1) Un corpo di massa m = 30 g, vincolato ad una spago di lunghezza
O A x
y
O A x
y
O A x
y l = 1m si muove di moto circolare uniforme su di un piano
orizzontale privo di attrito, compiendo 1 giro al secondo in senso anti-orario, come mostrato in figura.
Calcolare:
a) la tensione T della fune;
b) modulo, direzione e verso del vettore velocità nel punto A=(l,0), punto in cui la fune si spezza. Calcolare inoltre la posizione del corpo dopo un tempo t = 10 s dall’istante in cui la fune si è spezzata.
2) Una bottiglia vuota, di volume V = 1 litro e massa m = 100 g, viene chiusa e immersa in acqua.
Si determini:
a) La forza che occorre esercitare per mantenere la bottiglia completamente immersa.
b) La quantità di acqua che occorre versare nella bottiglia affinchè, all’equilibrio, risulti immerso il 30% del suo volume.
3) Due moli di un gas perfetto monoatomico compiono, a partire dallo stato iniziale A di coordinate termodinamiche (pA = 2×105 N/m2, VA= 10 dm3), il ciclo reversibile ABCA, in cui AB è una trasformazione in cui la pressione decresce linearmente all’aumentare del volume, con pB= (1/2) pA
e VB= 4VA ed inoltre BC è una compressione isobara e CA è una compressione isoterma.
a) Si disegni l’intero ciclo in un diagramma (V, p). Si calcolino le coordinate termodinamiche di C e la variazione di energia interna relativa alla trasformazione AB.
b) Si calcoli la quantità di calore scambiata durante l'intero ciclo.
[Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole]
4) Le cariche +2q e –q sono fissate lungo l’asse x, rispettivamente nei punti O = (0,0) ed A = (d,0).
Determinare:
a) il campo elettrico nel punto dell’asse x di coordinata x0 =2d + 2d;
b) se esistano punti dell’asse x, compresi tra O ed A, in cui il potenziale nullo e, se si, calcolarne la distanza x da O;
SCRIVERE IN MODO CHIARO.DESCRIVERE I PROCEDIMENTI E LE FORMULE USATE.
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE.INDICARE LE UNITA` DI MISURA. TESTO, SOLUZIONI ED ESITI DELLA PROVA VERRANNO PUBBLICATI ALLE PAGINE:
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a) La tensione della fune è la forza centripeta che mantiene il corpo lungo la traiettoria circolare e vale in modulo:
l
mv2
= T
ove la velocità v ha modulo costante e pari a
m s
s m t
l 6.28 /
1 1 2
2 = × =
=
v π π
Il modulo della tensione T vale quindi:
kg m s N
t m l l t m l
T 1 4 0.03 4 / 1.18
2 )
( 2 2 2
2 × = × 2 = × =
×
= π π π
La direzione della tensione T è sempre perpendicolare alla traiettoria circolare, con verso che punta verso il centro della traiettoria.
b) Nel punto A=(l,0) la fune si spezza ed il corpo procede da questo istante in poi con moto rettilineo ed uniforme, con velocità costante e pari alla velocità v posseduta in A. Tale velocità ha modulo
m s
s m t
v l 6.28 /
1 1 2
2 = × =
= π π
ed è diretta parallelamente all’asse delle y, con verso concorde all’asse. Il corpo segue quindi una traiettoria rettilinea parallela all’asse delle y, con verso concorde all’asse stesso.
Dopo un tempo t = 10 s il corpo ha quindi percorso un tratto
y = vA t = 6.28 m/s × 10 s = 62.8 m, e si trova quindi nel punto B di coordinate B=(1m, 62.8m).
a) La forza necessaria a tenere immersa la bottiglia vuota si ricava dalla composizione delle forze agenti sulla bottiglia: la sua forza peso FG (diretta verso il basso), la forza esterna F
applicata (anch'essa verso il basso) e la spinta di Archimede FA(diretta verso l'alto):
F→g+F→+F→A =0 FA= +Fg+F
N s
m kg
m m
kg
g m V F
F mg Vg
O H O H
82 . 8 / 8 . 9 ) 1 . 0 10
/ 10 (
) (
2 3
3 3 3
2 2
=
×
−
×
=
−
=
+
=
−
ρ ρ
_
b) Nel caso in cui il corpo è immerso solo per il 30%, la forza di Archimede si riferisce al solo volume immerso. Al peso della bottiglia va aggiunto il peso della massa d'acqua MH2O (incognito) da versare nella bottiglia, mentre scompare, rispetto al punto a), il termine relativo alla forza esterna F:
kg kg
m kg m
m V
M
g M mg g V
g M F F
O H O
H
O H O
H
O H g A
2 . 0 ) 1 . 0 /
10 10
3 . 0 (
3 . 0
) 3 . 0 (
3 3
3 3
2 2
2 2
2
=
−
×
×
=
−
×
=
+
= +
=
−
ρ ρ
a) Le variabili termodinamiche (p,V,T) per lo stato C possono essere ricavate applicando l’equazione di stato dei gas perfetti
B p A
V C
pV =nRT sapendo che:
pA= 2×105 N/m2, VA= 10−2 m3; pB= 105 N/m2, VB= 4×10−2 m3;
pC= pB=105 N/m2 (essendo BC isobara) pCVC= pAVA (essendo AC isoterma) , da cui VC = pAVA / pC = 2×10−2 m3
Inoltre:
TA = TC = pAVA/nR = (2×105 N/m2) (10−2 m3) / (2 moli ×8.31 J/K mole) = 120.3 K
La variazione di energia interna ∆U nella trasformazione AB è :
∆U= n cV ∆T= n cV (TB− TA)= n (3R/2)( pB VB − pA VA)/ nR= 3000 J
b) La quantità di calore scambiata nell’intero ciclo Qciclo è:
Qciclo = L ciclo = LAB +LBC+ LCA
LAB = (pA+ pB)( VB − VA )/2 = 4500 J LBC= pB ( VC − VB )= −2000 J
LCA= ∫ p dV = nRTA ln (VA / VC ) = −1386 J Qciclo = 1114 J
a) Il campo elettrico totale si ottiene dalla somma vettoriale dei campi elettrici prodotti dalle singole cariche. Il modulo del campo elettrico totale nel punto di coordinata x0 vale quindi:
) 0 2 (
) 2 ( 2
2
) 2 2 ( ) 2 2 (
2
) ( 2
2 2
2 2
2 0 2
0
− =
− −
= +
−
− −
= +
− −
=
d d k q d d k q
d d d k q d d k q
x d k q x k q E
e e
e e
e e
tot
Il campo elettrico nel punto x0 è quindi identicamente nullo.
a) Il potenziale nel punto P = (x, 0), dovuto al campo creato dalle due cariche, è
) ( ) 2
( d x
k q x k q
P e e
− −
= V
Ponendo V(P) = 0, si ottiene facilmente
d x
x x d
x d x
x d k q x ke q e
3 2
) ( 2
) 0 (
1 2
) 0 ( 2
=
=
−
− =
−
− =
−
