QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020 QUADERNO n.7 Capitolo 10: Capitalizzazione e sconto parte terza DEFINIZIONE (RICHIAMO)

(1)

QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020

QUADERNO n.7

Capitolo 10: Capitalizzazione e sconto parte terza

DEFINIZIONE (RICHIAMO)

Si dice valore nominale C, un capitale esigibile ad una certa scadenza.

Si dice sconto la somma S da sottrarre a C nel caso in cui si voglia riscuotere prima della scadenza.

La differenza V = C – S si dice capitale scontato o valore attuale.

Il tempo che intercorre tra l'effettiva riscossione e la data di scadenza si dice tempo di anticipazione.

Si dice tasso unitario di sconto, lo sconto per unità di tempo e per unità di capitale.

ESEMPIO

Ho un debito di 5000 € da saldare tra un anno. È il valore nominale.

Per farmelo pagare oggi, la banca mi propone lo sconto di 250 €.

Accetto e pago 5000 – 250 = 4750 €. È il valore attuale.

Il tasso unitario di sconto è

250 5000 =0,05

. È anche unitario perché il periodo è 1 anno.

Volendo esprimerlo in forma percentuale, il tasso unitario di sconto è del 5%.

€ 4.750 Valore attuale Valore nominale € 5.000

t=0 t=1

oggi fra un anno

ESERCIZIO

Decido di estinguere oggi un debito di 4000 € che avrei dovuto pagare fra un anno, ottenendo uno sconto di 200 €. Qual è il tasso di sconto?

Il tasso di sconto è

200 4000 =0,05

ovvero il 5%.

DEFINIZIONE

L'operazione finanziaria con la quale il capitale viene pagato prima della scadenza si dice operazione di sconto. Ogni legge che dia lo sconto o la somma scontata in funzione dell'importo del credito e del tempo di anticipazione si dice legge di sconto.

OSSERVAZIONE

Ovviamente, se S è lo sconto, C il valore nominale e V il valore attuale:

S=C−V

ANTICIPAZIONE

Le leggi di sconto usate nella pratica commerciale sono:

• la legge di sconto commerciale

• la legge di sconto razionale

• la legge di sconto composto.

(2)

DEFINIZIONE

Un regime si dice di sconto commerciale se lo sconto è direttamente proporzionale al valore nominale e al tempo.

OSSERVAZIONE

Tradotto in formula

S

_c

=C s t

con Sc sconto commerciale, C valore nominale, s tasso annuale unitario di sconto e t tempo in anni (ovviamente se il tasso è su una frazione di anno anche il tempo sarà espresso con il numero delle parti di anni in questione).

TEOREMA

Il valore attuale in un regime di sconto commerciale è dato dalla formula:

V

_c

=C (1−s t)

. Dimostrazione:

Il valore attuale è la differenza tra capitale e sconto, dunque:

V

_c

=C−S

_c

=C−C s t=C (1−st)

. ESEMPIO / ESERCIZIO

Dobbiamo ricevere € 5000 fra 2 anni e 3 mesi.

Quale somma realizziamo oggi, se accettiamo uno sconto commerciale al tasso unitario di sconto del 6% annuo?

Ormai siamo diventati abili in queste cose: 2 anni e 3 mesi sono 2 anni e un quarto di anno.

2+ 1 4 =2+0,25=2,25

V

_c

=5000(1−0,06×2,25)=4325

ESERCIZIO

Determina il valore attuale di € 8500 disponibili fra due anni e 6 mesi al tasso di sconto commerciale del 7%

Il tempo è 2 anni e 6 mesi, ovvero 2 anni e mezzo.

V

_c

=8500(1−0,07×2,5)=7012,50

OSSERVAZIONE

Lo sconto commerciale non può essere sempre applicato, ma ha senso soltanto se

1−st>0

ovvero se

t< 1 s

^. ESEMPIO

Non è possibile uno sconto commerciale del 4% in 26 anni, il valore attuale risulterebbe negativo:

V

_c

=C (1−0,04×26)=C (1−1,04)

OSSERVAZIONE

Nella pratica lo sconto commerciale viene usato solo per periodi di tempo inferiori all'anno.

(3)

ESERCIZIO (non c'è sul libro)

Una cambiale avente il valore nominale di € 12 000 viene scontata 45 giorni prima della scadenza al tasso annuo di sconto del 6%. Determiniamo lo sconto commerciale e il valore attuale.

S

_c

=12000×0,06× 45 360 =90 V =12000−90=11910

DEFINIZIONE

Un regime si dice di sconto razionale se nel calcolo del valore attuale si utilizza la legge di capitalizzazione semplice.

OSSERVAZIONE

La capitalizzazione semplice ci dice che

C=V (1+i t)

, cioè, cambiando il punto di vista, il valore attuale V lo vedo come capitale investito e il capitale C lo vedo come somma da riscuotere se non chiedessi il pagamento anticipato.

V Valore attuale Operazione di

sconto Valore nominale C

C' Capitale investito Capitalizzazione

semplice Montante M

oggi Dopo t anni

Dall'equazione ricavo

V = C

1+i t

, dunque moltiplicando il capitale C per il fattore

1 1+i t

otteniamo il valore attuale da riscuotere.

DEFINIZIONE Il fattore

1 1+i t

si dice fattore di sconto razionale.

