COMPITO di ANALISI MATEMATICA 19/09/2019

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 19/09/2019

I M 1) Calcolare    .

  

# "  3 #  $3

&  3 "  3

# "  3 #  $3 # #  #3  $3  $ # &  3 &  3 &  3 #  $3

&  3 "  3 œ &  &3  3  " œ %  '3 œ #  $3 œ #  $3 #  $3† œ

      

  

œ "!  #3  "&3  $ œ "$  "$3 œ "  3 œ # † " "

%  * "$  #  3# œ

œ # † cos( sen ( . Quindi:

%1  3 %1

   

         

# "  3 #  $3

&  3 "  3 œ "  3 œ ^% # † cos ( 5 # sen ( 5 # Ÿ Ÿ )1  #1  3 )1  #1 ß ! 5 "

Per cui - œ" ^% # †cos ( sen (  e - œ# ^% # †cos "& sen"& .

)1  3 )1 )1  3 )1

I M 2) Determinare se la funzione risulta differenzia-

sen 0 Bß C œ

BC

B  C Bß C Á !ß !

! Bß C œ !ß !

 





     

   

#

# #

bile nel punto  !ß ! .

Avremo sen sen ed essendo:

lim lim

   BßC Ä !ß!    BßC Ä !ß!

# # # #

# # # # #

   

 

BC BC B C

B  C œ † B  C

BC

lim lim lim lim

   BßC Ä !ß!    BßC Ä !ß!

# # # # % # #

# >Ä! # # # Ä! #

sen sen cos sen

mentre

 

 

BC > B C

BC œ œ " Ê œ

> B  C ⁴

4 * *

4

œ lim œ !  "

4Ä!

# # # # #

4 cos *sen * con convergenza uniforme in quanto cos *sen * , risulta

   BßC Ä !ß!lim

#

# #

sen  BC e quindi   è continua in  . Risulta poi:

B  C œ " † ! œ ! 0 Bß C !ß !

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! 2 † ! " !

`B !ß ! œ  2   œ 2  !   ! † 2 œ 2 œ ! à

 

lim lim lim

2Ä! 2Ä! 2Ä!

#

# #

sen

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! ! † 2 " !

`C !ß ! œ  2   œ !  2   ! † 2 œ 2 œ ! Þ

 

lim lim lim

2Ä! 2Ä! 2Ä!

#

# #

sen Per la differenziabilità dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se

lim lim

   BßC Ä !ß!    BßC Ä !ß!

# # # #

# # # # # # # # #

     

    

sen BC " sen BC B C

B  C  !  ! † œ † œ !

B  C BC B  C B  C

ovvero se, essendo sen e passando per l'altro a coordinate polari si ha:

   BßC Ä !ß!lim

#

#

 

  BC BC œ "

lim lim lim

   BßC Ä !ß!

# # % # #

# # # # Ä! $ Ä!

# #

B C

B  C B  C Ê œ œ !

  ^{4 4}

4 * *

4 4 * *

cos sen

cos sen e la convergen- za è uniforme e quindi la funzione è differenziabile.

I M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ B C  BC  #C œ !  ^{$ #} ed il punto P! œ "ß "  che la soddisfa, determinare derivata prima e seconda della funzione implicita B Ä C B  definibile con esso e l'espressione del polinomio di Taylor di II grado nel punto opportuno.

Da f0Bß Cœ $B C  C à B  #BC  # ^{# # $}  otteniamo f0   "ß " œ %à " e quindi:

C " œ % œ  %

"

w  . Avremo poi:

‡Bß Cœ 'BC $B  #C ʇ "à " œ ' &

$B  #C #B & #

 # ^#    e quindi, essendo:

C œ  0  #0 C  0 C C " œ  œ # Þ

0 "

'  "! †  %  #  %

ww ww ww w ww w ww

BB BC CC #

Cw

  #

     

, otteniamo

Quindi T Bà " œ "   % B  "  # B  " œ "  % B  "  B  " .

#     # #    #

I M 4) Data 0 Bß C œ B C  $B  $B  #C  ^{$ #} e T œ "ß  #!  , calcolare W@0 !ß ! , dove @ rappresenta la direzione che dall'origine  !ß ! porta a .T_!

