Testi
(1) Un’urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilit`a che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno una bianca; (e) rossa bianca e nera nell’ordine e senza ordine.
(2) Supponete di avere tre carte di cui una presenta entrambi i lati rossi, una entrambi neri e l’ultima uno rosso ed uno nero. Queste carte sono riposte in un cappello e senza guardare si estrae casualmente una carta che presenta il colore rosso da un lato. Qual `e la probabilita che l’altro lato sia nero?
(3) Per determinare la presenza di una certa malattia si effettua un’analisi del sangue. Il test `e efficace nell’individuare la malattia nel 99.9% dei casi, mentre se una persona `e sana il 0.2% della volte da’
esito positivo (falso positivo). Se la prevalenza della malattia sulla popolazione `e dello 0.5%, qual `e la probabilit`a che una persona sia positiva al test? Se `e positiva al test qual `e la probabilit`a che sia effettivamente malata? Supponete ora che l’incidenza della malattia `e del 100% annuo, cio`e ogni anno aumenta del 100 % rispetto al precedente. Qual `e la probabilit`a che tra due anni che una persona positiva al test sia effettivamente malata?
(4) Si dispongono di due freccette con le quali si vuole colpire un bersaglio. La probabilit`a di centrare il bersaglio con il primo e il secondo tiro `e rispettivamente pari a 0.5 e 0.6. Supponendo i tiri indipendenti tra loro, calcolare la probabilit`a di: non fare nessun centro, 1 solo centro e almeno 1 centro.
(5) Date due urne I e II, la prima contiene 3 palline bianche e 2 rosse, la seconda 2 bianche e 4 rosse. Se l’estrazione dalle due urne `e equiprobabile, rispondere alle seguenti domande.
a) Qual `e la probabilit`a di estrarre una pallina bianca?
b) Sapendo che `e stata estratta una pallina bianca, qual `e la probabilit`a che essa provenga dalla prima urna?
(6) Studiare le seguenti funzioni (determinare dominio, intersezione con gli assi cartesiani, eventuali sim- metrie, segno, limiti a ±∞ e nei punti in cui non sono definite)
a) y =4x2+ 3x
2x + 2 ; b) y =6x2− x − 1
(x + 2)2 c) y =r x + 3 x2− 1
1
Soluzioni (1) a) Utilizzando la formula della moltiplicazione:
P (3 rosse) = P (prima rossa)P (seconda rossa|prima rossa)P (terza rossa|prima e seconda rossa)
= 8 20
7 19
6 18. In modo analogo:
b) P (3 bianche) = 203 192 181. c) Osserviamo che
P (2 bianche 1 nera) = P (1a bianca, 2a bianca, 3a nera) + P (1a bianca, 2a nera, 3a bianca) +P (1a nera, 2a bianca, 3a bianca) Avremo, sempre per il teorema della moltiplicazione
P (1a bianca, 2a bianca, 3a nera) = P (prima bianca)P (seconda bianca|prima bianca)
×P (terza nera|prima e seconda bianca) = 3 20
2 19
9 18. Lo stesso risultato vale per gli altri casi per cui
P (2 bianche 1 nera) = 3 3 20
2 19
9 18
d) Conviene usare la relazione P (almeno 1 bianca ) = 1 − P (nessuna bianca), e nuovamente per il teorema della moltiplicazione avremo;
P (nessuna bianca) = 17 20
16 19
15 18, dove 17 rappresenta il numero di palline non bianche.
e) Se le cerchiamo nell’ordine,
P (rossa, bianca, nera) = 8 20
3 19
9 18, se le cerchiamo senz’ordine,
P (rossa bianca e nera) = 8 20
3 19
9 186
Dato che 6 sono i modi di ordinare 3 oggetti distinti: l’evento A = { bianca rossa e nera senza ordine } `e dato da
A = {(R, B, N ), (R, N, B), (N, B, R), (N, R, B), (B, R, N ), (B, N, R)}.
Utilizzando il diagramma ad albero si poteva rispondere alle domanda precedenti senza fare troppi conti.
(2) Si indichiamo con RR e con RN e N N le tre carte, P (RN |R) = P (R|RN )P (RN )
P (R) = P (R|RN )P (RN )
P (R|RN )P (RN ) + P (R|RR)P (RR) + P (R|N N )P (N N )
=
1 2 1 3 1 2 1
3 + 113+ 013 =1 3,
dove si `e usato la formula di Bayes e il teorema della probabilit`a totale. Alla stessa conclusione si arrivava se si considerava lo spazio ridotto: SR = {RN, RR, RR} dove l’evento RR va contato due volte poich´e la carta RR, all’estrazione dal cappello, pu`o presentare in due modi il lato rosso.
(3) Indichiamo con M l’evento il soggetto `e malato e con E il test ha dato esito positivo. Viene richiesto di calcolare
P (M |E) = P (E|M )P (M )P (E)
P (E|M )P (M ) + P (E|Mc)P (Mc)= 0.005 0.99
0.005 0.99 + 0.995 0.02 = 0.19,
dove si `e ancora una volta fatto uso della formula di Bayes e del teorema della probabilit`a totale.
(4) Per i = 1, 2 indichiamo con Ai= {la i-esima freccia raggiunge il bersaglio}. Osserviamo che l’evento A = {nessuna freccia coplisce il bersaglio} = Ac1∩ Ac2,
per cui ricordando che l’ipotesi di indipendenza vale anche se si considerano gli insiemi complementari, P (A) = P (Ac1∩ Ac2) = P (Ac1)P (Ac2) = 0.5 0.4 = 0.2.