OSSERVAZIONE

Proseguendo il discorso dell'osservazione precedente, osserviamo adesso che lo sconto razionale:

S

_r

=C−V =C− C

1+i t = C (1+i t)−C

1+i t = C+C i t−C

1+i t = C i t 1+i t

ovvero

S

_r

= C i t

1+i t

da cui, per unità di capitale e unità di tempo, possiamo dire che il tasso unitario di sconto (razionale) è

s

_r

= i

1+i

Volendo esprimere lo sconto razionale in funzione del tasso di sconto razionale dovrò fare questo calcolo:

1 s

_r

= 1+i i = 1

i +1

_{da cui}

1 i = 1

s

_r

−1= 1−s

_r

s

_r ^{da cui}

ⁱ⁼

s

_r

1−s

_r ^.

(4)

A questo punto scrivo la formula:

S

_r

= C i t 1+i t =

C ( s

_r

1−s

_r

)t 1+( s

_r

1−s

_r

) t

= C s

_r

t

1−s

_r

+s

_r

t = C s

_r

t 1−(1−t) s

_r

Dunque

S

_r

= C s

_r

t 1−(1−t) s

_r

OSSERVAZIONE

Con un'approssimazione grossolana

s= i

1+i ≈i

. Guardiamo questa tabella, nella prima colonna ci sono dei possibili valori di i, nella seconda colonna i corrispondenti valori di s calcolati con la formula sopra.

Si potrebbe generalizzare che quando abbiamo a che fare con tassi inferiori al 10% il tassi di sconto e il tasso di interesse sono molto vicini. Infatti fino all'interesse del 7% l'arrotondamento a due cifre decimali di s coincide con i, tra l'8% e l'11% l'arrotondamento a due cifre decimali di s differisce di un centesimo da i.

D'altra parte nella prassi vengono spesso utilizzate due cifre decimali nella rappresentazione percentuale, che corrisponderebbe ad arrotondare a quattro cifre decimali nella forma decimale, in questa ottica la differenza tra i ed s si fa sentire

Nella terza colonna potete leggere l'errore commesso approssimando i con s arrotondato a 2 cifre decimali, e nella quarta colonna l'errore commesso approssimando i con s arrotondato a 4 cifre decimali.

i s Errore 2 cifre Errore 4 cifre i s Errore 2 cifre Errore 4 cifre

0,01 0,0099009901 0 0,0001 0,0101010101 0,01 0 0,0001

0,02 0,0196078431 0 0,0004 0,0204081633 0,02 0 0,0004

0,03 0,0291262136 0 0,0009 0,0309278351 0,03 0 0,0009

0,04 0,0384615385 0 0,0015 0,0416666667 0,04 0 0,0017

0,05 0,0476190476 0 0,0024 0,0526315789 0,05 0 0,0026

0,06 0,0566037736 0 0,0034 0,0638297872 0,06 0 0,0038

0,07 0,0654205607 0 0,0046 0,0752688172 0,07 0,01 0,0053

0,08 0,0740740741 0,01 0,0059 0,0869565217 0,08 0,01 0,007

0,09 0,0825688073 0,01 0,0074 0,0989010989 0,09 0,01 0,0089

0,1 0,0909090909 0,01 0,0091 0,1111111111 0,1 0,01 0,0111

0,11 0,0990990991 0,01 0,0109 0,1235955056 0,11 0,01 0,0136

0,12 0,1071428571 0,01 0,0129 0,1363636364 0,12 0,02 0,0164

0,13 0,1150442478 0,01 0,015 0,1494252874 0,13 0,02 0,0194

0,14 0,1228070175 0,02 0,0172 0,1627906977 0,14 0,02 0,0228

0,15 0,1304347826 0,02 0,0196 0,1764705882 0,15 0,03 0,0265

0,16 0,1379310345 0,02 0,0221 0,1904761905 0,16 0,03 0,0305

0,17 0,1452991453 0,02 0,0247 0,2048192771 0,17 0,03 0,0348

0,18 0,1525423729 0,03 0,0275 0,2195121951 0,18 0,04 0,0395

0,19 0,1596638655 0,03 0,0303 0,2345679012 0,19 0,04 0,0446

0,2 0,1666666667 0,03 0,0333 0,25 0,2 0,05 0,05

0,21 0,173553719 0,04 0,0364 0,2658227848 0,21 0,06 0,0558

0,22 0,1803278689 0,04 0,0397 0,2820512821 0,22 0,06 0,0621

0,23 0,1869918699 0,04 0,043 0,2987012987 0,23 0,07 0,0687

0,24 0,1935483871 0,05 0,0465 0,3157894737 0,24 0,08 0,0758

0,25 0,2 0,05 0,05 0,3333333333 0,25 0,08 0,0833

(5)

Nelle ulteriori quattro colonne si fa lo stesso tipo di studio scegliendo dei possibili valori di s e calcolando i corrispondenti i con la formula

i= s

1−s

Qualunque sia l'errore commesso si noti infine che risulta sempre

i>s

TEOREMA

La disuguaglianza

i>s

è vero per qualunque valore di i. (O per qualunque valore di s, se partite da s).

Dimostrazione:

Per dimostrarlo proviamo a risolvere la disequazione

i>s

nell'incognita s.

Sostituendo

i= s

1−s

la disequazione diventa

s

1−s >s

.

Possiamo ipotizzare che lo sconto sia inferiore al 100% e quindi che

s<1

^. Dunque

1−s>0

Possiamo dunque applicare il secondo principio di equivalenza per le disequazioni:

s>s(1−s)

ovvero

s>s−s

² ^ovvero

0>−s

² ^.

L'ultima disuguaglianza è vera qualunque sia il valore di s e quindi abbiamo la tesi.

