Testo n. 0 - Cognome e Nome: UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI PISA INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Testo n. 0 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 2.52 pC/m ³ e k = 1.66 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 2.02 C 3.82 D 5.62 E 7.42 F 9.22

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.57 V/m, k = 1.01 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.112 C 0.292 D 0.472 E 0.652 F 0.832

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.15, φ = 1.98 rad, z = 1.54. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.261 C 0.441 D 0.621 E 0.801 F 0.981

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.72 m e altezza h = 1.88 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.36 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 1.47 C 3.27 D 5.07 E 6.87 F 8.67

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 10.1×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.93 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 237 C 417 D 597 E 777 F 957

A 0 B 1.33 C 3.13 D 4.93 E 6.73 F 8.53

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.02 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.97 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.222 C −0.402 D −0.582 E −0.762 F −0.942

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.11, v _y = 1.28, v _z = 1.89. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.69 C 3.49 D 5.29 E 7.09 F 8.89

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.41 m e R _e = 2.97 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.21 nC/m ³ e b = 1.44 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.21 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 215 C 395 D 575 E 755 F 935

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.92 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.12 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 24.9 C 42.9 D 60.9 E 78.9 F 96.9

Testo n. 1 - Cognome e Nome:

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INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 2.39 pC/m ³ e k = 2.24 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.42 C 3.22 D 5.02 E 6.82 F 8.62

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.68 V/m, k = 1.73 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.192 C 0.372 D 0.552 E 0.732 F 0.912

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.78, φ = 1.43 rad, z = 1.06. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.152 C 0.332 D 0.512 E 0.692 F 0.872

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.35 m e altezza h = 1.44 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.21 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 1.06 C 2.86 D 4.66 E 6.46 F 8.26

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 13.3×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.98 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 246 C 426 D 606 E 786 F 966

A 0 B 1.79 C 3.59 D 5.39 E 7.19 F 8.99

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.35 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.94 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.164 C −0.344 D −0.524 E −0.704 F −0.884

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.14, v _y = 1.85, v _z = 1.64. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 2.11 C 3.91 D 5.71 E 7.51 F 9.31

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.17 m e R _e = 2.84 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.75 nC/m ³ e b = 1.45 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.74 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 105 C 285 D 465 E 645 F 825

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.16 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.42 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 14.9 C 32.9 D 50.9 E 68.9 F 86.9

Testo n. 2 - Cognome e Nome:

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INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 2.85 pC/m ³ e k = 2.20 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.73 C 3.53 D 5.33 E 7.13 F 8.93

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.54 V/m, k = 1.84 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.205 C 0.385 D 0.565 E 0.745 F 0.925

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.72, φ = 1.23 rad, z = 1.46. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.107 C 0.287 D 0.467 E 0.647 F 0.827

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.40 m e altezza h = 1.96 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.24 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 2.65 C 4.45 D 6.25 E 8.05 F 9.85

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 18.3×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.02 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 13.1 C 31.1 D 49.1 E 67.1 F 85.1

A 0 B 1.58 C 3.38 D 5.18 E 6.98 F 8.78

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.23 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.92 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.112 C −0.292 D −0.472 E −0.652 F −0.832

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.26, v _y = 1.15, v _z = 1.13. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.70 C 3.50 D 5.30 E 7.10 F 8.90

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.61 m e R _e = 2.19 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.28 nC/m ³ e b = 1.46 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.77 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 14.7 C 32.7 D 50.7 E 68.7 F 86.7

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.44 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.28 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 18.8 C 36.8 D 54.8 E 72.8 F 90.8

Testo n. 3 - Cognome e Nome:

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INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 1.98 pC/m ³ e k = 2.78 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 0.230 C 0.410 D 0.590 E 0.770 F 0.950

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.99 V/m, k = 1.65 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.184 C 0.364 D 0.544 E 0.724 F 0.904

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.30, φ = 1.92 rad, z = 1.25. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.153 C 0.333 D 0.513 E 0.693 F 0.873

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.84 m e altezza h = 1.75 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.98 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 14.4 C 32.4 D 50.4 E 68.4 F 86.4

