FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE, A.A. 2005/2006
Prova scritta del 27 ottobre 20061) Una bambina, partendo da ferma, scivola senza attrito da un’ altezza h=3 m lungo uno scivolo curvo.
Al termine dello scivolo la bambina viene lanciata in acqua da un’altezza h/5, con un angolo di inclinazione θ=300 rispetto all’orizzontale, come mostrato in figura.
Si calcoli:
a) Il modulo della velocità della bambina e le
componenti x ed y della velocità, al momento del lancio in acqua;
b) le componenti x ed y della velocità nel punto di massima
quota, raggiunto in aria dalla bambina dopo il lancio dallo scivolo.
c) Facoltativo: il punto di massima quota, raggiunto dopo il lancio dallo scivolo.
2) Una cisterna cilindrica, alta H = 4 m e di diametro D, poggia a terra ed ha un forellino del diametro d=1 cm ad una altezza h = 1 m dal suolo. Sapendo che il rapporto fra le velocità dell’acqua alla superficie della botte e all’uscita dal forellino è v0/v = 10-4, calcolare:
a) il diametro D della botte;
b) la velocità v di deflusso dell’acqua dal forellino, facendo le opportune approssimazioni.
3) Due moli di gas perfetto biatomico sono contenute in un volume VA= 5.5 l alla pressione pA= 3 atm.
Si calcolino:
a) la temperatura TA , il calore scambiato QAB ed il lavoro compiuto WAB dal gas lungo l’isoterma AB (con VB = 3 VA).
b) il calore totale QAB ed il lavoro totale WAB per la trasformazione dal punto A al punto B, definita come segue: isobara AC con VC = 3 VA + isocora CB con pB = 1/3 pC
[Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole ]
4) Due lamine metalliche infinitamente estese sono uniformemente cariche con densità di carica superficiale di segno opposto e modulo σ = 3.54 × 10-7 C/m2. La distanza d tra le lamine è 4 cm.
Un elettrone (di massa me) si stacca, con velocità iniziale nulla, dalla lamina carica negativamente.
Determinare:
a) il campo elettrico fra le due lamine metalliche e la forza agente sull’elettrone, precisando modulo, direzione e verso .
b) la velocità dell’elettrone nell’istante in cui raggiunge la lamina carica positivamente.
[ Note e = 1.6 10-19 C, me = 9.11 10-31 kg, ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2 , si trascuri la forza di gravità]
S
CRIVERE IN MODO CHIARO. D
ESCRIVERE I PROCEDIMENTI E LE FORMULE USATE.
S
OSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. I
NDICARE LE UNITA`
DI MISURA. T
ESTO,
SOLUZIONI ED ESITI DELLA PROVA VERRANNO PUBBLICATI ALLE PAGINE:
FISBIO
.
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LINEEAD
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SLEONI(
LINEAOZ)
Soluzione Esercizio 1
a) Il modulo della velocità di lancio al termine dello scivolo può essere determinato applicando il principio di conservazione dell’energia (energia cinetica + energia potenziale gravitazionale) tra il punto iniziale a quota h ed il punto finale a quota h/5:
Il modulo v della velocità al momento del lancio dallo scivolo è quindi pari a:
s m m
s m gh
h g
v (9.8 / ) 3 6.9 /
5 8 5
) 8 5 (4
2 = = 2 ⋅ ≈
=
Le componenti x ed y della velocità al momento del lancio, sono quindi:
s m s
m s
m v
v
s m s m s
m v
v
y x
/ 5 . 3 ) / 9 . 6 2( ) 1 30 )(sin / 9 . 6 ( sin
