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INTRODUZIONE
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Usando la geometria originata dal modello sviluppato nel capitolo 3, vengono eseguite le simulazioni numeriche del Nautilus con il programma C.F.D. Fluent 6.2.
4.1 Fluent
Fluent è uno dei più diffusi software di fluodinamica computazionale (C.F.D) esistenti oggi sul mercato. L'idea è quella di trasformare la zona di studio, che di per se è infinita e continua, in un dominio di calcolo finito e discreto. Tutto ciò mediante la creazione di una griglia denominata mesh, ossia una schematizzazione della geometria da analizzare, che contiene le coordinate di tutti i nodi, il tipo di connessione tra essi, il tipo di zona e inoltre i numeri di tutte le facce. Su tale schematizzazione il software andrà a lavorare risolvendo sostanzialmente quelle che sono le equazioni di conservazione della massa e del momento per ogni elemento della griglia. Successivamente i risultati delle equazioni(che vengono discretizzate per ogni cella e successivamente linearizzate) cioè i valori delle incognite al centro di ogni cella vengono interpolati. In particolare la soluzione fornita dal software è ricavata calcolando i valori delle variabili di interesse al “centro cella”. I valori nelle altre zone sono determinati interpolando quelli precedentemente ottenuti. L'analisi numerica si propone come strumento di supporto, diventando indispensabile in un contesto di ottimizzazione dei tempi e dei risultati con cui la progettazione deve essere portata a termine. L'approccio numerico nella fase iniziale del progetto ha, infatti, il notevole vantaggio di poter analizzare numerosi casi per diverse configurazioni in tempi adeguati, con la possibilità di individuare ed eliminare quelle configurazioni di minore interesse. La simulazione numerica deve, però, garantire risposte coerenti con la realtà, in tempi e costi minori di quelli necessari per raggiungere lo stesso scopo con altre metodologie. Fluent non è in grado di costruire la mesh, può solo importarla da altri software. Per questo sono stati creati programmi ad hoc come Gambit oppure Tgrid, che però riescono a generare geometrie semplici e non sono adatti alla realizzazione di progetti complessi. In alternativa è allora possibile utilizzare programmi CAD di terze parti e successivamente, tramite i software sopra citati, importarli in Fluent .
m
ρ
ρv
S
t
(
)
∂ +∇⋅
=
∂
ρv
ρvv
p
τ
ρg
F
t
(
)
(
)
∂
+ ∇⋅
= −∇ + ∇ ⋅ +
+
∂
ff j j eff h j ρE v ρE p k T h J τ v S t ( ) ( ( )) ( ) ∂ + ∇⋅ + = ∇⋅ ∇ − + ⋅ + ∂∑
p
v
E
h
ρ
22
= − +
j j j h=∑
Y h j j j p h Y h ρ =∑
+Le equazioni che tale software risolve sono quelle di Navier-Stokes relative al moto:
• equazione di conservazione della massa (o continuità) all'interno di un volume di controllo definito:
(4.1)
dove Sm indica la presenza di pozzi o di sorgenti.
• L'equazione di equilibrio delle forze(riferita all'unità di volume):
(4.2)
dove:
• p: pressione statica; • τ : tensore degli sforzi;
• F: risultante delle forze esterne; • ρg : forza gravitazionale.
Nel caso sia presente uno scambio termico o nel caso il fluido sia comprimibile, viene risolta anche l'equazione di conservazione dell'energia:
(4.3)
con:
L'entalpia sensibile h è definita:
• Yj: rappresenta la frazione di massa della specie J; • rif T j p j T h =
∫
C dT, , con Trif =298.25K ;i i ρu ρ t x ( ) 0 ∂ ∂ + = ∂ ∂ i j j i j i i l ij j j j i j l j
ρu u
u
ρu u
ρu
p
u
u
µ
δ
t
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
'
')
(
)
2
3
∂
∂
∂
∂
+
= −
∂
+
∂
∂
+
−
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
• keff :conducibilità effettiva, variabile che tiene conto anche della conducibilità
termica turbolenta il cui valore dipende dal modello di turbolenza scelta;
• J : flusso di diffusione della specie j;j
• Sh: include una eventuale generazione di calore dovuta a reazioni chimiche o ad
eventuali sorgenti definite.