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 10.7×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.21 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 233 C 413 D 593 E 773 F 953

A 0 B 1.64 C 3.44 D 5.24 E 7.04 F 8.84

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.45 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.21 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.171 C −0.351 D −0.531 E −0.711 F −0.891

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.05, v _y = 1.04, v _z = 1.49. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.48 C 3.28 D 5.08 E 6.88 F 8.68

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.27 m e R _e = 2.96 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.75 nC/m ³ e b = 1.43 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.18 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 272 C 452 D 632 E 812 F 992

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.36 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.52 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 23.3 C 41.3 D 59.3 E 77.3 F 95.3

Testo n. 4 - Cognome e Nome:

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INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 1.73 pC/m ³ e k = 2.63 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 0.157 C 0.337 D 0.517 E 0.697 F 0.877

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.26 V/m, k = 1.81 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.201 C 0.381 D 0.561 E 0.741 F 0.921

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.09, φ = 1.75 rad, z = 1.69. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.120 C 0.300 D 0.480 E 0.660 F 0.840

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.09 m e altezza h = 1.40 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 2.00 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 2.42 C 4.22 D 6.02 E 7.82 F 9.62

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 10.0×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.65 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 183 C 363 D 543 E 723 F 903

A 0 B 1.45 C 3.25 D 5.05 E 6.85 F 8.65

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.63 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.91 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.263 C −0.443 D −0.623 E −0.803 F −0.983

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.97, v _y = 1.00, v _z = 1.93. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 2.10 C 3.90 D 5.70 E 7.50 F 9.30

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.42 m e R _e = 2.29 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.98 nC/m ³ e b = 1.45 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.73 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 118 C 298 D 478 E 658 F 838

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.25 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.41 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 17.2 C 35.2 D 53.2 E 71.2 F 89.2

Testo n. 5 - Cognome e Nome:

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INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 1.90 pC/m ³ e k = 2.36 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.07 C 2.87 D 4.67 E 6.47 F 8.27

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.50 V/m, k = 1.81 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.201 C 0.381 D 0.561 E 0.741 F 0.921

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.20, φ = 1.86 rad, z = 1.62. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.264 C 0.444 D 0.624 E 0.804 F 0.984

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.47 m e altezza h = 1.67 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.71 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 2.45 C 4.25 D 6.05 E 7.85 F 9.65

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 12.2×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.36 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 201 C 381 D 561 E 741 F 921

A 0 B 1.49 C 3.29 D 5.09 E 6.89 F 8.69

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.36 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.80 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.130 C −0.310 D −0.490 E −0.670 F −0.850

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.28, v _y = 1.20, v _z = 1.56. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.75 C 3.55 D 5.35 E 7.15 F 8.95

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.90 m e R _e = 2.19 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.53 nC/m ³ e b = 1.91 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.13 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 22.3 C 40.3 D 58.3 E 76.3 F 94.3

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.95 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.12 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 25.6 C 43.6 D 61.6 E 79.6 F 97.6

Testo n. 6 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 1.03 pC/m ³ e k = 1.81 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 0.219 C 0.399 D 0.579 E 0.759 F 0.939

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.83 V/m, k = 1.27 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.141 C 0.321 D 0.501 E 0.681 F 0.861

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.81, φ = 1.28 rad, z = 1.95. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.193 C 0.373 D 0.553 E 0.733 F 0.913

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.31 m e altezza h = 1.08 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.15 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 1.86 C 3.66 D 5.46 E 7.26 F 9.06

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 11.7×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.70 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 273 C 453 D 633 E 813 F 993

A 0 B 1.33 C 3.13 D 4.93 E 6.73 F 8.53

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.42 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.84 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.163 C −0.343 D −0.523 E −0.703 F −0.883

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.20, v _y = 1.22, v _z = 1.46. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.71 C 3.51 D 5.31 E 7.11 F 8.91

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.56 m e R _e = 2.12 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.74 nC/m ³ e b = 1.76 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.63 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 10.3 C 28.3 D 46.3 E 64.3 F 82.3

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.64 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.86 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 24.9 C 42.9 D 60.9 E 78.9 F 96.9

