QUADERNO 1 E – 2019/2020 Unità 6 DEFINIZIONE (RICHIAMO) Dati due insiemi A e B si definisce il loro

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QUADERNO 1 E – 2019/2020

Unità 6 DEFINIZIONE (RICHIAMO)

Dati due insiemi A e B si definisce il loro prodotto cartesiano come l'insieme di coppie ordinate che hanno come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B.

NOTAZIONE

A× B={(a , b): a∈A∧b∈B}

[pag.186-188 vol. Algebra 1]

DEFINIZIONE

Si dice relazione tra due insiemi A e B un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano

A× B

Si dice dominio della relazione l'insieme D degli elementi di A che sono associati ad almeno un elemento di B.

Si dice codominio della relazione l'insieme C degli elementi di B che sono associati ad almeno un elemento di A

OSSERVAZIONE

La relazione ha un verso

A⇒ B

, del resto le coppie del prodotto cartesiano sono coppie ordinate, con un primo elemento ed un secondo elemento.

NOTAZIONE

Siano

x∈A

^;

y∈B

per indicare che x è in relazione con y si può scrivere in diversi modi:

x R y

oppure

x∼ y

oppure (

x ; y)

. [pag.254-255 vol. Algebra 1]

OSSERVAZIONE

D⊆ A;C⊆B

DEFINIZIONE

Siano

x∈A

^;

y∈B

^e

x∼ y

per una certa relazione R y si dice immagine di x rispetto alla relazione R

x si dice controimmagine di y rispetto alla relazione R [pag.256 vol. Algebra 1]

OSSERVAZIONE

Per studiare le relazioni possono essere utili delle rappresentazioni schematiche e/o grafiche come tabelle a doppia entrata, diagrammi a frecce che estendono i diagrammi di Eulero Venn o anche dei grafici cartesiani in scala oppure non in scala. Nel caso di relazioni definite sullo stesso insieme, ovvero sottoinsiemi di

A× A

si può usare un diagramma a frecce su un unico insieme che viene chiamato grafo.

[pag.256-257 e 259 vol. Algebra 1]

DEFINIZIONE

Data la relazione R definita da (

x ; y)∈A× B

si definisce relazione inversa la relazione definita invertendo l'ordine delle coppie (

y ; x)∈B× A

. La relazione inversa si indica convenzionalmente come

R

⁻¹ ^.

(2)

[pag.257 vol. Algebra 1]

DEFINIZIONE

Una relazione sottoinsieme di

A× A

si dice relazione di equivalenza, se gode delle seguenti proprietà:

Proprietà riflessiva:

x∼ x ∀ x∈A

Proprietà simmetrica:

x∼ y ⇒ y∼ x ∀ x , y∈A

Proprietà transitiva:

( x∼ y)∧( y∼z)⇒ x∼ z ∀ x , y , z∈A

I sottoinsiemi di A costituiti dagli elementi in relazione tra loro si dicono classi di equivalenza.

L'insieme delle classi di equivalenza si chiama insieme quoziente.

ESEMPI

Abbiamo già incontrato una relazione di equivalenza tra le frazioni.

Una frazione

n

d

è una coppia ordinata di numeri interi

(n ; d )∈ℤ×ℤ

.

Se noi definiamo che “due frazioni sono in relazione se rappresentano lo stesso numero” otteniamo una relazione di equivalenza. L'insieme delle frazioni equivalenti è una classe di equivalenza. In un certo senso potremmo vedere l'insieme dei numeri razionali come l'insieme quoziente delle frazioni.

La congruenza tra figure del piano è pure una relazione di equivalenza.

DEFINIZIONE

A× A

si dice relazione antiriflessiva, se nessun elemento di A è in relazione con se stesso.

A× A

si dice relazione antisimmetrica, se

( x∼ y)∧( y∼x)⇒ x= y ∀ x , y∈ A

DEFINIZIONE

A× A

si dice relazione d'ordine, se è antisimmetrica e transitiva.

Se è pure riflessiva si dice relazione di ordine largo;

Se è pure antiriflessiva si dice relazione di ordine stretto;

Se ogni coppia di elementi distinti può essere messa in relazione si dice relazione d'ordine totale;

Se esistono coppie di elementi distinti che non sono in relazione, si dice relazione d'ordine parziale.

