FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE, A.A. 2005/2006
Prova scritta del 21 Giugno 2006
1) Un corpo di massa m1 = 500 g scivola lungo un piano inclinato liscio di altezza h = 2m e inclinazione θ=300 rispetto all’orizzontale. Il corpo parte da fermo dalla sommità del piano inclinato.
Giunto alla base del piano inclinato il corpo urta, in modo completamente anelastico, un corpo di massa m2 = 1.5 kg. Dopo l’urto i due corpi si muovono lungo il piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.2.
Calcolare:
a) la velocità con cui il corpo m1 giunge alla base del piano inclinato;
b) lo spazio percorso dai due corpi lungo il piano orizzontale scabro, prima di fermarsi.
2) 2 moli di gas perfetto biatomico compiono il seguente ciclo termodinamico:
AB espansione isobara, BC espansione isoterma, CD compressione isobara, DA compressione isocora.
Si conoscono VA = 50 dm3, pA= 2 atm, VB =3 VA, VC = 5VA.
a) Disegnare il ciclo sul piano p-V e calcolare le coordinate termodinamiche (p,V,T) nei punti A, B, C e D;
b) Calcolare il calore scambiato ed il lavoro fatto dal gas nelle quattro trasformazioni;
3) Un cilindro cavo, la cui cavità occupa il 90% del volume, ha raggio di base R = 0.1m e altezza h = 0.6 m. Il cilindro galleggia in un serbatoio d’acqua con il 40 % del suo volume immerso. Si trascuri la presenza dell’aria all’interno del cilindro.
a) Calcolare la densità del materiale che costituisce il cilindro;
b) Calcolare l’intensità della forza che deve essere applicata dall’esterno per mantenere il cilindro completamente immerso in acqua (senza che l’acqua entri );
4) Due cariche positive uguali di carica Q = 5 10-4 C sono fissate rispettivamente nei punti di coordinate A= ( 1 m, 0) e B= (-1m,0) di un sistema di assi cartesiani x,y. Si calcoli : a) Modulo, direzione e verso della forza che agisce su una carica positiva q = 10 -6 C che si trova nel punto P= ( 0, 1m);
b) Il campo elettrico ed il potenziale elettrico nell’origine degli assi cartesiani;
SCRIVERE IN MODO CHIARO.DESCRIVERE I PROCEDIMENTI E LE FORMULE USATE.
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE.INDICARE LE UNITA` DI MISURA. TESTO, SOLUZIONI ED ESITI DELLA PROVA VERRANNO PUBBLICATI ALLE PAGINE:
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Soluzione Esercizio 1
a) Per determinare la velocità del corpo alla base del piano basta applicare il principio di
conservazione dell’energia meccanica tra il punto di partenza (sommità del piano inclinato) ed il punto di arrivo (base del piano inclinato). L’unica forza in gioco che compie lavoro è infatti la forza peso che è conservativa.
2 1 1
, ,
2 1
f f f i i
f mecc i
mecc
v m gh m
U K U K
E E
=
+
= +
=
da cui si ricava
vf = 2gh = 2×(9.8m/s2)×2m =6.26m/s
b) In un urto completamente anelastico si conserva solamente la quantità di moto prima e dopo l’urto i due corpi formano un unico corpo di massa (m1+m2), che procede con velocità v.