Si noti come i primi tre termini sotto l'operatore gradiente rappresentino il contributo di energia dovuto alla conduzione, alla diffusione della specie e alla dissipazione viscosa. Il problema fondamentale che si incontra nel dover risolvere tali equazioni è che l'eventuale presenza di turbolenze, da luogo a campi di velocità di tipo fluttuante. Queste fluttuazioni producono un miscelamento delle quantità trasportate quali il momento, l'energia e la concentrazione delle specie provocando, di conseguenza, una fluttuazione delle stesse. L'entità di tali fluttuazioni può essere su piccola scala ed elevata frequenza, e di conseguenza la simulazione diretta è troppo onerosa dal punto di vista computazionale. Il problema viene risolto mediando i valori delle variabili presenti nelle equazioni di Navier-Stokes, con un approccio cosiddetto di tipo RANS (Reynolds averaged Navier Stokes), che permette di rimuovere le fluttuazioni su piccola scala, ottenendo così una serie di equazioni modificate meno onerose delle precedenti. Tuttavia le equazioni modificate contengono nuove grandezze incognite che possono essere calcolate, in funzione di quelle note, per mezzo di modelli di turbolenza. Di seguito vengono riportate rispettivamente le equazioni di continuità e del momento modificate utilizzando un approccio di tipo RANS:
(4.4)
(4.5)
Si noti la presenza di un nuovo termine −ρu ui' j' definito come tensore di Reynolds. Tale parametro rappresenta una quantità che va opportunamente modellata al fine di chiudere l'equazione. Ulteriori termini rispetto all'equazione di partenza considerano l'effetto della turbolenza. I modelli di turbolenza implementati nel codice di calcolo Fluent sono:
• Spalart-Allmaras • Modelli “k-ε”:
j i i i j t t ij j i j
u
u
u
ρ u u
µ
ρk
µ
δ
x
x
x
2
( '
')
3
∂
∂
∂
−
=
+
−
+
∂
∂
∂
Modello “Renomarlization-group k-ε” (RNG) Modello “Realizable k-ε” • Modelli “k-ω” Modello “k-ω standard”Modello “Shear-stress transport k-ω” (SST) • Reynolds Stress (RMS)
• Detached Eddy Simulation (DES) • Large Eddy Simulation (LES)
Gli altri due modelli presenti non considerano la turbolenza ma vengono applicati rispettivamente quando si trascura l'effetto della viscosità sul flusso (Inviscid), ovvero si considerano così le forze d'inerzia molto maggiori delle forze viscose, e quando il regime è laminare (Laminar).
4.1.1 Analisi delle caratteristiche dei diversi modelli per la turbolenza
Spalart-Allmaras
Tale modello utilizza l’ipotesi di Boussinesq che fa coincidere il valore del tensore di Reynolds con la quantità:
(4.6)
E’ un modello relativamente semplice in cui viene risolta solo un’equazione di trasporto addizionale per poter ricavare il valore della viscosità turbolenta µt. II modello “Spalart-Allmaras” è stato creato specificatamente per applicazioni aerospaziali che includono flussi limitati da pareti ed è applicato anche nei casi in cui si hanno contorni con gradienti di pressione avversi (è di largo impiego per applicazioni turbo-meccaniche). L’impiego del modello “Spalart-Allmaras” è adeguato per applicazioni con bassi numeri di Reynolds, in cui si richiede una buona risoluzione della regione influenzata dalla viscosità dello strato limite. In Fluent, comunque, il modello “Spalart-Allmaras” è stato implementato con funzioni di parete (le cosiddette wall functions) quando la mesh non è sufficientemente fine. Per questo potrebbe diventare la miglior scelta per simulazioni con mesh grossolane dove l’accuratezza del calcolo del flusso turbolento non è critica.
“k-ε Standard”
Il modello “k-ε Standard” in Fluent è il più usato per i calcoli dei flussi dei più comuni problemi ingegneristici. Questo modello è ancora oggi quello che garantisce un ottimo compromesso tra affidabilità, costo ed accuratezza della soluzione in un ampio campo di problemi. Anche tale modello, come il precedente, utilizza l’ipotesi di Boussinesq. Inoltre le equazioni del modello “k-ε Standard” sono derivate dall’assunzione che il flusso sia completamente turbolento e che l’effetto della viscosità molecolare sia trascurabile; il modello quindi è valido solo per flussi completamente turbolenti. Infatti le componenti del tensore di Reynolds −ρu ui' j'dipendono dalla viscosità turbolenta calcolata a partire da k, energia turbolenta cinetica, e da ε, tasso di dissipazione dell’energia.
