risalendo lungo un piano inclinato liscio con un’inclinazione pari a 45 gradi, rispetto all’orizzontale. Calcolare:

a) la velocità del corpo m1 all’istante in cui si stacca dalla molla;

b) la velocità del corpo m1 alla fine del tratto orizzontale d, immediatamente prima che avvenga l’urto.

c) Facoltativo: la velocità dei due corpi immediatamente dopo l’urto e la massima quota h raggiunta dai due corpi sul piano inclinato liscio.

2) n=2 moli di gas monoatomico compiono un ciclo reversibile così fatto:

A-B: espansione isoterma da pA= 2 atm, VA=1 l a VB=2 l;

B-C: espansione adiabatica fino a VC = 3.03 l;

C-D: compressione isobara fino al volume VD=VA; D-A: trasformazione isocora fino allo stato A.

a) Disegnare il ciclo sul piano p-V e calcolare la temperatura nei punti A, B, C e D;

b) calcolare la variazione di energia interna lungo la trasformazione A-C;

c) Facoltativo : calcolare la variazione di entropia lungo la trasformazione A-C.

[N.B. R=8.31 J/mole K]

3) Una cisterna cilindrica, alta H = 4 m e del diametro D = 1 m poggia a terra ed ha un forellino del diametro d=1 cm ad una altezza h = 1 m dal suolo.

Calcolare:

a) il rapporto fra le velocità dell’acqua alla superficie della botte e all’uscita dal forellino;

b) la velocità di deflusso dell’acqua dal forellino, facendo le opportune approssimazioni;

c) Facoltativo: la distanza orizzontale dalla botte a cui ricade al suolo l’acqua che fuoriesce dalla botte attraverso il forellino.

4) Due lamine piane infinitamente estese poste alla distanza d = 1.5 m sono uniformemente cariche, con densità di carica uguale ed opposta e pari in valore assoluto a σ = 3 µC/m2. Una carica negativa q = -1 10 -12C è posta nel punto A di coordinate (0.5m, 0). Si calcolino :

a) intensità, direzione e verso del campo E fra le lamine e della forza di cui risente la carica q;

b) il lavoro fatto dalla forza elettrostatica per spostare la carica q dal punto A al punto C di coordinate (1m, 0.5m), seguendo il percorso

A→B→C mostrato in figura.

[N.B. ε0= 8.85 10-12 C2/Nm2]

SCRIVERE IN MODO CHIARO.DESCRIVERE I PROCEDIMENTI E LE FORMULE USATE.

SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE.INDICARE LE UNITA` DI MISURA. TESTO, SOLUZIONI ED ESITI DELLA PROVA VERRANNO PUBBLICATI ALLE PAGINE:

FISBIO.WEBHOP.NET (LINEE AD E EN) WWW.MI.INFN.IT/~SLEONI (LINEA OZ)

(2)

Soluzione Esercizio 1

a) Per determinare la velocità del corpo di massa m1 all’istante in cui si stacca dalla molla si applica il principio di conservazione dell’energia meccanica, considerando come istante iniziale quello in cui il corpo è fermo e comprime la molla di un tratto ∆x, e come istante finale quello in cui il corpo si stacca completamente dalla molla e la molla è a riposo.

da cui si ricava

b) La velocità con cui il corpo giunge alla fine del tratto orizzontale d, scabro, si ottiene applicando il teorema lavoro-energia cinetica, in cui l’unica forza che compie lavoro è la forza di attrito fd:

ove vi è la velocità con cui il corpo si stacca dalla molla, precedentemente calcolata.

Dalla equazione precedente si ottiene quindi:

c) Facoltativo:

Dopo un urto completamente anelastico i due corpi formano un unico corpo di massa (m1+m2) che procede con velocità v. Tale velocità può essere determinata applicando la conservazione della quantità di moto, prima e dopo l’urto:

Nel caso in esame, v1 = vf = 1.25 m/s e v2 = 0, da cui si ottiene

L’altezza massima h raggiunta sul piano inclinato liscio si ottiene applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica:

2 1 2

, ,

2 1 2

1

f f f i i

f mecc i

mecc

v m x

k

U K U K

E E

=

+

= +

=

s m kg m

m x N

m

vf k 0.1 3.65 / 5

. 1

/ 2000

1

=

=

=

v m m v m v

m1 1+ 2 2 =( 1+ 2)

cm s m

m s m g

h v

gh m m v m m

5 . 1 0148 . / 0 8 . 9 2

) / 54 . 0 ( 2

) (

) 2(

1

2 2 2

2 1 2 2 1

× =

=

=

+

= +

s m m

s m s

m gd

v v

gd v

v

gd m v

m v

m

d i f

d i f

d i f

/ 25 . 1 3 / 8 . 9 2 . 0 2 ) / 65 . 3 ( 2

2 2 1 2

1

2 2

2 2 2

1 2

1 2 1

=

×

×

×

=

=

=

=

− µ µ

µ

s m s

kg m v kg

m m

v m 1.25 / 0.54 /

) 0 . 2 5 . 1 (

5 . 1 )

