0 Fdx kx dx 1 kx

A. A. 2009-2010 - 7 luglio 2010 Esercizio 1

Un punto materiale puo` muoversi in una dimensione soggetto ad una forza

F = − kx

³. Trovare:

a) l’energia potenziale U(x) relativa a tale forza, ponendo come zero dell’energia il punto x=0;

b) determinare l’espressione dell’energia cinetica applicando il teorema omonimo e supponendo che il punto parta da x=-a con velocita` nulla nel verso x positivo;

c) dimostrare che il moto e` limitato;

d) dimostrare che l’energia meccanica E e` costante.

Soluzione

a) L’energia potenziale e`

( ) ( )

⁴

0 3

0

4

0 Fdx kx dx 1 kx

U x U

x

x

= − − =

−

=

− ∫ ∫

^.

b) Il teorema dell’energia cinetica:

K

_f

− K

_i

= W

. Nel nostro caso l’energia cinetica iniziale e`

nulla: ^{3 4 4}

4 1 4

1 kx ka dx

kx W

K

x

a

f

= = ∫ − = − +

−

.

c) Imponendo all’espressione precedente di essere non negativa (l’energia cinetica non e` mai negativa),

− x

⁴

+ a

⁴

≥ 0

, ne segue che

− a ≤ x ≤ a

^.

d) L’energia meccanica e` la somma dell’energia cinetica e potenziale:

4 4

4 4

4 1 4

1 4

1 4

1 kx ka kx ka

U K

E = + = − + + =

e risulta indipendente dal tempo.

Esercizio 2

Un gas ideale esegue una trasformazione reversibile in cui la pressione varia linearmente con il volume.

Si determini:

a) il lavoro scambiato dal gas nella trasformazione da uno stato iniziale (pA, VA) ad uno stato finale (pB, VB) , in cui le pressioni ed i volumi si suppongono noti;

b) il calore scambiato dal gas nella stessa trasformazione.

Soluzione

a) il modo piu` semplice di calcolare il lavoro e` usando l’interpretazione geometrica. Nel nostro caso e` l’area del trapezio che si ottiene proiettando i punti A e B sull’asse del volume:

(

_{B A}

)

B

A

p V V

L = p + −

2

^.

b) Il calore si trova mediante il 1° principio della termodinamica, sommando il calore alla variazione di energia interna:

p

^A

p

^B

( V

_B

V

_A

) U ( ) T

_B

U ( ) T

_A

L U L

Q = + ∆ = = + − + −

2

^e

tenendo conto che quest’ultima, per un gas ideale, dipende solo dalla temperatura. Si tratta quindi di trovare le temperature iniziale e finale a partire dai dati e quindi calcolare l’energia interna:

R V

T

_B

= p

^{B B ,}

U ( ) T

B

= C

V

T

B e similmente per lo stato A. Abbiamo infine:

(

_{B A}

)

_V

(

_{B A}

)

^{A B}

(

_{B A}

)

^V

(

_{B B A A}

)

B

A

p V p V

R V C

p V T p

T C V

p V

Q = p + − + − = + − + −

2 2

A

B p

V

Due corpi celesti di massa

M = 1 . 90 ⋅ 10

²⁷

kg

^e

m = 5 . 68 ⋅ 10

²⁶

kg

orbitano attorno al centro di massa comune. L’equazione dell’orbita della massa ridotta e`

1 ( 1 cos θ )

e

r = p +

con semiasse

maggiore

a = 6 . 49 ⋅ 10

⁸

km

ed eccentricità` e=0.05.

a) Si esprima p in funzione di a, e;

b) si scrivano le equazioni delle orbite dei due corpi in funzione di a, e, M, m.

Soluzione

a) Troviamo innanzitutto l’espressione di p per la massa ridotta, in funzione di a ed e, sostituendo i valori delle coordinate in un punto notevole, ad esempio il periastro:

( 1 cos 0 )

1 p e

ae

a = +

−

da cui

( ^{1 1 −}

²

) ^{= 1 . 54 ⋅ 10}

^{−9 −1}

= km

e p a

b) La posizione di ciascun corpo, e di conseguenza il valore di a, si trova a partire dai

corrispondenti valori della massa ridotta moltiplicati per un fattore di proporzionalita` che

dipende dalle masse dei corpi:

a

m M a

_M

m

= +

^,

a

m M a

_m

M

= +

^.

Le equazioni delle orbite sono dunque:

( ^{1 1}

²

) ^{( 1 cos ) 6 . 70 10}

⁹

^{( 1 0 . 05 cos )}

¹

1

_{− −}

+

⋅

=

− +

= + e km

e a m

m M

r

_M

θ θ

^,

( ^{1 1}

²

) ^{( 1 cos ) 2 . 00 10}

⁹

^{( 1 0 . 05 cos )}

¹

1

_{− −}

+

⋅

=

− +

= + e km

e a M

m M

r

_m

θ θ

^.

