1) Un corpo di massa M=10 kg scende lungo un piano inclinato con un'inclinazione θ = 450 ed un coefficiente di attrito dinamico µ = 0.25. L'altezza a cui si trova inizialmente il corpo è pari ad h=1 m e la sua velocità iniziale è nulla. Giunto alla base del piano inclinato, il corpo percorre un tratto orizzontale privo di attrito e colpisce una molla di costante elastica k = 200 N/m.
Calcolare:
a) la velocità della particella alla base del piano inclinato;
b) la massima compressione della molla;
2) Una mole di gas perfetto monoatomico inizialmente a pressione pA=106 Pa e volume VA = 1 l compie una trasformazione ciclica così composta: 1) espansione isoterma ad un volume VB = 3 l;
2) raffreddamento isocoro fino ad una pressione PC; 3) compressione adiabatica fino al volume VA. a) disegnare il ciclo termodinamico e determinare le pressioni e temperature nei punti A, B e C;
b) determinare il calore scambiato dal sistema con l’ambiente nei tratti AB, BC e CA, specificandone il segno;
c) facoltativo: calcolare il rendimento del ciclo.
[N.B. R=8.31 J/(moleK)=0.082 cal/(K mole)]
3) Un corpo di massa m = 500 g e di densità doppia rispetto all’acqua è sospeso ad una fune
inestensibile ed è completamente immerso in un recipiente pieno d’acqua. Il corpo si trova ad una distanza h = 1 m dal fondo del recipiente. Calcolare:
a) la tensione T della fune;
b) la velocità con cui il corpo raggiunge il fondo del recipiente dopo che la fune è stata tagliata.
4) Una particella A, con carica positiva Q = 2 10 –8 C, è fissata in un punto O. Una particella B di massa m=2 10 –6 g e carica negativa q = 10 –10 C, si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di centro O e raggio R= 1cm. Si determini:
a) il modulo della velocità della particella B;
b) l’energia totale del sistema delle due cariche.
[N.B. ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2]
S
CRIVERE IN MODO CHIARO. D
ESCRIVERE I PROCEDIMENTI E LE FORMULE USATE.
S
OSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. I
NDICARE LE UNITA`
DI MISURA. T
ESTO,
SOLUZIONI ED ESITI DELLA PROVA VERRANNO PUBBLICATI ALLE PAGINE:
FISBIO
.
WEBHOP.
NET(
LINEEAD
EEN)
WWW.
MI.
INFN.
IT/~
SLEONI(
LINEAOZ)
a) Lungo il piano inclinato agisce una forza di attrito pari in modulo a
Fa =µN =µMgcosθ
La differenza fra l’energia meccanica alla base del piano 2 2 2 1Mv
E = e l’energia meccanica iniziale E1 =Mgh è pari al lavoro La = - µMglcosθ compiuto dalla forza di attrito lungo il tratto l = h/sinθ, ossia:
θ µ θ
µMg hθ Mgh tg Mgh
Mv cos /
sin 2
1 2 − =− =−
e quindi:
m m s
s tg m
gh
v= 2 (1−µ/ θ) = 2×9.8 2 ×1 ×(1−0.25) =3.83 /
b) Quando la compressione ∆x della molla è massima, l’energia potenziale della molla è pari alla energia cinetica del corpo, ossia:
2 2
2 1 2
1k∆x = Mv
da cui:
m
k v M
x= =0.86
∆
a) Il ciclo termodinamico, rappresentato in figura, è percorso in senso orario e le coordinate (p,T) nei vari punti valgono:
stato A:
pA = 106 Pa
TA=pAVA/nR = 106 10-3 /8.31 K = 120.3 K stato B:
essendo la trasformazione AB isoterma TB = TA=120.3 K
pB VB= pAVA e quindi pB = pAVA/VB= 106 ×1/3 Pa = 3.33 105 Pa stato C:
essendo la trasformazione AC adiabatica, si ha
γ γ
C C A
AV p V
p = con γ = cP/cV = 5/3
da cui p Pa
V p V
p A
C A A C
105
60 . 1 3
/ = ×
=
= γ
γ
.
Inoltre:
1
1 −
− = γ
γ
C C A
AV TV
T da cui si ottiene:
K V T
T V
T A
C A A
C /3 1 57.8
1
=
=
= −
−
γ γ
b) Lungo l’isoterma di ha:
QAB =LAB =RTAln(VB/VA)= pAVAln3=1098.6J lungo l’isocora si ha:
QBC ncV TC TB RTA pAVA(1 1/3 ) 778.9J 2
) 3 3 / 1 1 2 ( ) 3
( − =− − 1 =− − 1 =−
= γ− γ−
Lungo l’adiabatica si ha QAB = 0.
c) Il lavoro compiuto in un ciclo è pari al calore scambiato ed il rendimento è pari al rapporto fra il lavoro svolto ed il calore assorbito (positivo).
Nel caso in questione:
η=L/QAB =(QAB+QBC)/QAB=0.29
p
V A
B
C p
V A
B
C
a) Per calcolare la tensione della fune basta applicare l’equilibrio delle forze:
=0 + +
= A g
net T F F
Fr r r r
ove FA = mf g è la spinta di Archimede ed Fg = mg è la forza peso. Proiettando l’equazione vettoriale sull’asse y verticale si ottiene:
Vg g
m mg F F T
F F T
f f
A g
g A
) (
0
ρ ρ−
=
−
=
−
=
=
− +
Sapendo che il corpo ha densità doppia rispetto al fluido si ottiene:
N s
kg m mg
m g Vg
Vg Vg T
f f f
f f
f
45 . 2 / 8 . 2 9 5 . 0 2
2 ) 2
(
) (
2 =
×
=
=
=
=
−
=
−
=
ρ ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
b) Dopo che la fune è stata tagliata il corpo è soggetto ad una forza netta non nulla a
m F F
Frnet rA rg r
= +
=
Proiettando sull’asse y l’equazione precedente si ottiene l’accelerazione a di cui risente il corpo:
2 2
) 2 ( )
( g
V g Vg m
mg g m
m F a F
ma F F
f f f f
f g A
g A
−
− =
− =
=
= −
= −
=
−
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
La velocità con cui il corpo giunge sul fondo del recipiente, partendo da una distanza h = 1 m, è quindi pari a:
s m gh
v
gh gh ah y
y a v v
/ 13 . 3
22 2 ) (
2 0
2 0 2
=
=
=
=
−
=
− +
=
a) La forza centripeta che determina il moto di B è la forza elettrostatica che si esercita tra le due cariche, il cui modulo è
F = k Q q / R 2
Pertanto F = k Q q / R 2 = m v 2 / R da cui si ricava
m s
kg m
C C
C Nm Rm
v kQq 29.8 /
) 10 2 ( ) 10 (
) 10 ( ) 10 2 ( ) / 10
9 . 8 (
9 2
10 8
2 2 9
× =
×
×
×
×
= ×
= − −− −
b) L’energia totale del sistema E è la somma dell’energia cinetica
T = mv 2 /2 = k Q q / 2R e dell’energia potenziale U = -k Q q / R
e vale pertanto E = - k Q q / 2R.
Sostituendo i valori numerici si ottiene E = - 8.9 10 - 7 J