Testo n. 7 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 1.23 pC/m ³ e k = 2.10 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 0.241 C 0.421 D 0.601 E 0.781 F 0.961

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.89 V/m, k = 1.06 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.118 C 0.298 D 0.478 E 0.658 F 0.838

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.68, φ = 1.91 rad, z = 1.47. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.119 C 0.299 D 0.479 E 0.659 F 0.839

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.50 m e altezza h = 1.18 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.28 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 1.60 C 3.40 D 5.20 E 7.00 F 8.80

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 17.8×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.12 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 23.8 C 41.8 D 59.8 E 77.8 F 95.8

A 0 B 1.31 C 3.11 D 4.91 E 6.71 F 8.51

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.28 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.77 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.273 C −0.453 D −0.633 E −0.813 F −0.993

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.56, v _y = 1.89, v _z = 1.61. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 2.44 C 4.24 D 6.04 E 7.84 F 9.64

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.98 m e R _e = 2.76 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.81 nC/m ³ e b = 1.20 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.27 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 220 C 400 D 580 E 760 F 940

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.38 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.22 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 15.6 C 33.6 D 51.6 E 69.6 F 87.6

Testo n. 8 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 2.86 pC/m ³ e k = 1.27 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.20 C 3.00 D 4.80 E 6.60 F 8.40

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.80 V/m, k = 1.57 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.175 C 0.355 D 0.535 E 0.715 F 0.895

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.99, φ = 1.92 rad, z = 1.12. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.130 C 0.310 D 0.490 E 0.670 F 0.850

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.89 m e altezza h = 1.98 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.80 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 16.0 C 34.0 D 52.0 E 70.0 F 88.0

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 17.9×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.45 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 27.6 C 45.6 D 63.6 E 81.6 F 99.6

A 0 B 1.15 C 2.95 D 4.75 E 6.55 F 8.35

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.72 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.08 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.192 C −0.372 D −0.552 E −0.732 F −0.912

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.09, v _y = 1.32, v _z = 1.94. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.70 C 3.50 D 5.30 E 7.10 F 8.90

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.37 m e R _e = 2.17 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.50 nC/m ³ e b = 1.26 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.72 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 25.2 C 43.2 D 61.2 E 79.2 F 97.2

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.48 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.99 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 22.8 C 40.8 D 58.8 E 76.8 F 94.8

Testo n. 9 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 2.00 pC/m ³ e k = 2.35 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.13 C 2.93 D 4.73 E 6.53 F 8.33

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.19 V/m, k = 1.88 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.209 C 0.389 D 0.569 E 0.749 F 0.929

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.89, φ = 1.12 rad, z = 1.01. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.111 C 0.291 D 0.471 E 0.651 F 0.831

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.69 m e altezza h = 1.69 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.00 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 1.84 C 3.64 D 5.44 E 7.24 F 9.04

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 16.1×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.82 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 155 C 335 D 515 E 695 F 875

A 0 B 1.54 C 3.34 D 5.14 E 6.94 F 8.74

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.62 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.68 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.184 C −0.364 D −0.544 E −0.724 F −0.904

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.03, v _y = 1.92, v _z = 1.65. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 2.09 C 3.89 D 5.69 E 7.49 F 9.29

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.76 m e R _e = 3.00 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.74 nC/m ³ e b = 1.07 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.94 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 230 C 410 D 590 E 770 F 950

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.11 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.15 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 25.5 C 43.5 D 61.5 E 79.5 F 97.5

Testo n. 10 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 1.88 pC/m ³ e k = 1.74 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.44 C 3.24 D 5.04 E 6.84 F 8.64

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.84 V/m, k = 1.92 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.214 C 0.394 D 0.574 E 0.754 F 0.934

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.37, φ = 1.34 rad, z = 1.60. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.220 C 0.400 D 0.580 E 0.760 F 0.940

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.55 m e altezza h = 1.22 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.49 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 2.71 C 4.51 D 6.31 E 8.11 F 9.91

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 16.7×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.23 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 25.1 C 43.1 D 61.1 E 79.1 F 97.1

A 0 B 1.32 C 3.12 D 4.92 E 6.72 F 8.52

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.23 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.80 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.263 C −0.443 D −0.623 E −0.803 F −0.983