L’insieme B = {una sola freccia colpisce il bersaglio} `e composto dall’unione dell’evento A1∩ Ac2, cio`e la prima freccia colpisce il bersaglio e la seconda no, con l’evento Ac1∩ A2, cio`e la prima freccia colpisce il bersaglio e la seconda no, quindi
B = {una sola freccia colpisce il bersaglio} = (A1∩ Ac2) ∪ (Ac1∩ A2) = (B1∪ B2), dato che gli insiemi Bi sono disgiunti, per l’assioma (A3)
P (B) = P (B1) + P (B2) = P (A1)P (Ac2) + P (Ac1)P (A2)
= 0.5 0.4 + 0.5 0.6 = 0.5 Se C = {almeno 1 freccia ragguinge il bersaglio} allora
P (C) = 1 − P (Cc) = 1 − P (A) = 1 − 0.2 = 0.8
(5) a) Una pallina bianca pu`o essere pescata dalla prima o dalla seconda urna: Se indichiamo con B = { pesco una pallina bianca } e con I = { estraggo dalla prima urna } e II = { estraggo dalla seconda urna } avremo
B = (B ∩ I) ∪ (B ∩ II) e per il teorema della probabilit`a totale,
P (B) = P (B|I)P (I) + P (B|II)P (II) = 3 5 1 2 +2
6 1 2 = 7
15
dove si sono utilizzati il fatto che 1 = P (I) + P (II) = 2P (I) dato che P (I) = P (II) e la definizione classica di probabilit`a, per calcolare P (B|I) e P (B|II) (l’estrazione dalla prima e o seconda urna `e di tipo casuale.)
b) Per calcolare la probabilit`a a posteriori P (I|B) si utilizza la formula di Bayes:
P (I|B) = P (B|I)P (I)
P (B) =3/10 7/15 = 9
14.
(6) a) Il dominio `e A = {x ∈ R : 2x + 2 6= 0} = R \ {−1}; la funzione non gode di simmetrie dato che il dominio non `e simmetrico rispetto all’origine. Determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani:
f (0) = 0
inoltre f (x) = 0 solo se 0 = 4x2+ 3x = x(4x + 3) per cui quando x = 0 oppure x = −3/4, per cui le intersezioni con gli assi sono (0; 0) e (−3/4; 0). Dato che
segno (f ) = segno (4x2+ 3x) × segno (2x + 2) per cui f (x) > 0 se x ∈] − 1, −3/4[∪]0, +∞[.
Calcoliamo i limiti:
x→∞lim
4x2+ 3x 2x + 2 = lim
x→∞
6 x 6 x
4x + 3/x
2 + 2/x = +∞ − 0 2 + 0 = +∞
e in modo analogo
x→−∞lim
4x2+ 3x 2x + 2 = −∞
Inoltre
lim
x→−1+
4x2+ 3x 2x + 2 = +∞
dato che f `e positiva in un intorno destro di −1. Siccome f ha segno negativo in un intorno sinistro di
−1, avremo che
lim
x→−1−
4x2+ 3x
2x + 2 = −∞.
b) Il dominio `e A = {x ∈ R : (x + 2)26= 0} = R \ {−2}; la funzione non gode di simmetrie dato che il dominio non `e simmetrico rispetto all’origine. Determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani:
f (0) =−1 4
inoltre f (x) = 0 solo se 0 = 6x2− x − 1 = 0 cio`e, utilizzando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, quando x = 1/2 oppure x = −1/3. Le intersezioni con gli assi cartesiani sono quindi (0; −1/4), (1/2; 0), (−1/3; 0). Dato che
segno (f ) = segno (6x2− x − 1) × segno ((x + 2)2),
siccome il denominatore ha sempre segno positivo, avremo f (x) > 0 se x ∈] − ∞, −1/3[∪]1/2, +∞[.
Calcoliamo i limiti:
x→∞lim
6x2− x − 1 (x + 2)2 = lim
x→∞
6 − 1/x − 1/x2 (1 + 2/x)2 = 6 e in modo analogo
x→−∞lim
6x2− x − 1 (x + 2)2 = 6 Inoltre
lim
x→−2
6x2− x − 1 (x + 2)2 = +∞
dato che f `e positiva in un intorno destro di −2.
c) Il dominio `e
A =n
x ∈ R : x + 3 x2− 1 ≥ 0o
.
Studiamo allora il segno della funzione f (x) =xx+32−1. Tale funzione `e definita se x 6= ±1 inoltre segno (f ) = segno (x + 3) × segno (x2− 1)
per cui f (x) ≥ 0 se x ∈ A := [−3, −1[∪]1, +∞[ che `e anche il dominio di√
f . Osserviamo inoltre che tale funzione `e sempre non negativa. Determiniamo le intersezione con gli assi: dato che 0 6∈ A, non ci sono intersezioni con l’asse y; imponendo
0 =p f (x)
che `e vera se e solo se f (x) = 0, cio`e se e solo se x = −3, quindi (−3; 0) `e l’unica intersezione con gli assi cartesiani. Calcoliamo i limiti:
x→+∞lim
r x + 3
x2− 1 = lim
x→+∞
s
1/x − 3/x2 1 − 1/x2 =
s
x→+∞lim
1/x − 3/x2 1 − 1/x2 = 0.
per il teorema della composizione dei limiti. Il limite a −∞ non esiste dato che la funzione non `e definita se x < −3. Inoltre f (x) > 0 in un intorno destro di 1 e in uno sinistro di −1 per cui
lim
x→−1−
r x + 3
x2− 1 = lim
x→1+
r x + 3
x2− 1 = +∞.