DEFINIZIONE

A× B

si dice funzione se ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B.

OSSERVAZIONE

Il fatto che ad ogni elemento

x∈A

debba corrispondere un

y∈B

significa che il dominio

D= A

. Nel prosieguo degli studi non potremo fare a meno di notare che questa definizione sarà in qualche modo “dimenticata” o forse è meglio dire “interpretata”.

Non vale la stessa cosa per il codominio

C⊆B

^.

La caratteristica più rilevante è che all'elemento

x∈A

debba corrispondere un solo

y∈B

.

(3)

NOTAZIONE

In genere si indica la funzione con una f minuscola, gli insiemi del prodotto cartesiano

A× B

vengono ricordati in questo modo

f : A⇒ B

. Si usa anche indicare con

f (x)

l'immagine di x.

DEFINIZIONE

Una funzione

f : A⇒ B

si dice costante se tutte le

x∈A

hanno la stessa immagine.

Due funzioni

f : A⇒ B

e

g : A⇒ B

si dicono uguali se hanno lo stesso dominio D e se

f (x)= g (x)∀ x∈D

.

Una funzione

f : A⇒ B

si dice iniettiva se

a=b⇔ f (a)= f (b)∀a , b∈D

. Una funzione

f : A⇒ B

si dice suriettiva se il codominio

C= B

.

Una funzione si dice biunivoca se è iniettiva e suriettiva.

ESERCIZIO n.75 pag.298

Considera, nell'insieme dei poligoni di un piano, la relazione “x ha la stessa area di y” e verifica che si tratta di una relazione di equivalenza.

Risposta:

Evidentemente un poligono è in relazione con se stesso, perché l'area è sempre quella, posso dire che x ha la stessa area di x.

Discorso simile per la proprietà simmetrica: l'area è un numero ed è sempre quello, quindi se x ha la stessa area di y posso anche dire che y ha la stessa area di x.

Niente di nuovo quando andiamo a verificare la proprietà transitiva: l'area è un numero ed sempre quello, quindi se x ha la stessa area di y e se y ha la stessa area di z allora se x ha la stessa area di z.

In parole povere la relazione di equivalenza dell'uguaglianza tra numeri ci porta direttamente alla relazione di equivalenza descritta sopra.

La relazione “x è primo con y”, definita in

ℕ

, è una relazione di equivalenza?

Risposta:

No. Ricordiamo che due numeri naturali sono primi tra loro se il loro MCD è 1. Dunque già la proprietà riflessiva non vale, qualunque numero diverso da uno non può essere primo con se stesso, perché

MCD( x ; x)=x ∀ x∈ℕ

.

Non vale nemmeno la proprietà transitiva, basti pensare a 2 che è primo con 3 e 3 che è primo con 4, ma 4 è il doppio di 2.

Si salva solo la proprietà simmetrica.

Considera, nell'insieme dei numeri reali, la relazione

x≠ y

e verifica che non è una relazione di equivalenza.

Risposta:

Evidentemente non vale la proprietà riflessiva. Su quella transitiva possiamo metterci a discutere, quella simmetrica si salva, ma la riflessiva proprio non c'è e quindi non è una relazione di

(4)

equivalenza.

Sia S l'insieme degli studenti in una data scuola, considera in S la relazione “essere in classi della stessa sezione” e verifica che è una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza e qual è l'insieme quoziente?

Risposta:

Proprietà riflessiva: uno studente è ovviamente in relazione con se stesso.

Proprietà simmetrica: se x è nella stessa sezione di y possiamo anche dire che y è nella stessa sezione di x.

Proprietà transitiva: se x è nella stessa sezione di y e y è nella stessa sezione di z, non ci sono dubbi che x sia nella stessa sezione di z. Sempre quella è.

Quindi la relazione proposta è una relazione di equivalenza.

Le classi di equivalenza sono le unioni delle classi (in senso scolastico) della stessa sezione.

L'insieme quoziente è praticamente un sottoinsieme dell'alfabeto, con le lettere dalla A e fino alla lettera dell'ultima sezione. (Qualcuno potrebbe obiettare che in un istituto con diversi indirizzi le lettere vengono ripetute... ma non facciamola troppo lunga!).

