Università degli Studi di Siena

(1)

Università degli Studi di Siena

Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 2019-20) 3 settembre 2020

Compito

") Costruiamo la tavola di verità considerando solo i casi in cui le proposizioni e non; <

possono essere entrambe vere oppure entrambe false:

: ; < c: c; : / c; < Ê c: : / c; Ê < Ê c:

Z Z J J J J Z Z

J Z J Z J J Z Z

Z J Z J Z Z J J

J J Z Z Z J Z Z

.

# 1 0 ÐBÑ #1ÐBÑ œ 1 $ #B B #Ð" $BÑ œ 1 " %B B) ˆ ^# ‰ ˆ ^#‰ œ

" $ " %B B ^#œ # "#B $B^#. Passiamo ora a risolvere la disequazione 1Ð0 ÐBÑ #1ÐBÑÑ Ÿ # ovvero # "#B $B Ÿ # Í B %B ! Í^# ^# B B % ! , studiamo separatamente i due fattori: B ! B % ! Ê B % e ; la disequazione è soddisfatta per valori esterni alle radici e di conseguenza le sue soluzioni sono B Ÿ % ” B !.

$) Nel primo caso si hanno #" distinti modi per ognuno dei primi quattro elementi del codice e "! distinti modi per ognuno dei rimanenti quattro elementi, i possibili codici sono pertanto #" † "! œ #"! œ "Þ*%%Þ)"!Þ!!!. Nel secondo caso si hanno %

#

% % % Œ 

distinti modi di scelta su dove posizionare le vocali, &^# e "'^# distinti modi di scelta per rispettivamente vocali e consonanti; Œ % distinti modi di scelta su dove

#

posizionare le cifre pari, &^# e &^# distinti modi di scelta per pari e dispari, i possibili codici sono pertanto

Œ % Œ % ŒŒ % 

# † & † "' †^# ^# # † & † & œ^# ^# # † & † "'^$ œ "%Þ%!!Þ!!!

#

.

% 637 >1 B 691 " B œ 637 œ " " œ "

# =/8 B # † # † "

) .

B Ä ! B Ä !

^{>1 B}_B 691 "B_B

=/8 B B

637 B " œ 637 " " † " " œ

B B B

B Ä ∞Œ  B Ä ∞Œ  Œ 

B" B "

Ä / † Ä " œ /.

& GÞIÞ) : .‘

C B œ B ^#ˆ" B ^#‰œ B " B^# ^#œ C B . Funzione pari, la studiamo solo per B ! ed operiamo per simmetria.

Segno ed intersezioni con gli assi: C , ! Ê B " B^#ˆ ^#‰, ! Ê " B , ! Ê^# B - " Ê ! - B - "^# . Funzione positiva in Ó!ß "Ò, negativa in Ó"ß ∞Ò; intersezioni con gli assi nei punti di coordinate !ß ! e "ß !.

Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä ∞

637

B " B^#ˆ ^#‰ œ Ä ∞ † Ä ∞ œ ∞ ;

637 637 637

B Ä ∞ B Ä ∞ B Ä ∞

C B " B

B œ B œ B " B œ

Î

# #

Î

ˆ #‰

Ä ∞ † Ä ∞ œ ∞; la funzione non presenta asintoti.

(2)

Crescenza e decrescenza: C œ #B " B^w ˆ ^#‰ B^# #B œ #B " #B ˆ ^#‰. C , !^w se

" #B , ! Ê B - "Î# Ê ! - B -^# ^# È"Î#. Funzione strettamente crescente in Ó!ßÈ"Î#Ò, strettamente decrescente in ÓÈ"Î#ß ∞Ò . Minimo relativo in B œ ! pari a C ! œ ! , massimo assoluto in B œÈ"Î# pari a CˆÈ"Î# œ "Î%‰ .

Concavità e convessità: C œ # " #B^ww ˆ ^#‰ #B %B œ # " 'B ˆ ^#‰. C , !ß^ww se . Funzione strettamente convessa in

" 'B , ! Ê B - "Î' Ê ! - B -^# ^# È"Î'

Ó!ßÈ"Î'Ò, strettamente concava in ÓÈ"Î'ß ∞Ò. Punto di flesso ˆÈ"Î'ß &Î$'‰. Grafico:

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

grafico funzione

. ' B " .B œ B 691lB $l œ % 691 & " 691 % œ

B $ % %

) ( Œ^#  Œ  Œ 

"

$ % #

"

"& %

% 691&.

7) La retta di equazione C œ B ha coefficiente angolare , quindi la retta tangente è"

parallela alla retta proposta se e solo se C œ "^w . La derivata della funzione è

C œ #B $^w , posto #B $ œ " si ottiene B œ #_! ; la retta cercata ha quindi equazione C C # œ " B # con C # œ

# $ † # &

^# œ $. L'equazione richiesta è C œ B ".

8) f0 œ Ð%B %B #C^$ ß Ñ.

J SG % œ ! Ê % œ Ê

œ ! œ !

œ ” B œ „ "

C œ !

: œ B %B œ B B " œ , tre punti

#C C

$ # ! B !

critici T Ð!ß !Ñ T Ð „ "ß !Ñ_! e _"ß# .

[0 œ "# ! à l 0 l œ )[

” B %! •

B

# #

# $ " .

WSG l 0 ÐT Ñl œ ) , !ß 0 ÐT Ñ œ : [ _! _CC^ww _! #- ! T. _! punto di massimo.

l 0 ÐT Ñl œ "' - ! T[ _"ß# . _"ß# punti di sella.

