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ELEMENTI BASE DI STATISTICA

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Academic year: 2022

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(1)

ELEMENTI BASE DI STATISTICA

(2)

Variabile aleatoria

Una variabile aleatoria X è una funzione definita sullo spazio Ω che associa un numero reale X(ω) = x ad ogni elemento elementare ω ∈ Ω.

• X: numero di volte testa

• X: numero di palline nere

La variabile aleatoria è DISCRETA se X assume un’infinità numerabile di valori

• numero di volte testa in 3 lanci di una moneta

• numero di palline bianche estratte da un’urna

• numero di prodotti difettosi al giorno

(3)

Distribuzione di probabilità

Data una var. aleatoria X discreta, la distribuzione di probabilità pX (x) è una funzione che associa ad ogni x la probabilità di verificarsi

Distribuzione di probabilità p X (x)

Data una var. aleatoria X discreta, la distribuzione di probabilità p

X

(x) è una funzione che associa ad ogni x la probabilità di verificarsi

p(x) = P (X = x)

p(x) ≥ 0

!

i

p(x

i

) = 1

-10 0 1 2 3 4 5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

numero di figli

probabilit

N.figli

X 0 1 2 3 4 tot

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04 1.00

Statistica, CLEA – p. 17/55

Distribuzione di probabilità p X (x)

Data una var. aleatoria X discreta, la distribuzione di probabilità p

X

(x) è una funzione che associa ad ogni x la probabilità di verificarsi

p(x) = P (X = x)

p(x) ≥ 0

!

i

p(x

i

) = 1

-10 0 1 2 3 4 5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

numero di figli

probabilit

N.figli

X 0 1 2 3 4 tot

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04 1.00

Statistica, CLEA – p. 17/55

Distribuzione di probabilità p X (x)

Data una var. aleatoria X discreta, la distribuzione di probabilità p

X

(x) è una funzione che associa ad ogni x la probabilità di verificarsi

p(x) = P (X = x)

p(x) ≥ 0

!

i

p(x

i

) = 1

-10 0 1 2 3 4 5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

numero di figli

probabilit

N.figli

X 0 1 2 3 4 tot

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04 1.00

Statistica, CLEA – p. 17/55

Distribuzione di probabilità p X (x)

Data una var. aleatoria X discreta, la distribuzione di probabilità p

X

(x) è una funzione che associa ad ogni x la probabilità di verificarsi

p(x) = P (X = x)

p(x) ≥ 0

!

i

p(x

i

) = 1

-10 0 1 2 3 4 5

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

numero di figli

probabilit

N.figli

X 0 1 2 3 4 tot

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04 1.00

Statistica, CLEA – p. 17/55

(4)

Valore atteso e varianza Valore atteso e varianza

Il valore atteso di una variabile casualeX discreta è E(X) = µX =!

i

xip(xi)

E(X) = µX = 0× 0.24 + 1 × 0.47 + 2 × 0.17 + 3 × 0.08 + 4 × 0.04 = 1.21 La varianza di una variabile casualeX discreta è

V(X) = E(X − µX)2 = !

i

(xi− µX)2p(xi)

V(X) = 1.46× 0.24 + 0.04 × 0.47 + 0.62 × 0.17 + 3.20 × 0.08 + 7.78 × 0.04 = 1.04 N.figli

X 0 1 2 3 4

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04

(xi − µX)2 1.46 0.04 0.62 3.20 7.78

(5)

Varianza e deviazione standard Varianza e deviazione standard

La varianza si può calcolare anche

V(X) = E(X

2

) − µ

2x

= !

i

x

2i

p(x

i

) − µ

2X

V(X) = 0 × 0.24 + 1 × 0.47 + 4 × 0.17 + 9 × 0.08 + 16 × 0.04 − 1.21

2

= 1.04 la deviazione standard è

SD(X) = "V(X) = √

1.04 = 1.01

N.figli

X 0 1 2 3 4

p(x) 0.24 0.47 0.17 0.08 0.04

x

2i

0 1 4 9 16

Statistica, CLEA – p. 20/55

(6)

Variabile aleatoria continua Variabile aleatoria continua

Una variabile aleatoriaX è CONTINUA se X assume un’infinità non numerabile di valori altezza

peso distanza

tempo di percorrenza etc...