Considera nell'insieme

A={1 ; 2

3

; 3

2

; 8

12

; 6

9

; 12

8

; 6

4

; 18

12} la nota relazione di equivalenza tra frazioni. Rappresenta tale relazione con un grafo e verifica che si tratta di una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza e l'insieme quoziente?

Risposta:

Si tratta di una relazione di equivalenza perché lo è in generale l'equivalenza tra frazioni, ovvero “due frazioni sono in relazione se rappresentano lo stesso numero”.

La verifica dell'equivalenza può essere fatta in diversi modi:

eseguendo la divisione, con la cosiddetta moltiplicazione in croce o altro ancora.

Ovviamente una certa frazione è in relazione con se stessa.

Grazie al fatto che l'uguaglianza tra numeri è una relazione di equivalenza abbiamo in modo ovvio anche le proprietà simmetrica e transitiva.

Dato che l'insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza, con una sola riga rispondo alle ultime due domande:

{{1}; {2 3

; 6

9

; 8

12};{3

2

; 6

4

; 12

8

; 18

12}}

(5)

ESERCIZI pag.290 (sono domande a risposta chiusa del tipo vero/falso) 4a Falso, la coppia indicata non è fra le coppie della relazione.

4b Falso, l'ordine è sbagliato e anche invertendolo non sarebbe una coppia della relazione.

4c Vero.

4d Falso, la coppia indicata è fra le coppie della relazione

4e Falso, viene usato erroneamente il simbolo del sottoinsieme anziché quello di appartenenza.

4f Vero, quell'insieme costituito da una sola coppia è un sottoinsieme della relazione.

5a Falso, è il codominio.

5b Vero.

5c Falso, il dominio ha come elementi soltanto “a”,”i”.

5d Vero.

6a Falso, la tabella ci dice che 2 è in relazione soltanto con 12.

6b Vero.

6c Vero.

6d Vero.

6e Vero.

6f Falso, anche 6 fa parte del dominio.

7a Vero.

7b Falso, z appartiene all'insieme di partenza A e oltretutto non ha nemmeno un'immagine.

7c Vero.

7d Falso, nell'insieme c'è una coppia di troppo, quella con “z” , “c”

8a Vero.

8b Vero.

8c Falso, è sbagliato l'ordine, invertendo l'ordine sarebbe vero.

8d Falso, il prodotto cartesiano contiene tutte le possibili 12 coppie.

8e Vero.

8f Vero.

Rappresenta la seguente relazione in modo estensivo, mediante una tabella a doppia entrata, un diagramma a frecce e un grafico cartesiano, indicando anche il dominio e il codominio.

x∼ y⇔ x=3 y x∈A={3;5 ;6 ;12}

y∈B={1 ;2 ; 4}

Risposta:

Modo estensivo:

R={(3 ;1);(6 ; 2);(12 ; 4)}

D={3 ;6 ;12}

C={1; 2 ;4}

Tabella a doppia entrata:

A\B 1 2 4

3 x

5

6 x

12 x

(6)

Diagramma a frecce:

Grafico cartesiano:

x∼ y ⇔ x= 1 2 y x∈A={0 ;1 ;2 ;3}

y∈B={2 ; 4 ;6 ;7}

Risposta:

Modo estensivo:

R={(1 ; 2);(2 ;4);(3 ;6)}

D={1 ;2 ;3}

C={2 ; 4 ;6}

(7)

A\B 2 4 6 7

0

1 x

2 x

3 x

Diagramma a frecce:

Grafico cartesiano:

a∼b⇔ a

²

=b a∈A={2 ;3 ; 4}

b∈B={4 ;5 ;9}

(8)

Risposta:

Modo estensivo:

R={(2 ;4);(3 ;9)}

D={2 ; 4}

C={3 ;9}

A\B 4 5 9

2 x

3 x

4

Diagramma a frecce:

Grafico cartesiano:

(9)

a∼b⇔ a+b<3 a∈A={0 ;1 ;2 ;3}

b∈B={−1 ;1 ;2}

Risposta:

Modo estensivo:

R={(0 ;−1);(0 ;1);(0 ; 2);(1 ;−1);(1 ;1);(2 ;−1);(3 ;−1)}

D={0 ;1 ; 2 ;3}

C={−1 ;1 ; 2}

A\B -1 1 2

0 x x x

1 x x

2 x

3 x

Diagramma a frecce:

Grafico cartesiano:

(10)

x∼ y⇔ xy≤5 x∈A={1; 2 ;3 ;4}

y∈B={1 ;3 ;5}

Risposta:

Modo estensivo:

R={(1 ;1);(1; 3);(1 ;5);(2 ;1);(3 ;1);(4 ;1)}

D={1 ;2 ;3 ; 4}

C={1 ;3; 5}

A\B 1 3 5

1 x x x

2 x

3 x

4 x

Diagramma a frecce:

Grafico cartesiano:

(11)

x∼ y ⇔ x+ y=2 n∧n∈ℕ x∈A={2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7}

y∈B={0 ;1 ;2 ;3 ; 4 ;5}

Risposta:

Modo estensivo:

R={ ( 2 ;0) ;(2; 2);(2 ; 4);(3 ;1);(3 ;3) ;(3 ;5);

( 4 ;0) ;(4 ;2) ;(4 ;4);(5 ;1);(5; 3);(5 ;5);

(6 ;0);(6 ; 2);(6 ;4);(7 ;1) ;(7 ;3);(7 ;5) } D={2 ;3 ; 4 ;5; 6 ;7}

C={0 ;1 ; 2,3; 4 ;5}

A\B 0 1 2 3 4 5

2 x x x

3 x x x

4 x x x

5 x x x

6 x x x

7 x x x

Diagramma a frecce:

Grafico cartesiano:

(12)

Rappresenta la seguente relazione in modo estensivo e mediante una tabella a doppia entrata.

x∼ y ⇔ x+ y=2 n∧n∈ℤ x∈A={1 ; 2 ;3}

y∈B={4 ;5 ;6}

Risposta:

Modo estensivo:

R={(1 ;5);(2 ; 4);(2 ;6) ;(3 ;5)}

A\B 4 5 6

1 x

2 x x

3 x

Rappresenta la seguente relazione in modo estensivo:

x∼ y⇔ x∣y x∈ A={1 ;2 ;3 ; 4}

y∈B={6 ;8; 10 ;12}

Quante sono le coppie (x;y) che appartengono alla relazione?

Risposta:

Non è richiesta la tabella a doppia entrata, ma ci può essere utile per elencare le coppie:

A\B 6 8 10 12

1 x x x x

2 x x x x

3 x x

4 x x

Intanto ci rendiamo subito conto che le coppie saranno 12. Andiamo ad elencarle:

R={ (1; 6);(1 ;8);(1 ;10);(1 ;12);(2 ;6);(2 ;8) ( 2 ;10);(2 ;12);(3; 6);(3;12);(4 ;8);(4 ; 12) }

OSSERVAZIONE

Nel caso particolare in cui gli insiemi A e B coincidano, ovvero A=B, la relazione può essere rappresentata anche con un diagramma a frecce particolare, detto grafo, nel quale gli elementi vengono rappresentati una sola volta e le frecce possono sia partire che arrivare per e da ogni elemento.

(13)

ESERCIZIO n.34 pag. 294 (completare)

Considera il grafo della relazione R in

A={a , b , c}

. La rappresentazione estensiva della relazione R in A è

R={(a , a);(a , b);(a , c)}

D={a}

C ={a ,b , c}

Avendo indicato il dominio con D e il codominio con C.

L'elemento a ha tre immagini, la controimmagine di b è a.

ESERCIZIO n.35 pag.294 (completare)

D={1,2,4 } C={1,3 ,4}

Avendo indicato il dominio con D e il codominio con C.

L'elemento 3 non ha immagini, l'elemento 1 è immagine di se stesso, 4 ha 2 come controimmagine.

ESERCIZIO n.36 pag.294 (completare)

a e d sono immagini di se stessi;

d e b sono controimmagini di c;

d ∼b C={a , b , c , d }

a non è in relazione con d

ESERCIZI n.37,38,39 pag.294 (vero/falso) 37 a. Vero, la due proprietà si negano a vicenda.

37 b. Vero, intendendo l'uguaglianza in generale (non solo tra numeri).

37 c. Falso, guardate la relazione dell'esercizio n.36: due elementi “si riflettono”, gli altri due no.