ESEMPIO / ESERCIZIO

Calcoliamo la somma scontata e lo sconto relativi a un credito di € 3200 esigibile fra 5 mesi, che si conviene di pagare oggi applicando lo sconto razionale con tasso di interesse del 2%

V = 3200 1+0,02× 5

12 ≈3173,55

è la somma scontata.=

S

_r

=3200−3173,55=26,45

È lo sconto razionale applicato.

TEOREMA

Lo sconto razionale è direttamente proporzionale al valore attuale e al tempo di anticipazione.

Dimostrazione:

Cambiando il punto di vista, possiamo vedere lo sconto S come l'interesse applicato al capitale V secondo un tasso di interesse i, per riscuotere dopo un tempo t, la somma C, in regime di capitalizzazione semplice.

E quindi:

S

_r

=V i t

.

ESEMPIO / OSSERVAZIONE

Facendo riferimento all'esempio precedente:

S

_r

=3173,55×0,02× 5

12 =26,44625≈26,45

OSSERVAZIONE

Lo sconto commerciale è direttamente proporzionale al valore nominale.

Lo sconto razionale è direttamente proporzionale al valore attuale.

(6)

ESERCIZIO

Determina lo sconto razionale per un credito di € 8500 esigibile fra due anni e 6 mesi, al tasso di interesse del 7%

V = 8500

1+0,07×2,5 ≈7234,04 S

_r

=8500−7234,04=1265,96

OSSERVAZIONE

Nel testo dell'esercizio che si trova a pagina 453 del libro si indica “tasso di sconto” e non “tasso di interesse”, probabilmente per un refuso.

Il tasso di sconto del 7% corrisponde ad un tasso di interesse in capitalizzazione semplice di circa il 7,53%, infatti

i= 0,07

1−0,07 ≈0,07526881

Per poter soddisfare la richiesta così come scritta sul libro, cioè conoscendo il tasso di sconto del 7% potremmo usare comunque la formula diretta

S

_r

= C s

_r

t 1−(1−t) s

_r

Nel caso specifico:

S

_r

= 8500×0,07×2,5

1−(1−2,5)0,07 ≈1,346,15

Un risultato molto vicino lo otterremmo utilizzando il tasso di interesse approssimato al 7,53%

V = 8500

1+0,0753×2,5 ≈7153,37 S

_r

=8500−7154,88=1346,62

Una cambiale di € 10 000 viene scontata 3 mesi prima della scadenza, all'8% annuo d'interesse mediante lo sconto razionale. Qual è la somma scontata? Qual è il tasso annuo di sconto?

V = 10000

1+0,08×0,25 ≈9803,92

Per calcolare il tasso annuo di sconto possiamo utilizzare l'osservazione sopra:

s

_r

= i

1+i = 0,08

1+0,08 =0,074≈0,0741

ovvero 7,41%

OSSERVAZIONE

Tipica domanda da studente: “ma se l'operazione di sconto razionale è sostanzialmente l'operazione inversa della capitalizzazione semplice, il tasso di interesse non dovrebbe coincidere con il tasso di sconto?”

Abbiamo già visto con molte considerazioni sopra che la risposta è no.

È vero che l'operazione di sconto razionale è sostanzialmente l'operazione inversa della capitalizzazione semplice, per chiarirci ulteriormente le idee riprendiamo l'ultimo esercizio.

(7)

Operazione di sconto razionale:

devo pagare fra 3 mesi una cambiale di € 10 000. La pago oggi con uno sconto di € 196,08 e quindi pago € 9803,92

Operazione di capitalizzazione semplice:

Investo € 9803,92 per 3 mesi e alla data di scadenza otterrò un interesse di € 196,08 e quindi riscuoterò € 10 000.

Come si vede l'interesse della capitalizzazione semplice coincide con lo sconto razionale, ma il tasso di sconto (nei tre mesi) è il rapporto tra lo sconto e il valore nominale

s= 196,08

10000 =0,019608

mentre nella seconda operazione il tasso di interesse (nei tre mesi) è il rapporto tra l'interesse e il capitale investito

i= 196,08

9803,02 ≈0,02

Si noti che effettivamente

0,02

1+0,02 ≈0,019

e anche che

0,019608

1−0,019608 ≈0,02

ma considerarli uguali sarebbe un'approssimazione troppo grossolana.

DEFINIZIONE

Un regime si dice di sconto composto se nel calcolo del valore attuale si utilizza la legge di capitalizzazione composta.

OSSERVAZIONE

La capitalizzazione composta ci dice che

C=V (1+i)

^t , cioè, cambiando il punto di vista, il valore attuale V lo vedo come capitale investito e il capitale C lo vedo come somma da riscuotere se non chiedessi il pagamento anticipato. Il tasso di sconto diventa in questo caso un tasso di interesse.

V Valore attuale Operazione di

sconto Valore nominale C

C' Capitale investito Capitalizzazione

composta Montante M

oggi Dopo t anni

Dall'equazione ricavo

V = C

(1+i)

^t , dunque moltiplicando il capitale C per il fattore

1 (1+i)

^t

otteniamo il valore attuale da riscuotere.

DEFINIZIONE Il fattore

1 (1+i)

^t si dice fattore di sconto composto.

TEOREMA

Lo sconto composto di un capitale C, da riscuotere tra un tempo t ad un tasso di interesse i è:

S

_p

=C [1− 1

(1+i)

^t

]

(8)

Dimostrazione:

S

_p

=C−V =C− C

(1+i)

^t

=C [1− 1 (1+i)

^t

]

OSSERVAZIONE

Se poniamo C=1 e t=1 otteniamo il tasso unitario di sconto

s

_p

=1− 1

1+i = i

1+i

esattamente come avevamo ottenuto per quello razionale.