Tale velocità può essere determinata applicando la conservazione della quantità di moto, prima e dopo l’urto:
m1v1+m2v2 =(m1+m2)v
Nel caso in esame, v1 = vf = 6.26 m/s e v2 = 0, da cui si ottiene
m s m s
kg v kg
m m
m 6.26 / 1.57 / )
5 . 1 5 . 0 (
5 . 0 )
( 1 2 1
1 =
= +
= + v
Lo spazio d percorso dal corpo di massa (m1+m2) lungo il piano orizzontale scabro può essere ottenuto applicando il teorema lavoro-energia cinetica, ove l’unica forza che compie lavoro è la forza di attrito, parallela alla direzione di moto, con verso opposto al moto e di modulo fk = µN (essendo N=(m1+m2)g la forza normale al piano orizzontale):
s m m s m g
d v
v m m d g m m
v m m d
f
v m m d
f
K L
k k att
63 . / 0 8 . 9 2 . 0 2
) / 57 . 1 ( 2
) 2(
) 1 (
) 2(
1
) 2(
0 1
2 2 2
2 2 1 2
1
2 2 1
2 2 1
× =
= ×
=
+
= +
+
−
=
−
+
−
=
⋅
∆
=
µ µ
r r
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
Il ciclo termodinamico, rappresentato in figura, è percorso in senso orario e le coordinate (P,V,T) valgono:
stato A:
pA = 2 atm, VA = 50dm3 = 0.05 m3, TA=pAVA/nR∼610 K stato B:
pB = pA=2 atm, VB=3VA = 150dm3 = 0.15 m3, TB=PBVB/nR∼1829 K
stato C:
essendo C sulla isoterma di B di ha pBVB=pCVC, da cui pC = pBVB/VC=pA3VA/5VA=3/5 pA=1.2 atm
TC=TB ∼1829 K stato D:
pD = pC=3/5 pA=1.2 atm VD = VA = 0.05m3
TD=pDVD/nR ∼366 K
La quantità PAVA vale 100 l atm ovvero 1.013 104 J. Abbiamo dunque:
Isobara AB
QAB = n Cp ∆T = 7/2 PA (VB – VA) = 7 PA VA≅ 7.09 104 J WAB = PA (VB -VA) ≅ 2.026 104 J.
Isoterma BC
QBC = n R TB ln VC/VB = PB VB ln 5/3 = 3 PA VA ln 5/3 ≅ 1.55 104 J.
WBC = QBC
Isobara CD
QCD = n Cp ∆T = 7/2 n R ∆T = 7/2 PC (VD - VC) = -42/5 PA VA ≅ -8.51 104 J.
WCD = PC (VD -VC) = -12/5 PA VA ≅ - 2.43 104 J.
Isocora DA
QDA = n Cv ∆T = 5/2 n R ∆T = 5/2 (PA VA – PD VD) = PA VA ≅ 1.013 104 J.
WDA =0
Calori e lavoro totali per il ciclo
QTot = PA VA (7 + 3 ln 5/3 – 42/5 +1 ) = PA VA (3 ln 5/3 - 2/5) ≅ 1.15 104 J.
WTot = PA VA (2 + 3 ln 5/3 – 12/5) = PA VA (3 ln 5/3 - 2/5) ≅ 1.15 104 J
∆U=QTot –WTot = 0
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Se il cilindro è in equilibrio con il 40% del volume immerso abbiamo che la forza peso è’
equilibrata dalla forza di Archimede ovvero che dC 0.1 VC g = 0.4 VC dA g dove 0.1 VC è il volume del cilindro occupato dal materiale (e che quindi concorre alla massa) e 0.4 VC è il volume immerso (che “sposta” l’acqua). Abbiamo dunque dC = 4 dA = 4000 Kg/m3.
b) Per mantenere in equilibrio il corpo completamente immerso dobbiamo applicare una forza F tale che F + mg =FA ovvero che F + dC 0.1 VC g = VC dA g. Si ottiene F = VC g (dA –0.1dC )
= π R2 h g dA 0.6 ≅ 110.8 N.
SOLUZIONE ESERCIZIO 4
a) La forza elettrostatica totale che agisce sulla carica q posta in P è data dalla somma vettoriale delle forze di Coulomb FAP ed FBP, come disegnato in figura.
Essendo le distanze AP e BP uguali, tali forze hanno la medesima intensità
2
4 0
1 AP F qQ
= πε
Come mostrato in figura, tali forze hanno la
stessa proiezione sull’asse y e proiezioni uguali ed opposte sull’asse x.
Da ciò segue che la forza elettrostatica totale è un vettore diretto lungo l’asse y di intensità pari alla somma delle componenti y di ciascuna forza:
AP N
Ftot qQ N 3.18
2 2 2
10 10 10 5
9 2 45 4 cos
2 1
6 4 9
0 2
0
=
× × ×
×
=
×
= − −
πε ossia:
j N Frtot r
) 18 . 3
=(
b) Il campo elettrostatico nell’origine degli assi è nullo, dato che i campi prodotti da ciascuna carica Q nel punto O hanno stessa intensità
2
4 0
1 OA E Q
= πε , stessa direzione e versi opposti.
Il potenziale in O è dato dalla somma dei potenziali elettrostatici:
V V
OA Q OB
Q OA
Q 9 4 6
0 0
0
10 1 9
10 10 5
9 4 2
2 1 4
1 4
1 = ×
×
×
×
×
=
×
= +
= −
πε πε
V πε