Il modello “RNG k-ε”
Il modello “RNG k-ε” è simile nella forma al modello “ k-ε standard”, ma include le seguenti raffinatezze:
a. Fornisce previsioni migliori per flussi ad elevata curvatura di linee di corrente, bassi numeri di Reynolds e pareti con scambio termico.
b. E’ incluso l’effetto del movimento vorticoso sulla turbolenza, accrescendo l’accuratezza per flussi vorticosi.
c. La teoria RNG prevede una formula analitica per il numero di Prandtl turbolento, mentre il modello “k-ε standard” utilizza valori costanti stabiliti dall’utente. d. Mentre il modello “k-ε standard” è valido per alti numeri di Reynolds, la teoria
RNG tiene conto degli effetti dei bassi numeri di Reynolds.
Di contro, a causa dei termini aggiuntivi nelle equazioni e del maggior grado di non linearità, questo modello comporta un maggior costo in termini di tempo rispetto al modello standard. Il moto turbolento, in generale, è caratterizzato da rotazioni e effetti swirl del flusso. Il modello di RNG in Fluent, offre la possibilità di tener conto degli effetti di tali fenomeni modificando opportunamente la viscosità turbolenta.
Il modello “Realizzable k-ε”
Questo modello differisce dallo “standard k-ε” per due importanti elementi:
b. è caratterizzato da una nuova equazione di trasporto per il tasso di dissipazione ε. Un beneficio immediato del modello “Realizable k-ε” è che predice più accuratamente la percentuale di propagazione sia di getti planari che di getti circolari. Fornisce inoltre una prestazione superiore per flussi che includono rotazioni e strati limite con elevati gradienti di pressioni negativi. Comunque, sia il “Realizable k-ε” che il “RNG k-ε” hanno mostrato sostanziali miglioramenti rispetto al modello “k-ε Standard” per flussi che includono forti curvature delle linee di corrente, vortici e rotazioni.
Il modello “k-ω Standard”
Questo modello risulta essere molto simile al modello k-ε (infatti anch’esso utilizza l’ipotesi di Boussinesq), differenziandosi da questo per la definizione del parametro che funziona da vincolo per il rapporto tra le due grandezze. Tale modello Incorpora modifiche per gli effetti dei bassi numeri di Reynolds e della comprimibilità.
Il modello “SST k-ω” (Shear-Stress Transport)
Questo modello è stato implementato per sfruttare simultaneamente i vantaggi offerti dal modello k-ω e dal modello k-ε. Il modello “ k-ω SST” è simile al modello “k-ω standard”, ma include le seguenti raffinatezze:
a. il modello “k-ω Standard” e il modello “k-ε standard” sono entrambi moltiplicati per una funzione miscelante ed entrambi i modelli sono uniti insieme. La funzione che unisce questi due modelli, è disegnata per valere 1 nella regione vicino la parete (facendo così lavorare in tale zona solo il modello “k-ω Standard”) e per valere 0 lontano dalla superficie (facendo lavorare in tale zona il solo modello “k-ε standard”).
b. Il modello “SST” incorpora nell’equazione di ω un termine differenziale per la diffusione trasversale.
c. La definizione della viscosità turbolenta è modificata per tener conto del trasporto della tensione di taglio turbolenta.
d. Le costanti del modello sono diverse.
Il modello “Reynolds Stress”(RSM)
Il modello Reynolds Stress (RSM) è il modello di turbolenza più raffinato disponibile in Fluent; al tempo stesso risulta essere anche instabile e dalla difficile convergenza.
Abbandonando l’ipotesi di isotropicità della viscosità turbolenta µt (sulla quale si fondava l’ipotesi di Boussinesq), l’RSM chiude il sistema di equazioni di Navier-Stokes risolvendo le equazioni di trasporto per il tensore di Reynolds, insieme ad un’equazione relativa al tasso di dissipazione ε. In definitiva sono richieste sette equazioni di trasporto nel caso di flussi 3D e un aumento del tempo computazionale rispetto al modello k-ε del 50-60%. Di contro, si presta molto bene all’analisi di flussi dalle caratteristiche molto complesse poiché predice gli effetti della curvatura delle linee di corrente, del moto vorticoso e della rotazione in un modo più rigoroso dei modelli ad una e due equazioni.