0 Bß C œ B C  $B  ^{$ #} è una funzione differenziabile a Bß C −  ‘^#. Quindi H 0_@  !ß ! œ f0 !ß ! † @.

Risulta f0 B ß Cœ C  'B  $^$ à $BC  # Ê f0^#    !ß ! œ $ß  #.

Essendo     risulta e quindi avremo:

 

T @ œ " ß  #

! œ "  % œ &

& &

 

W_@0 !ß ! œ !ß ! " ß  # œ (

  f0 † @ œ $ß  # † 

& & &

       .

II M 1) Risolvere il problema

Max/min s.v.:





   



0 Bß C œ C B  "

B  C  " Ÿ ! C Ÿ !

# .

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, la regione ammissibile X è un insieme compatto e quindi sicuramente esistono valori massimi e minimi.

Dato che in X risulta C Ÿ ! e B Ÿ ", sarà anche 0 Bß C   ! a Bß C −  ,   X.

Usando le condizioni di Kuhn-Tucker, formiamo la funzione Lagrangiana:

ABß Cß- -_"ß _#œCB  C -_"B  C  " ^#  -_# C . 1) caso -_" œ !ß-_# œ ! À

 

 

 

 

 

 

 

A A

wB wC

œ C œ ! œ B  " œ !

Ê

B œ "

C œ ! B  C  " Ÿ !

C Ÿ !

B  C  " Ÿ ! C Ÿ !

Bà C "à !

# # ; ma ‡ œ‡  œ ! " che ci indica un

" !

 

punto di sella, da ricontrollare comunque in quanto  "à ! si trova sulla frontiera di .X 2) caso -_" Á !ß-_# œ ! À

 

 

 

 

 

 

 

A -

A -

- -

- - -

wB "

wC "

"

"

" " "

œ C  # B œ ! œ B  "  œ !

Ê

B œ "  C œ " 

"   # "  C œ B  "

C Ÿ !

 "

 " œ !

C Ÿ !

#

#

#

 

    che porta all'equazione:

-_"^# #-""  " #-" #-_"^# œ $-^#_"  %-" œ-"$-" % œ ! da cui due soluzioni:

 

 

 

 

 









 B œ "

C œ

B œ  C œ  0

-^" œ ! -_"

C Ÿ !à œ  !

C Ÿ !à

vera vera

già visto e possibile punto di Max.

"

)$

% *

$

3) caso -_" œ !ß-_# Á! À







 A

A -

wB

wC #

œ C œ !

œ B  "  œ !

C œ ! C œ ! 0 Bà ! œ !

B  C  " Ÿ !^#

. Ma se risulta   ovvero funzione costante.

4) caso -_" Á!ß-_# Á! À

 

 

 

 

 

 

 

A -

A - -

- -

wB "

wC " #

"

#

œ C  # B œ !

œ B  "   œ ! C œ !

Ê

œ !

œ  #  ! C œ B  "^# B œ  "

C œ !

possibile punto di Min e

già visto. Per il Teorema di Weierstrass quindi è il punto di Massimo,









 

- -

"

#

œ !

œ !  à " )

$ *

B œ "

C œ !

con 0 œ $# mentre  "à ! , e tutti i punti dell'asse C œ !, sono punti di mini-

 à " ) #(  

$ *

mo, con 0Bà !œ !.

II M 2) Determinare, al variare del parametro , la natura dei punti stazionari della funzione5 0 Bß C œ B  5BC  C  ^{$ #}.

Per analizzare la natura dei punti stazionari della funzione applichiamo le condizioni del primo e del secondo ordine. Per le condizioni del primo ordine poniamo:

f Ê 0 œ $B  5C œ ! Ê

0 œ #C  5B œ !

$B  B œ B $B  œ !

C œ B 0 Bß C œ   







 

w #

Bw C

# 5 5

# #

5

#

# #

e quindi otte-

niamo due punti stazionari: T œ"  !à ! e T œ# 5 à 5  ' "# Þ

# $

Per le condizioni del secondo ordine costruiamo la matrice Hessiana: ‡Bß C œ  'B  5.