( 1 2 1

1 =

= +

= +

d f d f v m v m

L K

d d

i

f − = ⋅ =−

=

r

2 r

1 2

1 2

1 2

1

(3)

a) Il ciclo termodinamico, rappresentato in figura, è percorso in senso orario e le coordinate (P,V,T) valgono:

stato A:

pA = 2 atm, VA = 1 l = 10-3 m3 TA=pAVA/nR∼12 K stato B:

TB=TA= pAVA/nR ∼12 K VB=2VA = 2x10-3 m3 pB=nRTB/VB

=nR pAVA/(nR) 1/(2VA)=pA/2=1 atm stato C:

VC=3.03 l = 3.03 10-3 m3

Essendo la trasformazione B-C adiabatica (con γ = 5/3):

K V K

T V T

V T V T

C B B C

B B C C

1 . 10 9

03 . 3

10 12 2

3 2

3 1 3

1 1

 ≈

 

×

= ×



 

= 

=

γ γ γ

5 4 . 10 0

03 . 3

1 . 9 /

31 . 8

/ C 2 3 3 A

C C

atm p m

K moleK V J

nRT

p ≈ =

×

×

= ×

=

stato D:

pD = pC=pA/4=0.5 atm VD = VA = 10-3 m3

TD=pDVD/nR= pA/4 VA/nR=TA/4 ∼3 K

b) La variazione di energia interna lungo la trasformazione A-C è data dalla sola variazione di energia interna lungo la trasformazione adiabatica, ossia:

c) La variazione di entropia lungo la trasformazione A-C è data da:

Essendo la trasformazione B-C adiabatica (Q=0), la variazione di entropia è pari alla variazione di entropia dovuta alla sola trasformazione isoterma A-B, ossia:

= +

=

C

B B

A C

A T

dQ T

dQ T

S dQ

K J V nR

nR V VT

nRTdV T

pdV T

dW T

S dQ

A B B

A B

A B

A B

A = = = = ln = ln2=11.5 /

=

∫ ∫ ∫ ∫

J nR J

V p nR

V R p n

T T nc

E

E E

E

B B C C

B C V

BC

BC AB

AC

73 10

10 ) 2 1 03 . 3 5 . 0 2 ( ) 3 2 (

3

) (

3

5× ≈−

×

×

×

=

×

=

=

=

∆ +

=

(4)

Soluzione Esercizio 3

a) Il rapporto fra le velocità dell’acqua alla superficie della botte e all’uscita del forellino si ottiene dall’equazione di continuità, ossia:

b) La velocità v2 di deflusso dell’acqua dal forellino si ottiene applicando il teorema di Bernoulli:

Infatti, p1 = p2 = 1 atm ed in base al risultato del punto a) il termine in v1 è trascurabile rispetto a quello in v2, da cui segue:

c) Facoltativo:

All’uscita dal forellino il moto del fluido è di tipo parabolico, essendo soggetto alla sola accelerazione di gravità. Le equazioni del moto in x ed y sono quindi:

La posizione d a cui porre il secchio si ottiene imponendo y=0, ossia:

4 2 2

2

2 1

2 2 1

2 2 2 1 1

1 10 10 2 2

 =

 

=



 

=



 

= 



 

=

m m D

d v v

d v D v

v A v A

π π

) 2 (

1

) 2 (

1 2

1

2 1 2

1

2 2

2 1 2

1 2 1 2

2

2 2 2

2 2 1 1

1

h H g v

h h g p p v v

v gh

p v gh

p

− +

=

+ +

= +

+

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ ρ

s m m

m s

m h

H g

v2 ≈ 2 ( − ) = 2×9.8 / 2×(4 −1 ) ≈7.7 /

2 2

2 1gt h y

t v x

=

=

m h

H g h

h h H g t

v d

s s m

m g

t h gt h

46 . 3 ) ( 2 2

) ( 2

45 . / 0 8 . 9

1 2 2

2 0 1

2

2 2

=

×

=

=

× =

=

=

− ⇒

=

(5)

a) Il campo elettrico fra due lamine infinitamente estese e cariche con densità di carica uguale ed opposta è uniforme e perpendicolare alle lamine (verso da lamina + a lamina -), con intensità pari a:

Secondo la geometria della figura il campo elettrico vale quindi:

da cui segue che la forza elettrostatica sulla carica q negativa è pari a :

b) Il lavoro fatto dalla forza elettrostatica (che è costante) per spostare la carica q da A a C lungo il percorso AB-BC è pari al lavoro per spostare la carica da B a C, dato che lungo il tratto AB la forza elettrostatica è sempre perpendicolare allo spostamento e quindi non compie lavoro.

Il lavoro complessivo vale quindi

C

N Nm

C m

E C 339 10 /

10 85 . 8

/ 10

3 3

2 2 12

2 6

0

×

=

×

= ×

=

ε σ

(

N C

)

i

Er r

/ 10 339× 3

=

(

N C

) (

i N

)

i

C E

q

Fr r 12 3 r 9 r

10 339 /

10 339

10 × × =− ×

=

=

(

N

)

i m J

s E q s F L L L

LAC = AB + BC = BC = r⋅rBC = r⋅rBC =−339×109 r⋅(0.5 )=−169.5×109

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