Se poi vogliamo scrivere la formula dello sconto composto in funzione del tasso di sconto, dobbiamo fare un po' di calcoli. Come avevamo già visto in qualche osservazione precedente se è vero che

s

_p

= i

1+i

allora abbiamo anche

i= s

_p

1−s

_p ^.

Vado a sostituire nella formula dello sconto composto:

S

_p

=C [1− 1 (1+ s

_p

1−s

_p

)

t

]= C [1− (1−s

_p

)

^t

(1−s

_p

+ s

_p

)

^t

]=C [1−(1−s

_p

)

^t

]

Dunque

S

_p

=C [1−(1−s

_p

)

^t

]

TEOREMA

Il tasso unitario di sconto, sia nel regime di sconto razionale che nel regime di sconto composto, è

s= i 1+i

con i interesse del regime di capitalizzazione relativo.

Dimostrazione: Vedi osservazioni in merito.

ESEMPIO / ESERCIZIO

Che valore ha oggi un credito di € 8000 che scadrà tra 6 anni, se viene valutato a un tasso di interesse del 4% in regime di sconto composto? Qual è lo sconto?

V = 8000

(1+0,04)

⁶

≈6322,52

Valore attuale

S

_p

=8000−6322,52=1667,48

sconto composto.

ESERCIZIO

Determina il valore attuale e lo sconto composto per un credito di € 8500 disponibile fra due anni e 6 mesi, al tasso di interesse del 7% annuo.

V = 8500

(1+0,07)

^2,5

≈7177,27

Valore attuale

S

_p

=8500−7177,27=1322,73

sconto composto.

(9)

OSSERVAZIONE

In questo esercizio che si trova a pagina 453 del libro di testo, c'è lo stesso errore già rilevato sopra, per l'altro esercizio che si trova nella stessa pagina. Se vogliamo svolgere l'esercizio come è scritto, cioè considerando il 7% come tasso di sconto, possiamo applicare la formula:

S

_p

=C [1−(1−s

_p

)

^t

]

Nel nostro caso specifico diventa:

S

_p

=8500[1−(1−0,07)

^2,5

]≈1410,33

e di conseguenza

V =8500−1410,33=7089,67

Il tasso di sconto dello 7% corrisponde al tasso di interesse circa il 7,53% come già osservato sopra, dunque facendo i calcoli con tale tasso di interesse otteniamo valori molto vicini.

V = 8500

(1+0,0752)

^2,5

≈7089,16

valore attuale

S

_p

=8500−7089,16=1410,83

sconto composto.

La somma di € 10 000 è esigibile fra 12 anni. Determiniamo al tasso di interesse composto annuo del 6% la somma scontata, lo sconto e il tasso di sconto annuo.

V = 10000

(1+0,06)

¹²

≈4969,69

Valore attuale o somma scontata che dir si voglia.

S

_p

=10000−4969,69=5030,31

sconto composto.

s

_p

= 0,06

1+0,06 ≈0,0566

Ovvero circa 5,66 % OSSERVAZIONE (Non c'è sul libro)

Ricapitolando:

Sconto commerciale Sconto razionale Sconto composto

S

_c

=C st

S

_r

= C s

_r

t 1−(1−t) s

_r

S

_p

=C [1−(1−s

_p

)

^t

]

Sconto proporzionale al valore nominale

Capitalizzazione semplice, sconto proporzionale al valore

attuale

Capitalizzazione composta

V

_c

=C (1−s t) V

_r

= C

1+i t V

_p

= C

(1+i)

^t

t< 1

s s= i

1+i i= s 1−s

Confrontiamo tra loro le tre leggi di sconto.

Prendiamo una cambiale di € 10 000 al tasso annuo di sconto del 10%

Per calcolare lo sconto useremo le formule riportate nella tabella sopra.

(10)

ESERCIZIO n. 135 pag.476 (a risposta chiusa)

Una cambiale di € 10 000 che scadrà fra 6 mesi viene scontata commercialmente all’8,5% annuo di sconto. A quanto ammonta l’importo anticipato?

Se non fosse un test a risposta chiusa dovremmo fare il calcolo.

S=10000×0,085× 1

2 =425

È lo sconto applicato.

V =10000−425=9575

È il valore attuale, che troviamo alla risposta A.

Essendo una domanda con una scelta multipla di risposte potevamo anche ragionare in modo molto più approssimativo: le scelte B e D per esempio sono decisamente troppo basse e quindi da escludere subito, facendo poi un conto molto approssimativo pensando a sconti del 5% e del 10%

(con i quali è molto facile fare i conti a mente) otteniamo che lo sconto da applicare è tra 250 e 500 e quindi anche le risposte C ed E sono troppo basse.

ESERCIZIO n.136 pag.476

Determina lo sconto commerciale sul valore nominale di € 1 250 con scadenza fra 3 mesi al tasso annuo di sconto del 6%.

Applichiamo la formula dello sconto commerciale:

S=1250×0,06× 1

4 =18,75

€ ESERCIZIO n.141 pag.476

Ho un debito, con una banca, di € 28 000 che scade fra 10 mesi. Lo pago anticipatamente con una somma di € 26 000. Qual è il tasso di sconto commerciale che è stato applicato? Qual è il tasso di interesse semplice al quale si può ritenere che la banca abbia investito il suo denaro?

