QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020 QUADERNO n.6 Capitolo 10: Capitalizzazione e sconto parte seconda DEFINIZIONE

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QUADERNO 3 B I.T.E. – 2019/2020

QUADERNO n.6

Capitolo 10: Capitalizzazione e sconto parte seconda

DEFINIZIONE

Un regime di capitalizzazione si dice composto, se l’interesse maturato nel periodo preso come unità di tempo viene aggiunto al capitale e concorre a produrre l’interesse dei periodi successivi.

ESEMPIO

Investo € 6 000 per 2 anni al 4% annuale in regime di capitalizzazione composta.

Dopo il primo anno:

M

₁

=6000(1+0,04)=6240

Nel secondo anno matura interessi il capitale di € 6 240, quindi...

Dopo il secondo anno:

M =6240(1+0,04)=6489,60

Investo € 6 000 per 2 anni al 4% annuale in regime di capitalizzazione semplice.

Dopo 2 anni:

M =6000(1+0,04×2)=6480

TEOREMA

Il calcolo del montante M di un capitale investito C in regime di capitalizzazione composta al tasso unitario i per un numero intero di periodi n è dato dalla formula:

M =C (1+i)

ⁿ ^.

Dimostrazione:

Dopo un anno applico la stessa formula della capitalizzazione semplice:

M

₁

=C (1+i)

Ma dopo il secondo anno devo considerare come capitale investito il primo montante, quindi:

M

₂

=M

₁

(1+i)=C (1+i)(1+i)=C (1+i)

²

Parlando più in generale, il montante dell'anno n+1 lo calcolo in questo modo:

M

_n+1

=M

_n

(1+i)=C (1+i)

ⁿ

(1+i)=C (1+i)

ⁿ⁺¹ da cui la tesi.

ESEMPIO

Investo € 20 000 per 9 anni a interesse composto al tasso annuale del 4,5%

Il montante al nono anno:

M =20000(1+0,045)

⁹

≈29721,90

COROLLARIO

M =4000(1+0,03)

²

= 4243,60

In regime di capitalizzazione semplice:

M =4000(1+0,03×2)=4240

ESERCIZIO

Investendo € 10 000 al tasso annuo del 2,5% per 5 anni, quanto avremo alla fine? Per rispondere, applichiamo la formula della capitalizzazione composta.

M =10000(1+0,025)

⁵

≈11314,08

ESERCIZIO

Per un prestito di € 5000 per 4 anni dovranno essere restituiti € 6000. Qual è il tasso di interesse applicato? Per rispondere, applichiamo la formula della capitalizzazione composta.

Applicando la formula:

6000=5000(1+i)

⁴

Per il secondo principio di equivalenza delle equazioni:

6000

5000 =(1+i)

⁴ ovvero

(1+i)

⁴

=1,2

Per arrivare ad i devo estrarre la radice quarta, ricordiamoci che estrarre la radice di ordine n equivale ad elevare alla potenza

1 n

. Le grandezze in gioco sono tutte positive, quindi:

1+i=1,2

1 4

Grazie alla calcolatrice:

1+i≈1,0466

e quindi il tasso richiesto è circa del 4,66 % ESERCIZIO

Se la popolazione di una nazione cresce annualmente del 6%, dopo quanto tempo raddoppierà? Per rispondere, applichiamo la formula della capitalizzazione composta.

Noi partiamo da una popolazione C e vogliamo sapere in quanti n anni diventerà M=2C, applicando la formula:

2 C=C (1+0,06)

ⁿ

Per il secondo principio di equivalenza delle equazioni:

2=(1+0,06)

ⁿ

Ovvero

2=(1,06)

ⁿ

Applicando il logaritmo ad entrambi i membri (positivi):

log 2=log (1,06)

ⁿ possiamo utilizzare le proprietà dei logaritmi per “riportare giù” l'incognita n.

log 2=nlog 1,06

ovvero:

n= log 2

log1,06 ≈11,89566

ovvero quasi 12 anni.

(3)

ESERCIZIO

Determina il montante di € 2500 investiti al tasso di interesse composto del 2,3% per 7 anni.