37 d. Falso, posso sempre definire una relazione con alcune, ma non tutte, coppie simmetriche.

38 a. Falso, le rette devono essere diverse, per definizione di relazione.

38 b. Vero.

38 c. Vero.

38 d. Falso, visto che è simmetrica.

38 e. Falso, per esempio due rette parallele tagliate da una trasversale.

39 a. Falso, la somma di due numeri dispari è un numero pari.

39 b. Vero.

39 c. Vero, grazie alla proprietà commutativa dell'addizione.

39 d. Falso, è simmetrica.

39 e. Falso, perché se due numeri sono in relazione allora uno è pari e l'altro è dispari, il terzo numero può essere in relazione solo con uno dei primi due.

(14)

ESERCIZI n.40,41, 42 pag.295 (vero/falso) 40 a. Vero.

40 b. Falso, è riflessiva.

40 c. Falso 40 d. Vero.

41 a. Falso.

41 b. Vero.

41 c. Vero.

41 d. Falso.

42 a. Falso, solo alcuni sono in relazione con loro stessi 42 b. Falso, idem come sopra.

42 c. Vero.

42 d. Falso.

ESERCIZI n.43,44,45,46,47 pag.295 (quesiti a risposta multipla) 43 d (considerando 0 un numero pari)

44 b (se nella definizione di “fratelli” intendiamo sempre persone diverse). Del resto alla lettera

“a” è prevista anche l'uguaglianza, alla lettera “c” abbiamo 0 che è in relazione con se stesso e alla lettera “d” tutti i multipli di 3 sono in relazione con loro stessi. Dunque per esclusione è la “b”.

45 a (siamo nell'insieme degli interi, quindi posso dividere per 5 sia x – y che y – x.

46 b (anche se “più alto di...” non prevede uguaglianze, ma le altre sono tutte simmetriche...)

47 c

ESERCIZI n.73,74 pag.298 (quesiti a risposta multipla)

73 c (si noti che è riflessiva, quindi “largo”, ogni coppia è in relazione, quindi “totale”) 74 a (non è riflessiva, quindi “stretto”, ogni coppia è in relazione, quindi “totale”) ESERCIZIO n.75 pag.298

Considera, nell’insieme dei poligoni di un piano, la relazione «x ha la stessa area di y» e verifica che si tratta di una relazione di equivalenza.

Un poligono è ovviamente in relazione con se stesso, perché l'area è quella.

L'area è un numero ed è irrilevante l'ordine con il quale elenchiamo i poligoni con la stessa area.

Per lo stesso motivo è ovvio verificare la proprietà transitiva: il numero “area” è lo stesso per tutti i poligoni equivalenti, qualunque coppia di poligoni andiamo a scegliere.

La relazione «x è primo con y», definita in N,e`una relazione di equivalenza?

Già con la proprietà riflessiva abbiamo qualche difficoltà, essendo

MCD(n , n)=n

, osserviamo che nessun numero diverso da uno è primo con se stesso!

La proprietà simmetrica vale, ma non vale quella transitiva, per esempio 2 è primo con 5 e 5 è primo con 8, ma 2 non è primo con 8.

Dunque la risposta è no.

(15)

Considera, nell’insieme dei numeri reali, la relazione

x≠ y

e verifica che non e`una relazione di equivalenza.

Evidentemente non può valere la proprietà riflessiva, vale quella simmetrica, mentre su quella transitiva ci possiamo anche mettere a discutere, la risposta è comunque no, non è una relazione di equivalenza.

Sia S l’insieme degli studenti di una data scuola; considera in S la relazione «essere in classi della stessa sezione» e verifica che è una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza, e qual è l’insieme quoziente?

Ovviamente vale la proprietà riflessiva.

Vale anche la proprietà simmetrica, qualunque sia l'ordine nel quale scelgo gli studenti, la sezione sarà sempre quella.

Vale anche la proprietà transitiva: se due studenti sono nella stessa sezione di un terzo, allora quei due sono nella stessa sezione.

La classi di equivalenza sono le sezioni stesse e l'insieme quoziente è la scuola vista come insieme di sezioni.