Il modello “Large Eddy Simulation”(LES)
I flussi turbolenti sono caratterizzati da vortici le cui caratteristiche fisiche possono variare notevolmente. Un approccio di tipo LES permette di risolvere direttamente solo i vortici le cui dimensioni sono rilevanti, mentre tutti gli altri vengono analizzati ricorrendo alla modellazione.
Il modello “Detached Eddy Simulation”(DES)
L’idea è quella di combinare il modello basato su una approccio di tipo RANS con il modello LES per applicazioni in cui il solo modello LES non è sufficientemente economico. Per questo motivo, il modello DES si basa sulla teoria di Spalart-Allmaras opportunamente modificata.
4.1.2 Trattamento dei flussi in prossimità della parete
Una modellazione adeguata del flusso in prossimità della parete ha importanti conseguenze sull'affidabilità della soluzione numerica, dal momento che le pareti sono la principale sorgente di vortici e turbolenze. L'uso della "wall function"(presenti in alcuni modelli di turbolenza), evita la necessità di modificare i modelli turbolenti per la presenza di una parete. Esistono due diversi metodi per la modellazione del flusso in prossimità della parete:
a. "Wall functions": nel quale il substrato laminare e la zona intermedia dello strato limite non sono risolti, ma in quelle zone vengono usate formule semi- empiriche.
b. "Near-wall functions": nel quale vengono risolte anche la zona intermedia e il substrato laminare fino alla parete.
Il "wall functions" per flussi ad elevato numero di Reynolds permette la riduzione dei tempi di calcolo e risulta essere anche abbastanza accurato. L'altro modello è usato
maggiormente per flussi caratterizzati da un basso numero di Reynolds. In Fluent le "wall functions" disponibili sono due:
1. “standard wall function”; 2. “non equilibrium wall function”.
Il modello "non equilibrium wall functions" è raccomandato nel caso di flussi separati e gradienti di pressione molto elevati, in quanto tiene in considerazione gli effetti dei gradienti di pressione. Il modello "standard wall functions" fornisce risultati accurati per la maggior parte dei flussi ad elevato numero di Reynolds quando nel flusso non siano presenti elevati gradienti di pressione.
4.1.3 Scelta delle caratteristiche del risolutore
La prima scelta che occorre fare riguarda il tipo di solutore. Fluent permette di scegliere tra due tipologie:
• Segregated (del quale esiste la sola formulazione implicita) • Coupled.
Entrambi comunque hanno in comune alcune procedure:
1. Divisione del dominio in volumi di controllo discreti usando una griglia.
2. L’integrazione delle equazioni quali la continuità, il momento, l’energia, ecc... in ciascun volume di controllo, tutto ciò al fine di costruire equazioni algebriche per le variabili dipendenti discretizzate quali, ad esempio, velocità, pressione, temperatura.
3. Linearizzazione di tali equazioni e soluzione dell’equazione lineare risultante al fine di produrre valori aggiornati delle variabili dipendenti.
Inoltre i due approcci risultano simili nel processo di discretizzazione, ma ciò che li differenzia, è il modo di ottenere la linearizzazione e la soluzione delle equazioni discretizzate. Si analizzeranno ora con maggior dettaglio i due solutori.
Segregated
Con tale opzione attivata le diverse equazioni vengono risolte in maniera segregata, ovvero separatamente l’una dall’altra e inoltre in maniera sequenziale. La procedura è la seguente:
1. aggiornamento delle proprietà del fluido basandosi sui risultati attuali (se siamo di fronte alla prima iterazione, la proprietà del fluido vengono aggiornate in base alle condizioni iniziali).
2. per aggiornare il campo di velocità, vengono risolte a turno le equazioni del momento per le componenti della velocità u, v e w, tutto ciò utilizzando i valori correnti di pressione e dei flussi in massa sulle facce.
3. fino a quando il valore della velocità calcolato al passo precedente non soddisfa l’equazione di continuità localmente, viene utilizzata un’equazione modificata per la pressione. Tale espressione è poi risolta al fine di ottenere la correzione necessaria per la pressione e per il campo di velocità, da soddisfare la continuità.
4. se richiesto dal problema, vengono poi risolte le equazioni relative al modello turbolento, all’energia, ecc, utilizzando i valori delle variabili precedentemente calcolati.
5. infine viene fatto un controllo sulla convergenza dell’insieme di equazioni. Tutto si può riassumere con lo schema logico di figura 4.2.