Applichiamo la formula:

M =2500(1+0,023)

⁷

≈2931,36

OSSERVAZIONE

Per ridurre al massimo gli errori di approssimazione consiglio di eseguire il conto sulla calcolatrice con i valori visualizzati, senza approssimarli, per poi approssimare soltanto il risultato finale.

OSSERVAZIONE

Se abbiamo a che fare con tempi non interi, applichiamo la formula della capitalizzazione composta per la parte di tempo intera e poi quella di capitalizzazione semplice per la parte residua non intera.

ESEMPIO

Determiniamo il montante in regime di capitalizzazione composta nella convenzione mista di

€ 5000 investiti al 7% per 5 anni e 9 mesi.

Calcoliamo il montante a 5 anni:

M

₁

=5000(1+0,07)

⁵

≈7012,7586535

I restanti 9 mesi corrispondono a 0,75 anni e quindi

M

₂

=M

₁

(1+0,07×0,75)≈7380,93

Se invece avessimo applicato la formula di capitalizzazione composta anche ad un tempo non intero, avremmo ottenuto questo risultato:

M =5000(1+0,07)

^5,75

≈7377,80

che è di poco inferiore al risultato precedente.

OSSERVAZIONE

Il calcolo dell'interesse composto su periodi non interi pone un problema: calcolare il montante in modo preciso risulta comunque macchinoso, mentre applicando la formula di capitalizzazione composta anche a tempi non interi si fa prima e... (a pensar male si fa peccato...).

Fatto sta che i due diversi metodi di calcolo possono essere entrambi adottati convenzionalmente.

DEFINIZIONE

Sia t = n+f la durata, con n massimo intero contenuto in t e f il resto. Si dice convenzione lineare (di capitalizzazione mista) il calcolo del montante M di un capitale iniziale C ad un tasso unitario i mediante la formula:

M =C (1+i)

ⁿ

(1+i× f )

^.

Si dice invece convenzione esponenziale (di capitalizzazione composta) se si utilizza la formula

M =C (1+i)

^t ^.

ESERCIZIO

Calcola il montante in regime di capitalizzazione composta, nella convenzione mista, di € 4300 investiti al 2% per 5 anni e 5 mesi.

Applicando le formule:

M =4300(1+0,02)

⁵

(1+0,02 5 )≈ 4787,11

(4)

ESERCIZIO

Calcola il montante in regime di capitalizzazione composta, nella convenzione esponenziale, di

€4300 investiti al 2% per 5 anni e 5 mesi.

Applicando la formula

M =4300(1+0,02)

^{5+ 5}¹²

≈4786,88

OSSERVAZIONE

In questo grafico ripreso dal libro vediamo un confronto tra la capitalizzazione composta e quella semplice rispetto ad un capitale iniziale unitario

C=1

Si noti come, dopo un unità di tempo, i due sistemi coincidano.

Nella prima frazione di tempo il montante semplice è maggiore di quello composto.

Dopo la prima unità di tempo invece è maggiore quello composto, e la distanza aumenta col tempo.

OSSERVAZIONE

Anche per la capitalizzazione composta ci poniamo il problema di ricavare i dati mancanti e quindi di utilizzare le famigerate formule inverse. In questo caso abbiamo anche una difficoltà in più: il fatto che il tempo sia un esponente e che, per ricavarlo, dovrò ricorrere agli ancor più famigerati logaritmi. Lo abbiamo già sperimentato nell'esempio sull'incremento della popolazione.

ESERCIZIO

Determiniamo quale somma dobbiamo oggi investire al tasso del 3,4% in regime di interesse composto per ottenere fra 3 anni € 950.

Dalla formula:

950=C (1+0,034)

³ ricaviamo:

C= 950

1,034

³

≈859,33

ESERCIZIO

Se il tasso di interesse composto è il 2,4%, che capitale dobbiamo investire per ottenere € 5000 fra 3 anni?

Dalla formula:

5000=C (1+0,024)

³ ricaviamo:

C= 5000

1,024

³

≈4656,61

ESERCIZIO

Determiniamo il tasso percentuale necessario per produrre un montante a interesse composto di

€6750 se si depositano € 5500 per 4 anni.