Considera, nell’insieme

A={1 ; 2

3

; 3

2

; 8

12

; 6

9

; 12

8

; 6

4

; 18

12} , la nota relazione di equivalenza tra frazioni. Rappresenta tale relazione con un grafo e verifica che si tratta di una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza e l’insieme quoziente?

Le classi di equivalenza:

C

₁

={ 1}

C

₂

={ 2 3 ; 8

12 ; 6 9 } C

₁

={ 3

2 ; 12 8 ; 6

4 ; 18 12 }

L'insieme quoziente:

Q={1 ; 2

3

; 3

2} ESERCIZIO n.80 pag.298

Considera nell’insieme

A={1 ;2 ;3 ; 4}

la relazione:

R={(1 ;3);(2; 3);(4 ;1);(4 ;2);(4 ;3)}

.

Rappresentala con un grafo e verifica che è una relazione d’ordine stretto parziale.

È anti simmetrica, (non ci sono coppie simmetriche).

È transitiva, partendo da 4 si arriva a 3 passando per 1 o per 2.

Dunque è una relazione di ordine.

È anti riflessiva, visto che nessun elemento è in relazione con se stesso.

Dunque è una relazione di ordine stretto.

Infine osserviamo che alcune coppie non sono in relazione, per esempio manca la coppia (1;2), dunque è una relazione di ordine parziale.

(16)

Considera nell’insieme

A={1 ;2 ;3 ; 4}

la relazione

R={(1 ;1);(1; 2);(1 ;3);(1 ; 4);(2 ; 2);(3; 2);(3; 4) ;(3 ;3);(2 ; 4);(4 ; 4)}

Rappresentala con un grafo e verifica che e`una relazione d’ordine largo totale.

Non ci sono coppie simmetriche, dunque è antisimmetrica. È pure transitiva, si vede bene dal grafico: partendo da 1 arrivo ovunque, anche in due mosse, partendo da 3 posso arrivare a 4 direttamente o passando per 2.

Si tratta di una relazione di ordine.

È riflessiva , quindi è una relazione di ordine largo.

Se non ci lasciamo suggestionare e osserviamo che l'ordine è 1,3,2,4, allora ci rendiamo conto che è una relazione di ordine totale.

Abbiamo dunque verificato che si tratta di una relazione di ordine largo totale.

S={1 ; 2 ;3; 4 ;5 ;6 ;10 ;12 ;15 ;20 ; 30 ;60}

dei divisori di 60, la relazione

x∼ y ⇔ x=k y∧k∈ℕ

. Verifica che è una relazione d’ordine largo parziale e rappresentala con un grafo.

Il grafo viene un gran pasticcio!

La relazione è antisimmetrica, visto che si parla di multipli, e pure ovviamente transitiva, dunque è una relazione d'ordine.

È pure riflessiva, perché un numero è anche multiplo di se stesso, dunque è una relazione d'ordine largo.

Infine ci sono anche coppie di non multipli, per esempio 2 e 3 e quindi è una relazione d'ordine parziale.

Abbiamo così verificato che si tratta di una relazione d'ordine largo parziale.

Considera, nell’insieme delle circonferenze di un piano, la relazione

x∼ y ⇔

hanno lo stesso centro e verifica che è una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza? Come si può rappresentare l’insieme quoziente?

Ovviamente la relazione è riflessiva.

Non importa l'ordine in cui elenco le circonferenze, quindi è pure simmetrica.

Se il centro è lo stesso per le prime due ed è sempre quello per la seconda e la terza, sarà il centro di tutte e tre, in altre parole vale la proprietà transitiva.

Dunque si tratta di una relazione di equivalenza.

Le classi di equivalenza sono identificate dal punto del piano che è centro di tutte le circonferenze della classe. L'insieme quoziente è praticamente il piano, visto che ogni punto del piano può essere centro di una circonferenza.

(17)

Sia a un piano e r una retta che giace su a . Nell’insieme A delle rette del piano che non sono parallele a r, considera la relazione cosı`definita:

x∼ y ⇔(x∩ y)∩r≠∅

. Verifica che è una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza e come si può caratterizzare l’insieme quoziente?

La relazione è riflessiva: una retta x interseca se stessa ma soprattutto interseca r per definizione.

La relazione è simmetrica: non importa l'ordine in cui elenco le rette.