Alcuni aspetti delle variabili continue:

Se ogni possibile realizzaione dellaX è equiprobabile, allora P (X = x) = 0, per ognix∈ R.

La funzione di probabilità non si può usare, come nel caso discreto per descrivere il comportamento di una var. casuale continua.

Con la funzione di ripartizione possiamo calcolare la prob. di un intervallo

F (x) = P (X ≤ x)

Per descrivere laX si utilizza la funzione di densità fX(x) = dxd F (x)

(7)

Funzione densità di probabilità La funzione di densità f X (x)

Data una variabile aleatoria continuaX, la funzione di densità

f (x) = d dxF (x)

è una curva per ogni valorex attribuisce la densità di probabilità!= probabilità. La probabilità è l’area al di sotto della curva

P (a≤ X ≤ b) =

! b

a

fX(x)dx = F (b)− F (a)

Proprietà:

f (x)≥ 0, per ogni x ∈ R, ma non necessariamente f(x) ≤ 1

"+∞

−∞ fX(x)dx = 1

Statistica, CLEA – p. 32/55

(8)

Valore atteso, varianza, deviazione standard Valore atteso e varianza

Il valore atteso di una variabile casualeX continua è

E(X) = µX =

! +∞

−∞

xf (x)dx

La varianza di una variabile casualeX continua è

V(X) = E(X − µX)2 =

! +∞

−∞

(x− µX)2f (x)dx

oppure

V(X) = E(X2)− µ2x =

! +∞

−∞

x2f (x)dx− µ2X la deviazione standard è

SD(X) ="V(X)

(9)

Distribuzione Normale o Gaussiana

Distribuzione Normale

La variabile casualeX Normale o Gaussiana ha una forma campanulare ed è simmetrica. E’ caratterizzata da due parametri

E(X) = µ la media V(X) = σ2la varianza

fX(x| µ, σ2) = 1

√2πσ2 exp[−(x− µ)2

2 ], −∞ ≤ x ≤ +∞

La probabilità si calcola attraverso l’integrale

P (a≤ X ≤ b) =

! b

a

fX(x| µ, σ2)dx = F (b)− F (a)

P (X ≤ a) =

! a

−∞

fX(x | µ, σ2)dx = F (a), P (X ≥ a) =

! +∞

a

fX(x| µ, σ2)dx = 1−F (a)

N.B. Si dimostra che" fX(x| µ, σ2)dx = 1, ma questi integrali non si possono calcolare in forma analitica, ma numerica (uso delle tavole).

Statistica, CLEA – p. 38/55

(10)

Distribuzione Normale

Distribuzione Normale (2)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Funzione di ripartizione

altezza

media = 1.60 varianza = 0.1

a b

F(b)

F(a)

P(a < X < b) = F(b)-F(a) =

= 0.8 - 0.4 = 0.4

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

altezza

media = 1.60 varianza = 0.1

a b

P(a < X < b) = 0.4

0.4

(11)

La media parametro di posizione

La media: parametro di posizione

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

altezza

densit

Media = 1.60 Varianza = 0.2

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

media = 1.40 varianza = 0.2

altezza

densit

1 1.5 2 2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

media = 1.60 varianza = 0.2

altezza

Funz. ripartizione

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

media = 1.40 varianza = 0.2

altezza

Funz. ripartizione

Statistica, CLEA – p. 40/55

(12)

La varianza parametro di dispersione

La varianza: parametro di dispersione

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

altezza

densit

Media = 1.60 Varianza = 0.2

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

altezza

densit

Media = 1.60 Varianza = 0.05

1 1.5 2 2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

media = 1.60 varianza = 0.2

altezza

Funz. ripartizione

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

media = 1.60 varianza = 0.05

altezza

Funz. ripartizione

(13)

Variabile standardizzata Variabili standardizzate

Una variabileZ è standardizzata quando E(X) = 0

V(X) = 1

Una variabileX con valore atteso E(X) e varianza V(X) si può standardizzare

Z = X− E(X)

!V(X) , E(Z) = E(X)− E(X)

!V(X) = 0, V(Z) = V(X) V(X) = 1

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

altezza

densit

Media = 1.60 Varianza = 0.1

-30 -2 -1 0 1 2 3

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

altezza standardizzata

densit

Variabile standardizzata Media = 1.60 Varianza = 0.1

Statistica, CLEA – p. 35/55

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