Lo sconto applicato è ovviamente

S=28000−26000=2000

Il tasso di sconto lo ricavo dall'equazione

2000=28000× s× 10

12

^ovvero

s= 2000

28000 × 6

5 ≈0,0857

= 8,57%

Mettendoci nell'ottica dell'interesse semplice, quello che ci viene chiesto è il tasso di interesse di un capitale di 26000 € che dopo 10 mesi ci fa ottenere un montante di 28000, dunque tale interesse lo ricavo dall'equazione:

2000=26000×i× 10

12

^ovvero

i= 2000

26000 × 6

5 ≈0,0923

= 9,23 %

Scadenza in mesi Sconto commerciale Sconto razionale Sconto composto CAPITALE

2 166,67 181,82 174,07 10000

4 333,33 357,14 345,11 TASSO DI SCONTO

6 500,00 526,32 513,17 10 %

8 666,67 689,66 678,30

10 833,33 847,46 840,56

12 1000,00 1000,00 1000,00

24 2000,00 1818,18 1900,00

(11)

Una cambiale scade fra 5 mesi e ha un valore nominale di € 37 500; viene pagata ora usando gli interessi maturati da un investimento biennale di € 200 000 al tasso annuo semplice del 9%. Quale tasso di sconto commerciale è stato praticato?

La domanda è un po' contorta, dividiamo la risposta in due parti. Nella prima parte calcoliamo gli interessi maturati dall'investimento biennale.

I =200000×0,09×2=36000

Con questa somma è stata pagata la cambiale, nella seconda parte della risposta calcoliamo il tasso di sconto commerciale che è stato praticato.

Ovviamente lo sconto è

S=37500−36000=1500

.

Il tasso unitario di sconto lo ricaviamo dall'equazione:

1500=37500× s× 5 12

e quindi

s= 1500

37500 × 5

12 =0,01 6

, possiamo dire che il tasso unitario di sconto è del 1,67 %.

Nella risposta data dal libro ci si riferisce al tasso di sconto

36000

37500 =0,096

svincolato dal tempo.

Annalisa vuole saldare in anticipo un debito di € 15 800 che scade fra 8 mesi e 20 giorni al tasso annuo del 2,25% con sconto razionale. Calcola la somma scontata e lo sconto.

La somma scontata la determiniamo applicando la formula dello sconto razionale (che poi è sorella gemella della formula di capitalizzazione semplice).

15800=V (1+0,0225× 260

360 )

Da cui

V = 15800

1,01625 ≈15547,36

Quindi lo sconto è

S=15800−15547,36=252,64

OSSERVAZIONE

Nel testo originale del libro si diceva “...al tasso annuo di sconto razionale del 2,25%...” che è quanto meno un abuso di linguaggio se non un vero e proprio errore. Ho sostituito questa parte con quella che vedete sottolineata nel testo. Quando si parla di tasso annuo si intende infatti il tasso di interesse di capitalizzazione semplice legata allo sconto razionale.

Svolgendo l'esercizio nella scrittura originale, cioè intendendo 2,25% come tasso di sconto anziché tasso di interesse potrei applicare la formula per calcolare lo sconto:

S

_r

=

15800×0,0225× 260 360 1−(1− 260

360 ) 0,0225

= 256,75

0,99375 ≈258,36

e quindi la somma scontata:

15800−258,36=15541,64

che sono valori diversi da quelli riportati sul libro.

(12)

ESERCIZIO n.148 pag.478 (non era stato assegnato)

È stata scontata razionalmente, 3 mesi prima della scadenza, una cambiale dal valore nominale di € 360. A quale tasso di interesse annuo è stata effettuata l’operazione se la somma riscossa è di € 355?

Applichiamo la formula:

360=355(1+i 3

12 )

dalla quale possiamo ricavare i.

i= 12 3 ( 360

355 −1)≈0,0563

=5,63 %

Un debito di € 7000 viene estinto 4 mesi prima della scadenza con sconto razionale e tasso del 12%

annuo. Quanto viene pagato? Quant’è lo sconto?

Quando non è specificato, si intende sempre che si sta parlando del tasso di interesse della capitalizzazione semplice a cui è legato lo sconto razionale. Dunque i=12%.

Applichiamo la formula:

7000=V (1+0,12× 4

12 )

da cui

V = 7000

1,04 ≈6730,77

. Lo sconto è dunque

7000−6730,77=269,23

Ho estinto, pagando € 2500, un debito che sarebbe scaduto fra 7 mesi. Considerando un tasso del 5% semestrale e lo sconto razionale, a quanto ammonta il debito?

Il tasso del 5% semestrale non specificato è il tasso di interesse della capitalizzazione semplice legata allo sconto razionale. Ovviamente 7 mesi corrispondono a un semestre e un mese, ovvero a un semestre e a un sesto di semestre. Applichiamo la formula:

C=2500(1+0,05× 7

6 )≈2645,83

Calcola lo sconto razionale e il valore della somma scontata di una cambiale di € 300 al tempo di anticipo t e al tasso di interesse r nei seguenti due casi:

a. t = 9m, r = 8%;

b. t = 8m 15g, r = 4% trimestrale.

Cominciamo col caso a:

Dall'equazione

300=V (1+0,08× 9

12 )

otteniamo

V = 300

1,06 ≈283,02

che è la somma scontata, di conseguenza lo sconto è

S=300−283,02=16,98

^.

Passiamo ora al caso b:

La questione del tempo è particolarmente delicata, dobbiamo convertire 8 mesi e 15 giorni in trimestri, anziché in anni. I giorni totali sono 255 e un trimestre è composto da 90 giorni. Dunque possiamo porre

t= 255

90 = 17 6

^.