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.18, v _y = 1.12, v _z = 1.38. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.63 C 3.43 D 5.23 E 7.03 F 8.83

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.79 m e R _e = 2.82 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.42 nC/m ³ e b = 1.71 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.50 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 102 C 282 D 462 E 642 F 822

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.18 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.71 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 22.3 C 40.3 D 58.3 E 76.3 F 94.3

Testo n. 11 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 1.38 pC/m ³ e k = 1.50 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.23 C 3.03 D 4.83 E 6.63 F 8.43

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.65 V/m, k = 1.30 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.145 C 0.325 D 0.505 E 0.685 F 0.865

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.41, φ = 1.09 rad, z = 1.67. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.224 C 0.404 D 0.584 E 0.764 F 0.944

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.25 m e altezza h = 1.01 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.04 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 1.37 C 3.17 D 4.97 E 6.77 F 8.57

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 15.9×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.60 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 139 C 319 D 499 E 679 F 859

A 0 B 1.32 C 3.12 D 4.92 E 6.72 F 8.52

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.10 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.26 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.277 C −0.457 D −0.637 E −0.817 F −0.997

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.05, v _y = 1.28, v _z = 1.63. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.65 C 3.45 D 5.25 E 7.05 F 8.85

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.28 m e R _e = 2.17 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.80 nC/m ³ e b = 1.40 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.52 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 107 C 287 D 467 E 647 F 827

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.60 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.20 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 20.3 C 38.3 D 56.3 E 74.3 F 92.3

Testo n. 12 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 2.77 pC/m ³ e k = 1.62 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 2.28 C 4.08 D 5.88 E 7.68 F 9.48

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.65 V/m, k = 1.06 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.118 C 0.298 D 0.478 E 0.658 F 0.838

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.02, φ = 1.84 rad, z = 1.31. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.249 C 0.429 D 0.609 E 0.789 F 0.969

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.66 m e altezza h = 1.14 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.72 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 2.38 C 4.18 D 5.98 E 7.78 F 9.58

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 17.5×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.81 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 130 C 310 D 490 E 670 F 850

A 0 B 1.50 C 3.30 D 5.10 E 6.90 F 8.70

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.85 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.56 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.217 C −0.397 D −0.577 E −0.757 F −0.937

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.36, v _y = 1.44, v _z = 1.38. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 1.98 C 3.78 D 5.58 E 7.38 F 9.18

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.46 m e R _e = 2.73 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.42 nC/m ³ e b = 1.74 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.39 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 118 C 298 D 478 E 658 F 838

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.70 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.82 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 25.8 C 43.8 D 61.8 E 79.8 F 97.8

Testo n. 13 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 1.26 pC/m ³ e k = 1.20 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.40 C 3.20 D 5.00 E 6.80 F 8.60

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.28 V/m, k = 1.73 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.192 C 0.372 D 0.552 E 0.732 F 0.912

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.30, φ = 1.17 rad, z = 1.03. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.261 C 0.441 D 0.621 E 0.801 F 0.981

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.94 m e altezza h = 1.23 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.05 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 2.69 C 4.49 D 6.29 E 8.09 F 9.89

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 17.8×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.54 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 107 C 287 D 467 E 647 F 827

A 0 B 1.33 C 3.13 D 4.93 E 6.73 F 8.53

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.26 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.46 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.188 C −0.368 D −0.548 E −0.728 F −0.908

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.73, v _y = 1.22, v _z = 1.22. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 2.09 C 3.89 D 5.69 E 7.49 F 9.29

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.58 m e R _e = 2.81 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.58 nC/m ³ e b = 1.02 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.25 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 256 C 436 D 616 E 796 F 976

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.03 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.71 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 17.2 C 35.2 D 53.2 E 71.2 F 89.2

Testo n. 14 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI PISA

INGEGNERIA GESTIONALE: CORSO DI FISICA GENERALE II Prova n. 1 - 27/10/2018

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r ` e la distanza dall’origine O, θ ` e l’angolo polare (colatitudine) e φ ` e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ ` e la distanza dall’asse polare, φ ` e l’azimut e z ` e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi` u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) In un sistema di coordinate polari sferiche, una distribuzione volumetrica di carica elettrica ha densit` a ρ = ρ 0 − kr, con ρ ₀ = 2.17 pC/m ³ e k = 2.55 pC/m ⁴ . Determinare il raggio, in m, della sfera centrata nell’origine che contiene una carica complessivamente nulla.