Coupled
Tale approccio, risolve le equazioni caratteristiche quali la continuità, il momento e, se richiesto dal problema, l’energia, simultaneamente. Ulteriori equazioni, come quelle relative al modello di turbolenza vengono risolte sequenzialmente, utilizzando lo stesso metodo analizzato in precedenza per il solutore segregated. Anche in questo caso è possibile esaminare la procedura che viene attuata per ciascuna iterazione:
1. aggiornamento delle proprietà del fluido basandosi sui risultati attuali (se siamo di fronte alla prima iterazione, la proprietà del fluido vengono aggiornate in base alle condizioni iniziali).
2. risoluzione simultanea delle equazioni di continuità, del momento e, se richiesto, dell’energia.
3. successivamente vengono risolte equazioni, come ad esempio quelle relative alla turbolenza, utilizzando valori delle variabili calcolati nel passo precedente.
4. infine viene fatto un controllo sulla convergenza dell’insieme di equazioni.
Figura 4.2- Schema logico Segregated
Questo metodo permette la scelta tra due formulazioni:
a. Implicita: fissata una certa variabile, il valore incognito in ciascuna cella viene valutato utilizzando relazioni che contengono sia valori noti sia valori incogniti derivanti dalle celle vicine. Il valore incognito, apparirà in più di una equazione e tali equazioni andranno risolte simultaneamente per poter conoscere la variabile.
b. Esplicita: fissata una certa variabile, il valore incognito in ciascuna cella viene valutato utilizzando relazioni che includono solo valori noti. In questo caso, il valore incognito apparirà in un’unica equazione e l’ equazioni del sistema (contenenti ciascuna il valore dell’incognita riferito alla singola cella), potranno essere risolte singolarmente al fine di determinare la variabile.
La scelta tra le due tipologie di solutore, è legata alle caratteristiche del problema. In realtà, non vi è una zona di demarcazione netta tra le due scelte, in generale comunque per un flusso incomprimibile la scelta segregated si rivela la più efficace, mentre in presenza di flussi comprimibili o dalle velocità molto elevate la scelta di un solutore di tipo ptino risulta di gran lunga migliore. Ciò è dovuto al fatto che tale solutore, risolve, come già detto, le equazioni di continuità, momento ed energia, simultaneamente, conducendo più rapidamente alla soluzione. Di contro è richiesta una maggiore quantità di memoria rispetto al caso precedente. Qualora tale caratteristica non fosse disponibile, si può utilizzare un solutore segregated o coupled explicit, in questo secondo caso le equazioni verranno sempre risolte simultaneamente con una richiesta di memoria inferiore rispetto al caso implicito. Infine i due solutori integrano alcuni modelli fisici, che sono però disponibili o in uno o nell’ altro, come ad esempio il modello inerente la cavitazione, disponibile solo per il solutore segregated, e il modello sui gas ideali, disponibile solo per il solutore coupled. Sempre nel pannello di scelta, sarà possibile specificare, tra gli altri, se il flusso è stazionario o meno, e nel caso di geometrie 2D, se il flusso è asimmetrico e se è caratterizzato da rotazioni o effetti swirl (questi ultimi tipici di combustioni). Inoltre, sempre nel pannello di scelta alla voce gradient coupled, è possibile scegliere come discretizzare i termini contenuti nell’equazione del moto. Con l’opzione cell-based attiva, il valore della generica variabile, è ricavato dai valori medi delle celle vicine. Invece con l’opzione node-based attiva, tale valore viene ricavato dalla media aritmetica dei valori presenti sui nodi delle facce. In genere l’opzione node-based risulti essere più accurata per mesh triangolari e tetraedriche. Infine, se si sta trattando una zona definita come “porosa” (come ad esempio può essere considerato l’interno di uno scambiatore di calore o un filtro per l’aria), dovrà essere specificato se, nel modello applicato per un oggetto considerato come poroso, il valore della velocità dovrà essere superficial o physical. La differenza tra le due risiede nel fatto che, se si considera la
porosa sia all'esterno. Questo limita l'accuratezza del modello poroso in quanto ciò non è strettamente vero. Per simulazioni più accurate di flussi porosi, diviene necessario, per risolvere al meglio il problema, riferirsi alla velocità fisica (o meglio reale) in tutto il zona di flusso, piuttosto che la velocità superficiale.