Dalla formula:

6750=5500(1+i)

⁴ ricaviamo:

6750

5500 =(1+i)

⁴

(5)

ovvero

( 6750 5500 )

1

4

=1+i

e in definitiva:

i=( 6750 5500 )

1

4

−1≈0,0525

. Dunque il tasso necessario è del 5,25 %

ESERCIZIO

Un capitale di € 5000 produce in 8 anni il montante di € 6150. Che tasso percentuale di interesse composto viene applicato?

Dalla formula:

6570=5000(1+i)

⁸ ricaviamo:

6150

5000 =(1+i)

⁸

ovvero:

i=( 6150 5000 )

1

8

−1≈0,0262

cioè un tasso del 2,62 %

ESERCIZIO

Per quanto tempo dobbiamo investire € 30 000 per ottenere € 40 000 al tasso di interesse composto dell’8,5%?

Dalla formula:

40000=30000(1+0,085)

^t ricaviamo

40000

30000 =(1,085)

^t ovvero

4 3 =(1,085)

^t Passando ai logaritmi:

log 4

3 =log (1,085)

^t .

Il passaggio ai logaritmi ci serve per “portare giù” l'incognita t, visto che, per le proprietà dei logaritmi:

log 4

3 =t log 1,085

e quindi

t=

log 4 3

log 1,085 ≈3,52638

Se siamo nella convenzione esponenziale possiamo tradurre il tempo in termini di mesi e giorni:

0,52638×12=6,31656

è il numero dei mesi

0,31656×30=9,4968

è il numero dei giorni che possiamo approssimare a 9 o a 10.

Dunque il tempo occorrente è di 3 anni, 6 mesi e 10 giorni.

ESERCIZIO

Se investiamo € 10 000 al tasso di interesse composto del 4%, quanto tempo occorre per ottenere € 15 000?

Dalla formula:

15000=10000(1+0,04)

^t ricaviamo:

1,5=1,04

^t

passiamo ai logaritmi:

log 1,5=t log 1,04

e infine

t= log 1,5

log 1,04 ≈10,338

Calcoliamo i mesi:

0,338×12=4,056

e i giorni:

0,056×30=1,68

(6)

ESERCIZIO

Calcoliamo il montante in capitalizzazione composta semestrale di € 15 000 investiti per 4 anni al tasso semestrale del 3%.

Dobbiamo contare i semestri che in 4 anni sono 8.

Dalla formula:

M =15000(1+0,03)

⁸

≈19001,55

ESERCIZIO

Quale montante viene prodotto investendo € 10 000 al tasso di interesse composto quadrimestrale dello 0,75% per 5 anni?

In 5 anni ci sono 15 quadrimestri.

Dalla formula:

M =10000(1+0,0075)

¹⁵

≈11186,03

DEFINIZIONE

Due tassi sono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per uno stesso periodo, producono lo stesso montante.

ESERCIZIO n.70 pag. 468

Determina il montante nella seguente operazione di regime di capitalizzazione composta.

“Quattro anni fa ho investito € 5000 all’1,5%.”

M =5000(1+0,015)

⁴

≈5306,82

ESERCIZIO n.70 pag. 468

Determina il montante nella seguente operazione di regime di capitalizzazione composta.

Luigi ha depositato in banca € 6000 per 4 anni al tasso di interesse del 2%.

M =6000(1+0,02)

⁴

≈6494,59

ESERCIZIO n. 72 pag.469

Arriva la patente! Quando Sara aveva 15 anni, uno zio le ha lasciato in eredità una somma di

€ 10 000 che lei ha investito in una banca che applica il tasso di interesse del 2,5% annuo. Oggi Sara ha 18 anni e vuole comprarsi un’auto; quanto può ritirare dalla banca?

Occorre calcolare il montante dopo 18-15=3 anni:

M =10000(1+0,025)

³

≈10768,91

^.