Alternativamente potevamo portare sia il tempo che il tasso in termini annuali, si osservi infatti che:

(13)

255 90 ×0,04= 255

360 ×0,04×4

. Scegliete voi la vostra modalità preferita, la cosa importante è che dall'equazione

300=V (1+0,04× 17

6 )

otteniamo

V = 300

1,113 ≈269,46

che è la somma scontata, di conseguenza lo sconto è

300−269,46=30,54

Abbiamo prestato € 3500 per 1 anno e 3 mesi all’interesse composto del 4% quadrimestrale; in cambio abbiamo ricevuto una cambiale di valore pari al montante che sarebbe maturato. Dopo 7 mesi abbiamo scontato la cambiale con sconto razionale e al tasso del 10% annuo. Quanto ricaviamo?

Ripartiamo dall'inizio. Abbiamo prestato € 3500 per 1 anno e 3 mesi all’interesse composto del 4%

quadrimestrale; in cambio abbiamo ricevuto una cambiale di valore pari al montante che sarebbe maturato.

Il montante che sarebbe maturato è

M =3500(1+0,04)

15

4

≈4054,55

^.

(Ho scritto il tempo in quadrimestri: 15 mesi totali diviso 4).

Dopo 7 mesi abbiamo scontato la cambiale con sconto razionale e al tasso del 10% annuo.

Attenzione! Qui c'è il trabocchetto! Sono 7 mesi da quando abbiamo ricevuto la cambiale, ma mancano 8 mesi alla scadenza! Il calcolo lo faccio sui mesi che mancano alla scadenza!

La somma che abbiamo riscosso la ricaviamo dall'equazione

4054,55=V (1+0,1× 8 12 )

da cui otteniamo

V = 4054,55

1,06 ≈3801,14

. ESERCIZIO n.159 pag.479

Una cambiale del valore di € 1000 è stata scontata, con sconto composto, 4 mesi prima della scadenza. A quale tasso annuo è stata scontata se la cifra incassata è di € 977,70?

Sostituendo nella formula dello sconto composto:

1000=977,70(1+s)

4 12

Dunque:

1000

977,70 =(1+s)

1

3 ovvero

( 1000 977,70 )

3

=1+s

ovvero

s=( 1000 977,70 )

3

−1

e facendo i conti con la calcolatrice:

s≈0,0699

dunque il tasso annuo è circa il 7%.

Calcola lo sconto composto e il valore della somma scontata su un credito di € 1350, al tempo di anticipo t e al tasso i nei seguenti casi:

a. t = 5 m 18 g , i2 = 0,06;

b. t = 3 m 8 g , i6 = 0,015.

Nel primo caso abbiamo un tasso semestrale, quindi dobbiamo considerare il tempo in semestri.

5 mesi e 18 giorni corrispondono a

5×30+18

180 = 168 180 = 14

15

^semestri.

Applichiamo la formula dello sconto composto:

(14)

1350=V (1+0,06)

14 15

da cui ricaviamo:

V = 1350 (1,06)

14 15

≈1278,54

e di conseguenza la somma scontata è

1350−1278,54=71,46

Passiamo adesso al secondo caso, il tasso è bimestrale quindi dobbiamo convertire il tempo in bimestri. Il tempo di 3 mesi e 8 giorni corrisponde a

3×30+8

60 = 98 60 = 49

30

^bimestri.

Applichiamo la formula dello sconto composto:

V =1350=(1+0,015)

49 30

da cui ricaviamo:

V = 1350 (1,015)

49 30

≈1317,57

e di conseguenza la somma scontata è

1350−1317.57=32,43

Su un debito ci è stato concesso lo sconto composto di € 350. Sapendo che abbiamo pagato 1 anno e 7 mesi prima della scadenza e abbiamo usufruito di un tasso di sconto semestrale del 4,25%, a quanto ammontava il nostro debito?

In questo caso i valori incogniti sono sia il valore nominale che il valore attuale. È giunto il momento di applicare la formula dello sconto composto in funzione di valore nominale e tasso di sconto:

S

_p

=C [1−(1−s

_p

)

^t

]

Sostituendo con i valori di nostra conoscenza, tenendo presente che 1 anno e 7 mesi corrispondono a 3 semestri e un mese , ovvero a

19

6

^semestri:

350=C [1−(1−0,0425)

19 6

]

da cui ricaviamo:

C= 350 [1−(1−0,0425)

19 6

]

≈2723,97

Anche in questo caso troviamo una risposta diversa da quella del libro. Sul libro si continua a con la confusione tra tasso di sconto e tasso di interesse. Se infatti sostituiamo le parole sottolineate con

“...di un tasso di interesse semestrale...” allora uno svolgimento corretto potrebbe essere il seguente:

C=V (1+0,0425)

19

6 ovvero

C

V =(1+0,0425)

19

6 ovvero

C−V

V =(1+0,0425)

19 6

−1

(15)

ovvero

350 V =(1+0,0425)

19

6

−1

^ovvero

^{V =} ³⁵⁰ (1,0425)

19 6

−1≈2484,34

_{e quindi}

C=2484,34+350=2834,34

Un capitale è stato scontato con 2 anni e 6 mesi di anticipo, con sconto composto, al tasso annuo del 10,25%. Determina il valore nominale sapendo che il valore attuale è di € 7835,26. E se lo sconto fosse razionale?