La relazione è transitiva, la verifica non è banalissima: partiamo dal presupposto che

x∩ y={P}⊂r

e anche che

y∩z={Q}⊂r

. Siccome le rette incidenti si intersecano in un unico punto, segue necessariamente che

P=Q

e dunque

x∩z={P}⊂r

Si tratta dunque di una relazione di equivalenza.

Le classi di equivalenza sono fasci di rette con centri i punti della retta r. La retta r come insieme di punti può dunque essere una rappresentazione dell'insieme quoziente.

S={1; 2 ; 4 ;8;16 ;32 ;64}

dei divisori di 64, la relazione

x∼ y ⇔ x=k y∧k∈ℕ

. Verifica che è una relazione d’ordine largo totale e rappresentala con un grafo.

La divisibilità è antisimmetrica e transitiva, dunque si tratta di una relazione d'ordine.

Ogni numero è divisore di se stesso, quindi la relazione è riflessiva. Si tratta dunque di una relazione di ordine largo.

Nell'insieme S ogni elemento è divisibile per tutti i precedenti, dunque si tratta di una relazione d'ordine totale.

Abbiamo cosè verificato che si tratta di una relazione di ordine largo totale. Il grafo è il solito pasticcio.

ESERCIZIO n.92 pag.300 (quesito a risposta multipla)

d si tratta del grafico dove tutte gli elementi di A hanno la stessa immagine.

ESERCIZIO n.93 pag.300 (quesito a risposta multipla)

b per come è definita la formula, 0 non fa parte del codominio e quindi possiamo subito depennare le risposte a e d. Osservando che l'immagine di 2 è 2 possiamo escludere anche la c.

(18)

Considera la relazione R tra l’insieme

A={−2 ;−1 ;1 ;2 ;3}

e l’insieme

B={1 ;4 ;9 ;10}

, definita da

x∼ y ⇔ y=x

² ^con

x∈A ; y∈B

. Verifica che questa relazione è una funzione da A a B e rappresentala con un diagramma a frecce e con un diagramma cartesiano.

Tutti gli elementi di A hanno immagine in B: (−2)²=4 ;(−1)²=1 ;1²=1 ;2=2=4 ; 3²=9 e tali immagini sono uniche, quindi possiamo dire che questa relazione è una funzione da A a B.

Considera la relazione R nell’insieme N definita da “x è un divisore di y”. Questa relazione R è una funzione da N a N?

Tutti gli elementi di N sono divisori di altri elementi di N, però le immagini non sono uniche, perché sono divisori di tutti i rispettivi multipli. Dunque non si tratta di una funzione.

(19)

a. non è una funzione perché c non ha un'immagine e anche perché d ha due immagini.

b. è una funzione (costante).

c. è una funzione.

d. non è una funzione perché b non ha un'immagine.

a. è una funzione

b. non è una funzione perché b ha due immagini.

c. è una funzione (costante)

d. non è una funzione perché a ha due immagini e anche perché c non ha immagini.

(20)

ESERCIZIO pag.301 n.107

Determina il codominio C della seguente funzioni di cui è assegnato il dominio A

A={0,3,4} f (x)= √ ^x+1

f (0)=1 ; f (3)=2 ; f (4)= √

⁵

C={1,2 , √

^5}

Considera la relazione R da N a N definita da “x è la metà di y”. Stabilisci se R rappresenta una funzione e, in caso affermativo, determina

f (3); f (10) ; f (A)

^essendo

A={20,25 ,30}

^. Ogni elemento di N è la metà di un altro elemento di N, Persino 0 è la metà di se stesso. Quindi ogni elemento di N ha un'immagine e questa immagine è unica. Insomma, senza tante chiacchiere:

f (n)=2 n

^essendo

n∈ℕ

^.

Dunque la relazione descritta è una funzione.

f (3)=6 f (10)=20 f ( A)={40,50,60}

Data la funzione

f (x)= x+2

, con

x∈ℝ

determina le controimmagini di 5 e di 11.

Stabilisci se 1 appartiene al codominio di f.

Si osserva facilmente che:

f (3)=5 f (9)=11

dunque le controimmagini richieste sono rispettivamente 3 e 9.

Dato che la funzione è definita sui numeri reali, possiamo pure osservare che

f (−1)=1

e di conseguenza anche 1 appartiene al codominio.