Dunque Sara potrà ritirare € 10 768,91 ESERCIZIO n.74 pag.469

Risolvi il seguente problema in regime di capitalizzazione composta, determinando il montante e l’interesse.

C = € 7 800 i=0,065 t= 3 anni

M =7800(1+0,065)

³

≈9422,01

I =9422,01−7800=1622,01

(7)

ESERCIZIO n.75 pag.469

Risolvi il seguente problema in regime di capitalizzazione composta, determinando il montante e l’interesse.

C = € 9 906 i=0,06 t= 4 anni

M =9906(1+0,06)

⁴

≈12506,10 I =12506,10−9906=2600,10

Risolvi il seguente problema in regime di capitalizzazione composta, determinando il montante e l’interesse sia con la convenzione lineare, sia con quella esponenziale.

C = € 4 500 i =0,015 t = 2 anni, 7 mesi, 12 giorni Osserviamo inizialmente che in termini di anni e frazioni di anni abbiamo:

t=2+ 7

12 + 12

360 =2+ 222

360 =2+ 37 60

Utilizzando la convenzione lineare:

M =4500(1+0,015)

²

(1+0,015× 37

60 )≈ 4678,90

Invece, con la convezione esponenziale

M =4500(1+0,015)

²⁺³⁷⁶⁰

≈4678,77

Risolvi il seguente problema in regime di capitalizzazione composta, determinando il montante e l’interesse sia con la convenzione lineare, sia con quella esponenziale.

C = € 9 700 i =2,6 % t = 3 anni, 5 mesi, 25 giorni Osserviamo inizialmente che in termini di anni e frazioni di anni abbiamo:

t=3+ 5

12 + 25

360 =3+ 175

360 =3+ 35 72

Utilizzando la convenzione lineare:

M =9700(1+0,026)

³

(1+0,026× 35

72 )≈10608,85

Invece, con la convezione esponenziale

M =9700(1+0,026)

³⁺³⁵⁷²

≈10607,98

Risolvi il seguente problema in regime di capitalizzazione composta, determinando le due grandezze mancanti.

C = € 8 600 t = 6 anni I = € 4672,40

Ovviamente

M =8600+4672,40=13272,40

Per ricavare il tasso di interesse unitario occorre risolvere l'equazione:

13272,40=8600(1+i)

⁶ che ci porta a

( 13272,40 8600 )

1

6

=1+i

^.

(8)

C = € 3 200 M = € 4685,12 i =10%

Ovviamente

I =4685,12−3200=1485,12

^. Per ricavare il tempo t ci occorre risolvere l'equazione:

4685,12=3200(1+0,1)

^t che ci porta a

1,4641=(1,1)

^t ^.

Passando ai logaritmi,

log 1,4641=log(1,1)

^t

possiamo “portare giù” la t:

log 1,4641=t log 1,1

da cui:

t= log 1,4641 log 1,1 =4

.

Dunque il tempo dell'operazione è di 4 anni.

M = € 23 005,13 I = € 3005,13 i = 7,25%

Ovviamente

C=23005,13−3005,13=20000

Per ricavare il tempo t ci occorre risolvere l'equazione:

23005,13=20000 (1+0,0725)

^t che ci porta a

1,1502565=(1,0725)

^t . Passando ai logaritmi:

log 1,1502565=log(1,0725)

^t

possiamo “portare giù” la t:

log 1,1502565=t log 1,0725

da cui:

t= log 1,1502565 log 1,0725 ≈2

.

Dunque il tempo dell'operazione è di 2 anni.

ESERCIZIO n.91 pag.470 (risposta multipla)

8 anni fa sono stati investiti in regime di capitalizzazione composta € 3500, che hanno fruttato

€ 4100,81. Qual è il tasso di interesse applicato?

Se fosse una domanda a risposta aperta, faremmo diligentemente i nostri calcoli:

4100,81=3500(1+i)

⁸ ^{da cui}

( 4100,81 3500 )

1

8

=1+i

da cui

i≈0,02

Nel caso della domanda a risposta multipla, se fosse concesso l'uso della calcolatrice potremmo fare velocemente il conto sopra, oppure, ancora più velocemente il calcolo del montante per ciascuna scelta, sperando che quella giusta arrivi il prima possibile (ed in effetti è la A)

Se infine, non fosse concesso l'uso della calcolatrice, potremmo grossolanamente valutare

4 3 < 4100,81 3500 < 4

4

e approssimarlo a

1,3+1

=...