/ 6 ) / 9 . 6 2 ( ) 3 30 )(cos / 9 . 6 ( cos
0 0
≈
=
=
=
≈
=
=
= θ
θ
b) Dopo il lancio dallo scivolo, il moto della bambina è assimilabile al moto di un proiettile. La bambina segue quindi una traiettoria di tipo parabolico e nel punto di massima quota le componenti della velocità valgono rispettivamente
0
/ 6 cos
=
≈
=
y x
v
s m v
v θ
c) La massima altezza raggiunta dopo il lancio può essere nuovamente ricavata applicando il principio di conservazione dell’energia tra il punto iniziale (a quota h/5) ed il punto di quota massima y, dove si ha solo velocità lungo l’asse x:
Esplicito ora nella espressione precedente le componenti in x ed y della velocità iniziale e finale:
m m s
s m m v h
y g
h mgy mg mv
mgy v
h m mg v
v m
y y
x y
x
2 . 5 1 ) 3 / 5 . 3 )( / 8 . 9 ( 2
1 5
2 1
5 2
1
) 0 2 (
1 ) 5
2 ( 1
2 2
2 2
2 2
2
≈ +
= +
=
= +
+ +
= +
+ mgh mv
mgh mv mgh
U K U K
E E
fin fin in in
fin in
5 4 2
1
5 2
0 1
2
2
=
+
= +
+
= +
=
mgy h mv
mg mv
U K U K
fin in
fin fin in in
+
= +
+
= +
2 2
2 1 5 2
1
Soluzione Esercizio 2
a) Il diametro D della botte si ottiene applicando l’equazione di continuità, ossia:
b) La velocità v di deflusso dell’acqua dal forellino si ottiene applicando il teorema di Bernoulli:
Infatti, p= p0 = 1 atm e v0=10-4 v << v da cui segue:
m cm d
D
v d d v D
d v D v
v A v A
1 1 100 100
10 2 2
4 2 0 2 2
2 0
2 0 0
=
×
=
×
=
=
=
=
= π π
) 2 (
1
) 2 (
1 2
1
2 1 2
1
2
0 0
2 0 2
2 2
0 0
0
h H g v
h h g p p v v
v gh
p v gh
p
−
≈
− +
−
=
−
+ +
= +
+
ρ ρ
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ ρ
s m m
m s
m h
H g
v ≈ 2 ( − ) = 2×9.8 / 2×(4 −1 ) ≈7.7 /
Soluzione Esercizio 3
a) Dalla legge dei gas perfetti si ha TA = pA VA / n R = 100.5 K.
Per l’isoterma AB , QAB = WAB = n R TA Log VB/VA = 1835 J;
b) La seconda trasformazione ha come punto iniziale e finale ancora A e B, poichè l’energia interna è una funzione di stato e A e B hanno la medesima temperatura , ∆UAB = 0 e dunque QACB = WACB. WACB = WAC perchè CB è una isocora WAC = pA (VC -VA) = 2 pA VA = 3343 J = QACB
Soluzione Esercizio 4
a) Le due lamine piane cariche producono al loro interno un campo
ossia perpendicolare alle due lamine e con verso dalla lamina positiva a quella negativa.
La forza elettrica subita dall’elettrone è pari a
ossia è diretta come il campo elettrico ed ha verso opposto.
b) L’ accelerazione subita dall’elettrone è unicamente dovute alla forza elettrostatica, originata dal campo elettrico:
ossia:
Essendo l’accelerazione costante, il moto all’interno delle due piastre è rettilineo uniformemente accelerato, per cui la velocità quando l’elettrone urta la lamina positiva, a distanza d , è data da:
i
C N Nm i
C m i C
Er r r r
) / 10 40 / (
10 85 . 8
/ 10 54 .
3 3
2 2 12
2 7
0
×
−
× =
− ×
=
−
= − −
ε σ
i N Nm i
C m C C
i e
eE E q
Fre r r r r
) 10 64 . 0 / (
10 85 . 8
/ 10 54 . ) 3 10 6 . 1 ( ) )(
( 12 2 2 14
2 7 19
0
−
−
− − = ×
×
× ×
=
−
−
=
−
=
= ε
σ
i s m kg i
C N C
m E a e
e e
r r r
r (7.03 10 / )
10 1 . 9
) / 10 40 )(
10 6 . 1
( 15 2
31 3 19
×
× =
×
= ×
−
= − −
d a d a x
x a v
v e e f i e e
e 02 2 ( ) 0 2 2
2 = + − = + =
s m m
s m d
a
v e
e = 2 = 2(7.03×1015 / 2)(0.04 ) =2.37×107 /
E e a m
Fre eve r
−
=
=