Senza bisogno di fare tanti calcoli, sappiamo bene che 2 anni e 6 mesi sono 2 anni e mezzo e quindi in forma decimale sono 2,5 anni. Applicando la formula che riguarda lo sconto composto:

C=7835,26(1+0,1025)

^2,5

≈10000

Nel caso dello sconto razionale invece:

C=7835,26(1+0,1025×2,5)≈9843,05

Applicando nello stesso momento e con il medesimo tasso di sconto (annuale) del 4,5% gli sconti commerciale e razionale su un credito, si ottengono rispettivamente i valori € 14 850 e € 14 844,56.

Calcola il valore del credito e il tempo di anticipo sulla scadenza.

Dunque, utilizzando lo sconto commerciale abbiamo

C= 14850 1−0,045×t

^.

Per utilizzare lo sconto razionale ci serve il corrispondente tasso di interesse:

0,045

1−0,045 ≈0,0471

Utilizzando lo sconto razionale abbiamo dunque:

C=14844,56 (1+ 0,045 1−0,045 ×t)

Possiamo impostare un'equazione:

14850

1−0,045×t =14844,56(1+ 0,045 0,0955 ×t)

ovvero

14850

14844,56 =(1−0,045×t)(1+ 0,045 0,955 ×t )

ovvero

14850

14844,56 =1−0,045×t+ 0,045

0,955 ×t− 0,045×0,045 0,955 ×t

²

ovvero

0,045

²

0,955 ×t

²

+(0,045− 0,045

0,955 )×t+ 14850

14844,56 −1=0

Si tratta di un'equazione di secondo grado, le cui soluzioni possono essere calcolate con la formula risolutiva. Vista la scomodità dei calcoli, anche disponendo della calcolatrice, ho utilizzato un foglio elettronico dove ho implementato la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

(16)

Le due soluzioni sono:

t≈0,7778014892 t≈0,2221985108

ovvero circa 9 mesi e 10 giorni la prima e circa 2 mesi e 20 giorni la seconda.

A questo punto possiamo ricavare il relativo valore nominale:

C= 14850

1−0,045×0,7778014892 ≈15388,62

nel caso di 9 mesi e 10 giorni

C= 14850

1−0,045×0,2221985108 ≈14999,98

nel caso di 2 mesi e 20 giorni Succedeva la stessa cosa utilizzando le formule dello sconto razionale:

C=14844,56 (1+ 0,045

1−0,045 ×0,7778014892)≈15388,62

nel caso 9 mesi e 10 giorni

C=14844,56 (1+ 0,045

1−0,045 ×0,2221985108)=14999,98

nel caso 2 mesi e 20 giorni.

Nella risposta del libro c'è un errore dovuto a qualche revisore di bozze (perché in un'edizione precedente questo errore non c'è): le due soluzioni vengono indicate come se una corrispondesse allo sconto commerciale (Cc ; tc) e una a quella razionale (Cr ; tr), in realtà questo è un problema di secondo grado che ha due soluzioni. Il valore nominale C, il tempo di anticipazione t e il tasso di sconto del 4,5% sono gli stessi, cambia soltanto il valore attuale (Vc=14850; Vr=14844,56), e tale diversità dipende esclusivamente dalla diversità dei due tipi di sconto.

Presto € 10 000 a un amico che si impegna, per estinguere il debito, a versarmi fra 2, 3 e 5 anni tre somme dello stesso ammontare. Qual è l’importo delle somme se si fissa un tasso di interesse composto del 2%?

Prima di tutto capiamo bene quello che ci è stato descritto nel testo:

• concediamo un prestito con un valore attuale di € 10 000;

• e con un tasso di interesse composto del 2%;

• il pagamento sarà effettuato in tre rate dello stesso ammontare x;

◦ la prima rata estingue M2 maturato in 2 anni da C2;

◦ la seconda rata estingue M3 maturato in 3 anni da C3;

◦ la terza rata estingue M5 maturato in 5 anni da C5. Deve essere € 10 000=C2+C3+C5;

e deve essere x=M2=M3=M5

Calcoliamo i montanti con la formula dell'interesse composto:

M

₂

=C

₂

(1+0,02)

²

M

₃

=C

₃

(1+0,02)

³

M

₅

=C

₅

(1+0,02)

⁵

Siccome deve essere

x=M

₂

=M

₃

=M

₅ allora:

(17)

x=C

₂

(1+0,02)

²

=C

₃

(1+0,02)

³

=C

₅

(1+0,02)

⁵

In sostanza abbiamo a che fare con un sistema di tre equazioni e tre incognite:

{ ^(1,02) ^(1,02) ^C

²

^+C

²³

^C ^C

³³²

^+C ^−(1,02) ⁻⁽ ^1,02)

⁵

⁼¹⁰⁰⁰⁰

⁵³

^C ^C

⁵³

⁼⁰ ⁼⁰

Risolviamolo col metodo di sostituzione:

{ ^C

²

^C ^+C ^C

²⁵

⁼ ⁼

³

^+C ^(1,02) ^(1,02) ^(1,02) ^(1,02)

⁵

⁼¹⁰⁰⁰⁰

⁵³²³

^C ^C

³³

{ ^(1,02)C

³

^C ^+C ^C

²⁵

^=(1,02)C ⁼

³

⁺ ^(1,02) ^(1,02) ^C ^C

³³²³²

⁼¹⁰⁰⁰⁰

{ ^C

³

^(1,02+1+ ^C ^C

²

^=(1,02)C

⁵

⁼ ^(1,02) ^(1,02) ^C ¹

³ ²²

⁾⁼

³

¹⁰⁰⁰⁰ { ^C

³

^C ⁼ ^C

²

^2,02+

⁵

^=(1,02)C ⁼ ^(1,02) ¹⁰⁰⁰⁰ ^C ^(1,02)

³ ²

¹

³ ²

^{ ^C ^C ^C

²⁵³

^≈3224,13 ^≈3354,39 ^≈3421,48

Adesso possiamo calcolare singolarmente i montanti:

M

₂

=3421,48(1+0,02)

²

≈3559,71 M

₃

=3354,39(1+0,02)

³

≈3559,71 M

₅

=3224,13(1+0,02)

⁵

≈3559,70

Non sappiamo se gli autori del libro hanno calcolato soltanto M5 o hanno fatto migliori approssimazioni, comunque sull'errore di un centesimo ci possiamo stare.