...=1+8i+16 i

²

≈1+8i

Quindi ci basta moltiplicare per 8 le risposte proposte e osservare grossolanamente che B, C, E superano 0,17, fra l'altro quella della lettera C è bimestrale e quindi 1+i dovrebbe essere pure elevata a 16. La risposta della D si avvicina a 0,17 ma è un tasso trimestrale e quindi 1+ i dovrebbe essere elevato a 24. Conclusione, la risposta giusta è alla lettera A.

ESERCIZIO n.92 pag.470 (risposta multipla)

Investo oggi € 3 000 al tasso di interesse composto i = 0,021. Fra quanto tempo il montante sarà di

€ 3600?

Se fosse a risposta aperta, dovrei risolvere:

3600=3000(1+0,021)

^t

Con i soliti logaritmi:

log 3600

3000 =t log 1,021

da cui

t≈8,772824

ovvero 8 anni , 9 mesi, 8 giorni (e qualche ora).

Se fosse a risposta multipla con calcolatrice concessa potremmo fare velocemente il conto sopra e arrivati a

t≈8,772824

potremmo già scegliere tra la risposta B e la D. La D è ovviamente un tranello perché ci mostra come mesi e giorni proprio i decimali che leggiamo sulla calcolatrice, anche solo per quel motivo dovremmo mettere la crocetta sulla B, e comunque 0,77 anni sono più di 0,75 anni, ovvero tre quarti di anno ovvero 9 mesi.

Se fosse a risposta multipla senza calcolatrice potremmo ragionare in questo modo:

3600

3000 =1,2

si fa anche a mente, cerchiamo di valutare le potenze di 1,021 come nell'esercizio precedente:

1,021

²

≈ 1+2×0,021=1,042

ed escludiamo la A.

1,021

⁸

≈1+8×0,021=1,168

ed escludiamo C ed E

Rimarrebbe la difficile scelta tra B e D, considerando che manca ancora qualche decimale per arrivare a 1,2 potremmo optare per la B che ha più mesi della D.

In regime di capitalizzazione composta con convenzione mista, risolvi il seguente problema.

Depositiamo in una banca una somma di € 7500 che dopo un anno e 4 mesi genera interessi per

€ 201. Qual è il tasso unitario di interesse applicato?

Ovviamente

M =7500+201=7701

, dunque dobbiamo risolvere l'equazione:

7701=7500(1+i)

¹

(1+ 4

12 i)

ovvero

7701

7500 =1+i+ 1 3 i+ 1

3 i

²

ovvero

1 3 i

²

+ 4

3 i+1− 7701

7500 =0

. Si tratta di un'equazione di secondo grado nell'incognita i.

Potremmo approssimare i coefficienti e applicare subito la formula risolutiva, ma per evitare che si

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coefficienti:

i

²

+4 i+3− 7701

2500 =0

. Dunque

i=

−4±(16−12+ 7701 625 )

1 2

2 = −4±4,04

2

che ci dà due possibili soluzioni: i= 0,02 oppure i=-4,02

Ovviamente scartiamo quella negativa, che in questo contesto non ha alcun significato e possiamo concludere che il tasso unitario di interesse applicato è i=0,02=2%.

Risolvi il seguente problema, determinando la grandezza mancante fra C, M, t e il tasso relativo al periodo.

C= € 6 500 t= 15 trimestri i4=0,035

Ovviamente

M =6500(1+0,035)

¹⁵

≈10899,77

ESERCIZIO n.99 pag.471.

Risolvi il seguente problema, determinando la grandezza mancante fra C, M, t e il tasso relativo al periodo.

M= € 12 500 t= 18 semestri i2=0,009

Dobbiamo risolvere l'equazione:

12500=C (1+0,009)

¹⁸

Dunque:

C= 12500

1,009

¹⁸