A 0 B 1.13 C 2.93 D 4.73 E 6.53 F 8.33

2) Si consideri il seguente campo elettrostatico, dato in coordinate cilindriche: E _ρ = kρ/(ρ ² + z ² ) ^3/2 , E _φ = 0, E z = 2h+kz/(ρ ² +z ² ) ^3/2 , dove h = 1.04 V/m, k = 1.28 V·m. Determinare la carica elettrica, in nC, presente nell’origine del sistema di coordinate.

A 0 B 0.142 C 0.322 D 0.502 E 0.682 F 0.862

3) Si consideri il punto P di coordinate cilindriche ρ = 1.59, φ = 1.17 rad, z = 1.38. Nel punto P determinare la proiezione del versore u _ρ delle linee coordinate ρ sul versore u _θ delle linee coordinate θ.

A 0 B 0.115 C 0.295 D 0.475 E 0.655 F 0.835

4) All’interno di un cilindro di raggio R = 1.88 m e altezza h = 1.89 m, ` e presente una distribuzione volumetrica di carica elettrica con densit` a dipendente dalla distanza dall’asse del cilindro e dall’azimut, definito scegliendo come asse polare l’asse del cilindro, secondo la seguente legge ρ _c = kρ cos(φ) con k = 1.68 µC/m ⁴ . Considerando separatamente la carica positiva e quella negativa all’interno del cilindro, determinare la carica positiva, in µC, complessivamente presente dentro al cilindro.

A 0 B 14.1 C 32.1 D 50.1 E 68.1 F 86.1

5) Su tre vertici di un tetraedro regolare di spigolo di lunghezza a = 10.4×10 ⁻³ m ` e presente una carica elettrica puntiforme q = 1.93 pC. Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nel quarto vertice.

A 0 B 213 C 393 D 573 E 753 F 933

A 0 B 1.60 C 3.40 D 5.20 E 7.00 F 8.80

7) All’interno di una sfera di raggio r ₀ = 1.98 m ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ(r) = ρ ₀ ^r2 _r

dove r ` e la distanza dal centro della sfera e ρ 0 = 1.40 C/m <sup>3</sup> . Determinare il valore della densit` a superficiale di carica σ uniforme, in C/m ² , da disporre sulla superficie della sfera affinch` e il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo.

A 0 B −0.194 C −0.374 D −0.554 E −0.734 F −0.914

8) Fissati un sistema di coordinate cartesiane e un corrispondente sistema di coordinate cilindriche, nel punto di coordinate cartesiane (1,1,1) ` e dato il vettore v = (v x , v y , v z ) con componenti cartesiane v x = 1.80, v _y = 1.69, v _z = 1.32. Determinare la componente radiale v _ρ del vettore v.

A 0 B 2.47 C 4.27 D 6.07 E 7.87 F 9.67

9) In un sistema di coordinate sferiche, nella regione individuata dalla relazione R i ≤ r ≤ R _e , con R i = 1.06 m e R _e = 2.24 m, ` e data una densit` a volumetrica di carica elettrica ρ _c (r) = a + br, con a = 1.05 nC/m ³ e b = 1.28 nC/m ⁴ . Determinare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , alla distanza r = 3.44 m dall’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 107 C 287 D 467 E 647 F 827

10) In un sistema di coordinate polari sferico, nella regione individuata dalle relazioni r ≤ r 0 , 0 ≤ θ ≤ π, e 0 ≤ φ ≤ ^π ₂ , con r 0 = 1.63 m, ` e data una distribuzione volumetrica con densit` a uniforme ρ 0 = 1.07 nC/m ³ . Calcolare il modulo del campo elettrico, in NC ⁻¹ , nell’origine del sistema di riferimento.

A 0 B 16.8 C 34.8 D 52.8 E 70.8 F 88.8