4.2 Impostazioni e risultati delle simulazioni
4.2.1 Impostazione del problema per il calcolo delle prestazioni
La mesh del nostro modello è stata creata in Gambit. Dalla letteratura [1] [2] [3] e dai suggerimenti che vengono dati nel manuale di Fluent [4], per problemi che interessano turbopompe ed induttori, si è solito lavorare con l'aiuto della geometria periodica che questi problemi hanno, andando così ad avere un forte alleggerimento sui calcoli e quindi sui tempi di esecuzione delle simulazioni. Nel nostro caso particolare si è scelto di dividere il volume di controllo in tre parti fondamentali (vedi figure 4.4 e 4.5):
• Volume Ingresso, che nel nostro caso si è scelto con una lunghezza pari 3 diametri, per non avere problemi con possibili flussi di ricircolo;
• Volume delle Pale, di cui è riportato solo un terzo del volume reale;
• Volume d'Uscita, che nel nostro caso si è scelto con una lunghezza pari 1 diametri;
La mesh è stata creata non strutturata con elementi tetraedrici. In più sulla parte superiore del volume d'ingresso e sulla parte superiore del volume d'uscita abbiamo introdotto la funzione di strato limite, che è diventata parte integrante della mesh1. Il numero delle celle, delle facce e dei nodi è riportato in tabella 8, direttamente estrapolati dal programma CFD. L' infittimento degli elementi è stato più spinto nel volume delle pale, cercando comunque di mantenere un certa continuità della mesh per non creare spiacevoli salti di grandezze fra celle adiacenti.
Celle Facce Nodi objps
Number used 319542 1358944 152248 38 Mbyte used 26 32 8 0 Number allocated 319542 1358944 165368 1024 Mbyte allocated 26 32 9 0
Tabella 9- Caratterizzazione della mesh
1 Nel volume delle pale non è stato possibile inserire la funzione strato limite, vista che la difficoltà della geometria dava problemi al programma di implementazione.
In figura 4.6 è mostrata la mesh del Nautilus che si visualizza in Fluent facendo uso delle proprietà di periodicità che ha l’induttore, per l’esattezza in questo caso si è impostato una periodicità angolare, con 120° come passo e 3 come numero di ripetizioni.
La definizione del risolutore, le condizioni operative, le condizioni a contorno inserite per la risoluzione del problema sono riportate nelle figure 4.7-4.8-4.9. In figura 4.7 sono espresse le condizioni sul fluido di lavoro, sulla velocità di rotazione, sul sistema di riferimento, e sul tipo di risolutore scelto per l’iterazione delle equazioni. Nella 4.8 e nella 4.9 vengono mostrate le condizioni al bordo poste sulle diverse parti del volume di controllo. Risalta comunque subito il fatto che si è utilizzata una velocità all’ingresso uniforme e si è posto il valore della pressione statica costante all’uscita della mesh. Va sottolineato che sono state effettuate delle prove a diverse velocità di rotazione per verificare la non dipendenza della mesh creata da questo parametro. La matrice delle prove effettuate è riportata in Appendice 4.
Figura 4.8- Dati in ingresso
Figura 4.9- Dati in ingresso
Per quanto riguarda la campagna di simulazioni, gli screen-shoot delle condizioni sono riportate in figura 4.10 – 4.11 – 4.12.
Figura 4.10- Dati in ingresso
Figura 4.11- Dati in ingresso
I tre passaggi, cioè soluzione laminare al primo ordine, soluzione turbolenta al primo ordine e soluzione turbolenta al secondo ordine, sono necessari per avere una stabilità della soluzione data da Fluent. Ogni simulazione è stata impostata, per ogni passo, su 5000 iterazioni, entro le quali si è sempre avuto il raggiungimento della convergenza, posta con limite 1*10 e-6. Questa convergenza è mostrata in figura 4.13 – 4.14 – 4.15, che riporta a titolo d’esempio, i risultati ottenuti con le simulazioni per il Φ di progetto (0.055) e per dei Φ di contorno. Il picco che risulta dai grafici dei residui sono dovuti al passaggio da un tipo risolutore al successivo, cioè da un turbolento di primo ordine ad un turbolento di secondo ordine. Tali andamenti si sono comunque avuti per tutte le prove che sono state sostenute e riportate in Appendice 4. Provando a portarsi a coefficienti di flusso più alti di 0.080 e più bassi di 0.040 si è invece registrato un andamento instabile dei residui, riportati in figura 4.16 e 4.17. La cosa comunque non è di importanza notevole visto che siamo ben lontani dal coefficiente di flusso di lavoro.
