Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 7 (27 maggio 2009)

Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 7 (27 maggio 2009)

Osservazioni:

• Se X, Y sono variabili aleatorie reali, definite sullo stesso spazio di probabilit`a Ω, si pu`o considerare la variabile aleatoria Z := max{X, Y }, definita puntual- mente Z(ω) := max{X(ω), Y (ω)}. Analogamente per W := min{X, Y }.

• Abbiamo visto che se X₁, . . . , X_nsono variabili aleatorie indipendenti con X_i ∼ Ge(p), allora W := min{X₁, . . . , X_n} ∼ Ge(1−(1−p)ⁿ). Introduciamo n schemi paralleli di prove ripetute e indipendenti, ciascuna con probabilit`a di successo p. Se X<sub>i</sub> indica il numero di insuccessi prima del primo successo nello schema i- esimo, W indica il numero di insuccessi prima del primo successo in uno schema qualunque. Dato che la probabilit`a che in ciascuna prova almeno uno schema abbia successo `e pari a q = 1 − (1 − p)ⁿ, segue che W ∼ Ge(q).

Esercizio 1 (es. 84 dell’elenco). Siano X, Z e W variabili casuali indipendenti con X ∼ Be(p) mentre Z, W ∼ P o(λ). Definiamo Y := XZ + W .

(a) Determinare le densit`a p_X,Y e p_Y.

(b) Utilizzando la densit`a calcolata al punto precedente, calcolare E(Y ) e V ar(Y ).

(c) Calcolare E(Y ) e V ar(Y ) senza utilizzare p_Y.

[p_X,Y(0, n) = P (X = 0, Y = n) = P (X = 0, W = n) = (1 − p)e^{−λ λ}_n!ⁿ, p_X,Y(1, n) = P (X = 1, Y = n) = P (X = 1, Z + W = n) = pe^{−2λ (2λ)}_n!ⁿ, da cui p_Y(n) = p_X,Y(0, n) + p_X,Y(1, n) = pe^{−2λ (2λ)}_n!ⁿ+(1−p)e^{−λ λ}_n!ⁿ; di conseguenza E(Y ) = p·2λ+(1−p)·λ = λ(p+

1), E(Y²) = p · [(2λ)²+ (2λ)] + (1 − p) · (λ²+ λ), da cui Var(Y ) = λ²(p − p²) − λ(1 + p).

Alternativamente E(Y ) = E(X)E(Z) + E(W ) = pλ + λ, E(Y²) = . . ., ecc.]

Esercizio 2 (es. 89 dell’elenco). Siano X, Y ∼ Ge(p) variabili indipendenti, con p ∈ (0, 1). Poniamo Z := max{X, Y } e W := Z − X.

(a) Determinare la densit`a congiunta p_X,Z di (X, Z).

(b) Determinare la densit`a p_W di W . (c) Calcolare E(W ).

(d) `E vero che X e W sono indipendenti?

[p_X,Z(n, m) = p²(1 − p)ⁿ(1 − p)^m se m > n ≥ 0, p_X,Z(n, n) = p(1 − p)ⁿ[1 − (1 − p)ⁿ⁺¹] se n ≥ 0, pX,Z(n, m) = 0 altrimenti. Quindi pW(k) =P∞

n=0pX,Z(n, n + k) = p²(1 − p)^k/[1 − (1 − p)²] = p(1 − p)^k/(2 − p) se k ≥ 1, p_W(0) =P∞

n=0p_X,Z(n, n) = 1 − p(1 − p)/[1 − (1 − p)²] = 1/(2 − p). Si ottiene E(W ) =P

k≥0kp_W(k) = (p⁻¹− 1)/(2 − p) = (1 − p)/[p(2 − p)]. Le variabili X e W non sono indipendenti: P (X = 0, W = 0) = P (X = 0, Y = 0) = p² mentre P (X = 0)P (W = 0) = p/(2 − p).]

Teoria: funzioni misurabili (boreliane) da R in R, Teoremi 4.21 e 4.22 delle dispense.

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