Compito

") Costruiamo la tavola di verità considerando solo i casi in cui le proposizioni e : ; sono entrambe vere oppure entrambe false:

(3)

: ; < c< c< 9 : ; Ê c< 9 : : Í ; Ê c< 9 :

Z Z Z J Z Z Z

Z Z J Z Z Z Z

J J Z J J Z J

J J J Z Z Z J

# 0 0 ÐBÑ 1ÐBÑ œ 0 $ #B " $B) ˆ ˆ ^#‰‰ œ 0 # #B $Bˆ ^#‰ œ

$ # # #B $Bˆ ^#‰ œ 'B %B "^# . Passiamo ora a risolvere la disequazione 0 0 ÐBÑ 1ÐBÑ , " ovvero 'B %B " , " Í 'B %B # , ! Í^# ^#

$B #B " , !^# , calcoliamo il discriminante: ?œ # % † $ † " œ "'^# ; B œ # „ "' œ # „ % œ

' '

B œ "

B œ

"ß#

"

# "

$

È ß

à . La disequazione è soddisfatta per valori esterni alle radici e di conseguenza le sue soluzioni sono

B - " ” B , "

$.

$ )

) Nel primo caso si hanno Œ % distinti modi di scelta su dove posizionare le lettere e

#"^% e "!^% distinti modi di scelta per rispettivamente lettere e cifre, i possibili codici

sono pertanto Œ ) . Il secondo caso si può risolvere

% † #" † "! œ "$'Þ"$'Þ(!!Þ!!!^% ^% in due diversi modi:

" )

. come nel primo caso si hanno Œ % distinti modi di scelta su dove posizionare le lettere, Œ % distinti modi di scelta su dove posizionare le vocali, e distinti

# &^# "'^#

modi di scelta per rispettivamente vocali e consonanti; i distinti modi di scelta per le cifre sono come in precedenza "!^%, i possibili codici sono pertanto

Œ  Œ ) %

% † # † & † "' † "! œ #'Þ))!Þ!!!Þ!!!^# ^# ^% ;

# ) '

# #

. vi sono Œ  Œ  e distinti modi di scelta su dove posizionare rispettivamente vocali e consonanti, & "'^#, ^# e "!^% distinti modi di scelta per rispettivamente vocali, consonanti e cifre, i possibili codici sono pertanto

Œ  Œ ) '

# † # † & † "' † "! œ #'Þ))!Þ!!!Þ!!!^# ^# ^% .

% 637 =/8 B B œ 637 œ " ! œ "

B $ =/8 B " $ † " $ #

) B .

B Ä ! B Ä !

# =/8 B

B

=/8 B B

Per B Ä ∞ B œ 9 #, ^# ^B; ne segue

637 B # œ 637 # œ 637 " œ ∞

$ $ '

B Ä ∞ B Ä ∞ B Ä ∞

# B B

B B

B

Œ  .

& GÞIÞ) : .‘

C B œ B " B Š ^%‹œ B " B ^%œ C B . Funzione dispari, la studiamo solo per B ! ed operiamo per simmetria.

Segno ed intersezioni con gli assi: C , ! Ê B " Bˆ ^%‰ , ! Ê " B , ! Ê^% B - " Ê ! - B - "^% . Funzione positiva in Ó!ß "Ò, negativa in Ó"ß ∞Ò; intersezioni con gli assi nei punti di coordinate !ß ! e "ß !.

Limiti agli estremi del GÞIÞ:

(4)

B Ä ∞

637

B " Bˆ ^%‰ œ Ä ∞ † Ä ∞ œ ∞ ;

637 637 637

B Ä ∞ B Ä ∞ B Ä ∞

C B " B

B œ Î B œ " B œ ∞

Î

^% ˆ ^%‰ ; la funzione non

presenta asintoti.

Crescenza e decrescenza: C œ " " B^w ˆ ^%‰ B %Bˆ ^$‰ œ " &B^%. C , !^w se

" &B , ! Ê B - "Î& Ê ! - B -^% ^% È^% "Î&. Funzione strettamente crescente in Ó!ßÈ^% "Î&Ò, strettamente decrescente in ÓÈ^% "Î&ß ∞Ò . Massimo relativo in B œÈ^% "Î& pari a CˆÈ^% "Î& œ %‰ È^% "Î& & .

Concavità e convessità: C œ #!B^ww ^$. C - !ß aB , !^ww . Funzione strettamente concava in Ó!ß ∞Ò. Punto di flesso !ß !.

Grafico:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

grafico funzione

.

' B # .B œ B # 691lB "l œ

B " $

) ( Œ^$  Œ 

"

# $ $

"

* # 691 % Œ" # 691 # œ #' # 691 # œ #' 691 %

$ $ $ .

7) La retta di equazione C œ B # ha coefficiente angolare , quindi la retta tangente è"

parallela alla retta proposta se e solo se C œ "^w . La derivata della funzione è

C œ " " œ " B œ !

" B " B

w , posto si ottiene ! ; la retta cercata ha quindi equazione C C ! œ " † B con C ! œ 691 " œ ! . L'equazione richiesta è C œ B.

8) f0 œ Ð#+Bß $,C ß #-D^# ^-"Ñ f0 "ß "ß " œ Ð#+ß $,ß #-Ñ, . Posto f0 "ß "ß " œ Ð"ß "ß "Ñ si ottiene + œ ", , œ " e - œ ".

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