 5 #

Essendo ‡ !à ! œ !  5, ed essendo  ‡ œ  5  ! il punto !à ! è certa-

 5 # ^#

# T œ_"  

mente un punto di sella se 5 Á !; se 5 œ ! abbiamo 0 Bß C œ B  C  ^{$ #} e dato che 0 Bß !  !  per B  ! mentre 0 Bß !  !  per B  !, anche per 5 œ ! il punto T œ"  !à ! è un punto di sella. Abbiamo poi:

‡ ‡

5 5  ‡

' "# œ 5  5 T

 5 #

5

5 5

# $ #

" #

# # # #

à    

, ed essendo   œ   ! #  ! il punto è certamente

œ    !

; 2

un punto di minimo se 5 Á !. Se fosse 5 œ ! si riottiene il caso già studiato del punto  !ß ! .

II M 3) Risolvere il problema di Cauchy:



  

 

C  $C  #C œ B  / C ! œ !

C ! œ "

ww w B

w

.

Determiniamo anzitutto la soluzione generale dell'equazione omogenea C  $C  #C œ !^{ww w} . Il suo polinomio caratteristico -^# $  # œ !- ha soluzioni - œ " e - œ # per cui la soluzio- ne generale dell'equazione omogenea sarà C B œ - /  - / Þ  " B # #B

Per trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea possiamo considerare separa- tamente il fattore ed il fattore .B /^B

Per il fattore , annichilato dall'operatore B H^#, scegliamo una soluzione particolare del tipo

C œ +B  ,! C œ +w C œ !ww

! !

. Derivando abbiamo e per cui, sostituendo, otteniamo:

!  $+  #+B  #, œ B #+ œ " C œ B  Þ

#,  $+ œ !

e quindi  Ê + œ e quindi

, œ + œ

" $

# %



"

$# $

# %

!

Dato che il fattore è presente anche nella soluzione generale dell'omogenea, per trovare una/^B soluzione particolare dell'equazione non omogenea relativa a questo fattore dovremo considerare la soluzione - œ " come doppia e quindi ipotizzare, come soluzione particolare, una soluzione del tipo C œ 7/  5B/_! ^{B B}. Derivando:

C œ 7/  5/  5B/ œ 7  5 /  5B/_!^{w B B B}   ^{B B};

C œ 7  5 /  5/  5B/ œ 7  #5 /  5B/_!^ww   ^{B B B}   ^{B B}. Sostituendo avremo:

7  #5 /  5B/  $ 7  5 /  5B/ ^{B B}   ^{B B} # 7/  5B/ ^{B B}œ /^B da cui:

7  #5  $7  $5  #7 /  5  $5  #5 B/ œ  5/ œ / ^B   ^{B B B} Ê 5 œ  "Þ Quindi C œ  B/_! ^B.

La soluzione generale dell'equazione non omogenea sarà quindi:

C B œ - /  - /  " B # #B B " $  B/B

# % .

Per soddisfare le condizioni C ! œ ! , essendo     C ! œ "

"

#

  

w C B œ - /  #- /^w " ^B # ^#B  B  " /^B

otteniamo il sistema: C ! œ œ !  œ   da

C ! œ  " œ " Ê œ Ê œ  $

œ

  

-  -  -  -

-  #-  -  #-

- -

" # " #

" # " #

"

#

$ $

% %

w " $

# #

*

%

cui la soluzione del problema: C B œ   $/  * /  B " $  B/ .

% # %

B #B B

II M 4) Calcolare   d d , dove   :   .



B C B C^# œ Bß C −‘² B Ÿ C à B  C Ÿ "^{# #}

Conviene calcolare l'integrale per sostituzione in coordinate polari cos

B œ sen C œ

3 *

3 * ed avremo:

     



d d cos sen d d cos sen d d

B C B C œ^{# # #} † † œ ^{% #} † œ

! !

" "

1 1

1 1

% %

$ $

% %

3 * 3 * 3 3 * 3 * * 3 *

œ " † œ " † œ  " œ

& & &

₁   ₁ ₁  

1 1 1

% % %

$ $ $

% % %

3^{& #}* * * ^#* * * ^#* *

!

"

cos sen d cos sen d cos d cos

œ  " " œ  "  "  " œ " † " œ "

&$  "&  # #  "& # "& #

       

cos^$ .

$ $

* 1 1

%

$

%