FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Commissione V. Casarino, P. Mannucci Ingegneria Gestionale, Meccanica Meccatronica, Vicenza
Vicenza, Luglio 2011
TEMA
1
Esercizio 1. (7 punti)
1) Disegnare il dominio T = {(x.y) ∈ R2 : y ≤ 2, y ≥ x + 1, y ≥ −x + 1}.
2) Determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y) = x2− y2
x2+ y2 in T .
Esercizio 2 (7 punti)
Sia f : R → R una funzione definita sull’asse reale.
(a) Determinare e disegnare il campo di esistenza della forma ω(x, y) =
−6xy2− 2xy + 2x 4 − x2
dx +
f (y) log(4 − x2) dy .
(b) Determinare tutte le funzioni f = f (y) di classe C1(R), tali che la forma ω sia esatta sul suo insieme di definizione.
(c) Per le funzioni f determinate in b), determinare un potenziale di ω.
Esercizio 3. (9 punti) Data l’equazione differenziale
y00(x) − 5y0(x) + 6y(x) = e2x, 1) scrivere l’integrale generale dell’equazione completa.
2) Determinare la soluzione del problema di Cauchy che soddisfa i dati iniziali y(0) = 0 e y0(0) = α, al variare di α in R.
3) Stabilire per quali α ∈ R la soluzione trovata al punto 2. verifica la condizione limx→+∞y(x) =
−∞.
Esercizio 4 (9 punti) Si consideri l’insieme
Ω := {(x, y, z) : x2+ y2≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 9 + xy} . a) Calcolare l’area del grafico
Γ := {(x, y, z) : x2+ y2≤ 1 , z = 9 + xy} .
b) Determinare l’area della superficie che costituisce la frontiera di Ω. (Suggerimento: si consiglia di considerare la superficie totale come unione di tre parti.)
Tempo:due ore e mezza. Motivare tutte le risposte
N.B. Chi `e sorpreso a parlare o copiare non solo verr`a allontanato dall’aula ma non potr`a sostenere l’ appello successivo a questo.
