Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna
Foglio 4. (21–25 maggio 2007)
Esercizio 1. La durata delle lampadine di una certa marca segue approssimati- vamente una distribuzione normale con media µ = 900 giorni e varianza σ2 = 40000 (giorni)2.
a) Qual `e la probabilit`a che una lampadina scelta a caso duri meno di 1210 giorni?
[Φ(310/200) = Φ(1.55) ≈ 0.94]
b) Qual `e la probabilit`a che una lampadina scelta a caso duri pi`u di 3 anni (3·365 = 1095)? [1 − Φ(195/200) = 1 − Φ(0.975) ≈ 1 − 0.83 = 0.17]
c) Qual `e la probabilit`a che una lampadina scelta a caso duri tra 1 e 2 anni (2 · 365 = 730)? [Φ(−170/200) − Φ(−535/200) = Φ(−0.85) − Φ(−2.675) = Φ(2.675) − Φ(0.85) ≈ 0.996 − 0.802 = 0.194]
Esercizio 2. Un generatore di numeri casuali produce numeri che sono distribuiti
“uniformemente nell’intervallo [0, 1]”. Indichiamo con X la variabile casuale che corrisponde a uno dei numeri prodotti. Allora X `e una variabile casuale continua, detta Uniforme su [0, 1], la cui densit`a data da
fX(x) =
(1 se 0 ≤ x ≤ 1 0 altrimenti .
Si mostri che E(X) = 1/2, Var(X) = 1/12 e che la funzione di ripartizione vale F (t) = t per t ∈ [0, 1]. [R1
0 x dx = 12; R1
0 x2dx = 13; Rt
0 dx = t]
Esercizio 3. Sia X una variabile casuale continua la cui densit`a vale fX(x) =
(λ · e−λx per x ≥ 0 0 per x < 0 ,
dove λ ∈ (0, ∞). Una tale variabile viene detta Esponenziale di parametro λ e ci`o si indica con X ∼ Exp(λ). Tale variabile rappresenta tipicamente il tempo di attesa prima che si verifichi un certo evento casuale (terremoto, crisi finanziaria, . . . ). `E in un certo senso la “versione continua” della variabile geometrica.
a) Si mostri che
E(X) = 1
λ Var(X) = 1
λ2 . [R∞
0 x · (λe−λx) dx = x · (−e−λx)
∞ 0 −R∞
0 (−e−λx) dx = 0 − (−1λ) = λ1] [R∞
0 x2(λe−λx) dx = x2(−e−λx)
∞ 0 −R∞
0 2x(−e−λx) dx = 2λR∞
0 x(λe−λx)dx = λ22]
1
2
b) Si mostri che, per ogni scelta di t, s > 0, vale la seguente relazione (assenza di memoria):
P (X > t + s | X > t) = P (X > s) . [R∞
a λe−λxdx = e−λa]
Esercizio 4. Si sa che ogni giorno a Padova vengono effettuate in media 17.5 tele- fonate in cui il numero di telefono viene composto in modo errato. Qual `e la prob- abilit`a che in un mese (30 giorni) i numeri di telefono composti in modo errato siano al pi`u 500? (Si usi l’approssimazione normale e la correzione di continuit`a) [P (Po(525) ≤ 500) = P (Po(525) ≤ 500.5) = P Po(525)−525√
525 ≤ −1.07 ≈ Φ(−1.07) = 1 − Φ(1.07) ≈ 1 − 0.858 = 0.142]
Esercizio 5. Abbiamo visto che la probabilit`a che in un’estrazione del Lotto esca il 79 (o qualunque altro numero tra 1 e 90) sulla ruota di Venezia vale 1/18. Qual `e la probabilit`a che nelle prossime 150 estrazioni il numero 79 esca almeno 6 volte? (Si usi l’approssimazione normale e la correzione di continuit`a) [P (B(150, 1/18) ≥ 6) = P (B(150, 1/18) ≥ 5.5) = P B(150,1/18)−150/18√
150·181·17
18
≥ −1.01 ≈ 1 − Φ(−1.01) = Φ(1.01) ≈ 0.84]
Esercizio 6. Il consumo energetico giornaliero di un’abitazione `e una variabile ca- suale con media 13 kWh e varianza 9 kWh2. Una centrale che fornisce energia elet- trica a un complesso di 2000 abitazioni ha una disponibilit`a energetica di 26415 kWh al giorno. Qual `e la probabilit`a che domani ci sia un blackout, cio`e che la richi- esta di energia superi la disponibilit`a? [P (N (26000, 18000) > 26415) = P N (0, 1) >
26415−26000
134.16 = 1 − Φ(3.09) ≈ 0.001]
Esercizio 7. Sia X1, X2, . . . una successione di variabili casuali i.i.d. con distribuzione Exp(λ). Si consideri la statistica campionaria Y definita da
Y = X1+ X2+ . . . + Xn− n · λ1 a ·√
n ,
dove a `e una costante positiva. Per quale valore di a tra {√1
λ,λ1,λ12, λ} la distribuzione di Y `e, per n grande, approssimativamente quella di una Normale Standard? [λ1]