Esercizio 4

Un solenoide indefinito di raggio R1 e n1 spire per metro e` percorso da una corrente i1. Un secondo solenoide indefinito, di raggio R2> R1, n2 spire per metro, coassiale al primo, e` percorso da una corrente i2 che scorre in verso opposto.

a) Calcolare la circuitazione del campo di induzione magnetica totale lungo il circuito rettangolare ABCD di lati AB=b, BC=a. Verificare l’accordo con la legge di Ampere.

b) Supposto che

n

₁

= n

₂^e

i

₁

= i

₂, calcolare il flusso del campo di induzione magnetica totale attraverso il cerchio tratteggiato, in funzione del raggio del cerchio, variabile da r=0 a r> R2 ; disegnare il grafico del flusso in funzione del raggio del cerchio.

Soluzione

a) Il campo totale e` la sovrapposizione dei campi dei due solenoidi ed e` sempre diretto parallelamente all’asse oppure e` nullo. All’interno del solenoide 1 il campo e` dato da

(

_{1 1 2 2}

)

0 2 2 0 1 1 0 2

1

B n i n i n i n i

B

B = − = µ − µ = µ −

e il contributo alla circuitazione

lungo il lato AD vale

^K ( ^{B } | ^AB ) = − µ

0

^{( n}

1

ⁱ

1

− ⁿ

2

ⁱ

2

^{) a}

, ove il segno meno dipende dal verso di percorrenza scelto. Vista la direzione del campo i contributi lungo i lati AB e DC sono nulli. Rimane il contributo lungo il lato BC, anch’esso nullo poiche’ il campo e` nullo fuori dal solenoide 2. La circuitazione e` dunque

^K ( ) ^{B } = − µ

0

^{( n}

1

ⁱ

1

− ⁿ

2

ⁱ

2

^{) a}

e per la legge di Ampere dev’essere uguale alla somma delle correnti concatenate al rettangolo. Nel rettangolo entrano

a n

N

₂

=

₂ correnti i2 e ne escono

N

₁

= n

₁

a

correnti i1. Quindi, in totale,

( n i n i ) a

i

_tot

=

_{2 2}

−

₁₁ e la legge di Ampere e` verificata.

b) Nelle supposizioni fatte il campo all’interno del solenoide 1 e` nullo. Tra i due solenoidi esso vale

2 2 0

n i

B = − µ

. Supponiamo di orientare il cerchio di Ampere parallelamente al campo, in modo da avere un flusso positivo. Poiche’ il campo e` uniforme a tratti, il flusso si calcola semplicemente come prodotto del modulo del campo per l’area interessata:

A B

D C

1 2

( ) [ ( ) ( ) ] ( )

( ) ( )

[ ] ( )

 

 

≤

−

=

−

<

<

−

=

−

= Φ

r R R

R i n R

A R A B

R r R R

r i n R

A r A B B

2 2

1 2 2 2 2 0 1

2

2 1

2 1 2 2 2 0 1

...

...

π µ

π µ

r Φ

R1 R2

Esercizio 5

Sono dati tre gusci sferici concentrici conduttori di raggi R1 , R2 e R3 e spessore trascurabile. Sul guscio piu` interno c’e` una carica +Q , su quello intermedio (-Q-q) e su quello piu` esterno +q.

Calcolare:

a) il flusso del campo elettrico attraverso una superficie sferica concentrica ai gusci, in funzione del raggio della sfera, variabile da r=0 a r> R3; disegnare il grafico del flusso in funzione del raggio della sfera.

b) Il campo elettrico in tutto lo spazio.

Soluzione

a) Per r< R1 la sfera di Gauss non racchiude carica e quindi il flusso e` nullo. Tra i gusci 1 e 2 la sfera racchiude la carica +Q , quindi il flusso vale

+ Q ε

₀. Tra i gusci 2 e 3 la sfera racchiude la carica -q , e il flusso vale

− q ε

₀. Per r> R3 la sfera di Gauss non racchiude carica e quindi il flusso e` di nuovo nullo.

b) Data la simmetria del problema, il flusso e` semplicemente dato dal prodotto del modulo del campo per l’area della sfera di Gauss. Il campo elettrico e` quindi

( ) ( ) ( )

 

 



 

 





≤

<

− <

=

<

+ <

≤

Φ =

=

r R

R r r R

q

R r

R r r R

Q

R r

r A r r E

3

3 2 2

0

2 2 2 1

0

1

...

...

0

...

4

...

...

0

...

4

...

...

0

π ε π

ε

R₁ R2

R3

R1 R2 R3 r

Φ