In figura 4.18 è riportato l’andamento della pressione, dall’entrata all’uscita dell’induttore, con riferimento al coefficiente di flusso al punto di lavoro, mentre in figura 4.19 sono riportate le path-line, ottenute con 2500 steps, con un passo pari 0.01.
Nel grafico riportato in figura 4.20, ottenuto facendo riferimento alla tabella 9 e 10 che raggruppano i risultati ottenuti dalle simulazioni fluidodinamiche, sono stati confrontati i risultati che si sono ottenuti col modello matematico prestazionale sviluppato nel capitolo 2 (vedi figura 2.26), ed i risultati che si sono ottenuti con l’analisi computazionale. Sono riportate infatti la soluzione del modello matematico-prestazione in linea fucsia, mentre in giallo sono riportati i risultati ottenuti con le simulazione con modello turbolento di secondo ordine. Andando al coefficiente di flusso al punto di progetto si vede che la differenza ottenuta tra i due sistemi è solo di 15%. Questo è ottimo, visto che sono a confronto un modello di primo approssimazione che ha delle forti ipotesi semplificatrice iniziali, confrontato con le simulazioni in CFD che tengono conto anche di effetti secondari. Le linea in blu rappresenta invece la soluzione delle simulazioni fluidodinamiche laminari.
Per quanto riguarda i grafici di figura 4.21 – 4.22 rappresentano gli angoli di uscita del flusso calcolati con le simulazioni fluidodinamiche, ottenuti con la creazioni di piani perpendicolari al flusso nelle stazioni te e 2 (vedi figura 3.1), e gli angoli ottenuti con il modello matematico-prestazionale sviluppato nel capitolo precedente (vedi figura 3.28 – 3.29). Come si può notare le differenze sono più marcate nel caso della stazione te che nel caso della stazione 2, e questo è imputabile al fatto che alla stazione 2 si trova un flusso più uniforme, trovandosi più a valle dall’uscita dell’induttore. Comunque entrambe le stime sembrano ottime se si pensa che il modello teorico è al primo ordine e la mesh utilizzata per le simulazioni e non strutturata.
Densità del fluido 998 Kg/m3
Viscosità del fluido 1.003 e-03 Kg/m/s
Velocità di rotazione 314.16 rad/s
Diametro esterno 0.1818 m
Diametro condotto 0.1828 m
Tabella 10- Alcuni dati in ingresso al programma
Velocità d’ingresso Portata volumetrica Portata di massa ∆p totale (turb) ∆p statico (turb) Φ Ψ statico (lam) Ψ statico (turb) m/s m3/s Kg/s Pa Pa - - - 1.28 3.36e-02 33.53 346568 23013.7 0.0453 0.4258 0.28 1.43 3.75e-02 37.45 319154 214464.6 0.0506 0.3921 0.2635 1.57 4.12e-02 41.12 292218.4 198106.5 0.055 0.3590 0.2434 1.71 4.49e-02 44.79 266194.8 181912.3 0.0605 0.3271 0.2235 1.85 4.86e-02 48.46 244748.1 169508.3 0.0655 0.3007 0.2083 2 5.25e-02 52.38 220701.5 154237.3 0.0708 0.2712 0.1895 2.28 5.98e-02 59.72 166934.9 115150.4 0.0807 0.2051 0.1415
Tabella 11- Risultati ottenuti dalle simulazioni
Figura 4.20- Comparazione tra la soluzione del modello matematico prestazionale e le simulazioni fluidodinamiche
Figura 4.21- Angoli di flusso ottenuti col modello matematico prestazione e con le simulazioni fluidodinamiche per Φ pari a 0.055 al te
Note bibliografiche al capitolo 4
[1] G.S. Berntsen, M. Kjeldsen, R.E.A. Arndt, “Numerical modelling of sheet and tip vortex cavitation with Fluent 5”, CAV2001: session B5.006
[2] C-H. Choi, J-G. Noh, J-S. Kim, S-S. Hong, J. Kim, “Effect of a bearing strut on the performance of a turbopump inducer”, Journal of Propultion and Power, DOI: 10.2514/1.19753
[3] M. Oshima, I. Ichiki, “A study on performance prediction of centrifugal pumps”, 3rd ASME/JSME Joint Fluids Engineering Conference, July 18-23, 1999, San Francisco, California