ESERCIZIO n.183 pag. 481

Due somme uguali di € 27 000 vengono scontate al tasso di interesse del 6% con 8 anni di anticipo l’una razionalmente e l’altra a sconto composto. A quale tasso di interesse composto vengono oggi impiegate se fra 6 anni il loro montante complessivo sarà di € 39 622,20?

Mettiamoci nei panni di chi riscuote in anticipo dei crediti e, ottenuta questa liquidità, la investe di nuovo (ovvero quello che fanno gli operatori finanziari).

Il problema è diviso in due parti, nella prima riscuoto due crediti di € 27 000 ciascuno con 8 anni di anticipo al tasso di interesse del 6%:

una con interesse razionale:

V

_r

= 27000

( 1+0,06×8) ≈18243,24

; l'altra con interesse composto

V

_c

= 27000

(1+0,06)

⁸

≈16940,13

_.

Nella seconda parte dobbiamo calcolare il tasso di interesse composto necessario per ottenere in 6 anni il montante complessivo di € 39 622,20, dunque, applicando la formula:

(18)

39622,20=(18243,24+16940,13)(1+i)

⁶ ovvero

39622,20

35183,37 =(1+i)

⁶ ovvero

( 39622,20 35183,37 )

1

6

−1=i

da cui

i≈0,02

ovvero il tasso di interesse richiesto è del 2%.

Ho investito 6 anni fa € 3 000 al tasso di interesse semplice dell’1% semestrale e 3 anni fa € 2 000 a interesse semplice del 2% annuo. Oggi verso quanto accumulato presso una banca che pratica la capitalizzazione al 2,3% composto annuo. Fra quanto tempo potrò ritirare € 6043,87?

Anche in questo dobbiamo dividere il problema in due parti, nella prima calcolare quanto abbiamo ottenuto con due investimenti diversi, nella seconda analizziamo un investimento futuro. Per non confonderci teniamo presente la linea temporale:

Ieri (6 anni fa) Ieri (3 anni fa) Oggi Domani (fra t anni)

Investo € 3 000 al tasso 1%

semplice semestrale Investo € 2 000 al tasso 2%

semplice annuo Riscuoto M6 e M3 Riscuoto € 6 043,87 Investo il totale M6+M3 al

2,3% composto annuo

Cominciamo a calcolare i due montanti di oggi:

M

₆

=3000(1+0,01×12)=3360

M

₃

=2000(1+0,02×3)=2120

(ovviamente abbiamo considerato che in 6 anni ci sono 12 semestri).

Operiamo oggi un nuovo investimento, proponendoci di riscuotere dopo t anni € 6 043,87, dunque:

6043,87=(3360+2120)(1+0,023)

^t

ovvero

6043,87

5480 =(1,023)

^t ovvero

log 6043,87

5480 =log (1,023)

^t

ovvero

log 6043,87

5480 =t log (1,023)

ovvero

t=

log 6043,87 5480

log (1,023) ≈4,3070240095177589

Si tratta dunque di un tempo superiore ai 4 anni, calcoliamo anche mesi e giorni, per calcolare i mesi:

(t−4)12≈3,684244811421311

ovvero 3 mesi e qualcosa,

infine per calcolare i giorni:

((t−4)12−3)30≈20,5273443426393≈21

.

In conclusione il tempo necessario ad ottenere la somma desiderata è di 4 anni, 3 mesi e 21 giorni.

ESERCIZIO n.195 pag. 482

Pago oggi, anticipatamente, due debiti. Il primo, con scadenza fra 1 anno e 8 mesi; il secondo pari ai

3

2

del primo, con scadenza fra 2 anni e 2 mesi. Sapendo che mi viene applicato un tasso di sconto bimestrale dello 0,8% e che pago complessivamente € 12 000, calcola l’importo dei due debiti, usando lo sconto commerciale.

Leggiamo il testo: si parla di due debiti e quindi di due valori nominali C1 e C2.

(19)

Ci viene detto che

C

₂

= 3

2 C

₁ . Questo dovrebbe semplificarci le cose.

Oggi saldo i debiti, entrambi in anticipo ottenendo uno sconto commerciale dello 0,8% semestrale, dobbiamo dunque misurare il tempo in bimestri.

1 anno e 8 mesi corrispondono a 10 bimestri;

2 anni e 2 mesi corrispondono a 13 bimestri.

Calcoliamo i valori attuali:

V

₁

=C

₁

( 1−0,008×10)=0,92 C

₁

V

₂

=C

₂

(1−0,008×13)=0,896C

₂

Ci viene detto anche che

V

₁

+V

₂

=12000

dunque,mettendo insieme tutte le informazioni a nostra disposizione, otteniamo l'equazione

0,92 C

₁

+0,896× 3

2 C

₁

=12000

che andiamo a risolvere:

2,264C

₁

=12000

ovvero

C

₁

= 12000

2,264 ≈5300,35

che è il primo debito.

Per calcolare il secondo debito posso fare semplicemente:

C

₂

= 3

2 C

₁

≈7950,53

.