Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 11 (11 giugno 2009)

Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 11 (11 giugno 2009)

Esercizi di riepilogo:

Esercizio 1 (es. 9 dell’elenco). Si consideri un mazzo di 52 carte da Poker, e si scelgano a caso 5 carte. Calcolare la probabilit`a che:

(a) nelle 5 carte ci sia almeno una coppia (cio`e due carte di semi diversi ma con lo stesso numero o figura);

(b) nelle 5 carte ci sia esattamente una coppia, cio`e ci sia una coppia ma nessuna combinazione migliore (doppia coppia, tris....)

[(a) 1 − ¹³₅
4⁵/ ⁵²₅
; (b) 13 ⁴_2
12

3
4³/ ⁵²₅
.]

Esercizio 2 (es. 109 dell’elenco). Sia X ∼ U (−1, 1), e Y = _1−X¹ 2. Determinare la distribuzione di Y .

[F_Y(y) =q

1 −¹_y1_[1,∞)(y), da cui f_Y(y) = ¹

2y²√

1−1/y1_[1,∞)(y).]

Esercizio 3 (parte (a) dell’es. 124 dell’elenco). Siano X, Y ∼ Exp(1) variabili indipendenti. Determinare la densit`a della variabile W := X − Y .

[f_W(x) = ¹₂e^−|w|.]

Esercizio 4 (es. 104 dell’elenco). Sia (X_n)_n≥1 una successione di variabili casuali indipendenti, tali che X_n ∼ Be(1/2ⁿ). Definiamo la variabile casuale T , a valori in N ∪ {+∞} = {1, 2, . . . , n, . . . , +∞}:

T =

(min{k ∈ N tali che Xk = 1} se {k ∈ N tali che Xk = 1} 6= ∅

+∞ altrimenti. .

(a) Determinare un’espressione per P (T > n).

[Sugg.: si noti che l’evento {T > n} pu`o essere espresso in modo semplice in funzione delle prime n variabili X₁, . . . , X_n.]

(b) Scrivere log P (T > n) in forma di una sommaPn

k=1a_k, e mostrare che la serie P

kak converge.

(c) Dedurre che P (T = +∞) > 0.

[(a) P (T > N ) = Qn

i=1(1 − ₂¹i); (b) log P (T > N ) = Pn

i=1log(1 − ₂¹i) e la serie converge per il criterio del confronto asintotico, poich´e log(1 − ₂¹i) ∼ ₂¹i per i → ∞;

(c) per la continuit`a dall’alto della probabilit`a, P (T = +∞) = lim_n→∞P (T > n) = exp(lim_n→∞log P (T > n)) =: exp(x) con x ∈ (−∞, 0) per il punto precedente, quindi P (T = +∞) = exp(x) > 0.]

1

2

Esercizio 5. Sia (X_n)_n≥1 una successione di variabili casuali i.i.d. con distribuzione P o(2). Sia Ynil numero di zeri nella n-pla (X1, X2, . . . , Xn). Con l’ausilio del Teorema Limite Centrale, determinare la probabilit`a (approssimata) che Y100 sia maggiore o uguale a 15.

[Y_n ∼ B(n, p) con p = P (X₁ = 0) = e⁻² ' 0.135, quindi posto µ = p = e⁻² e σ = pp(1 − p) ' 0.34 si ha P (Y₁₀₀ ≥ 15) = P (Y₁₀₀ ≥ 14.5) = P (Y₁₀₀ ≥ 0.145) = P (Z₁₀₀≥ ^0.145−µ_σ √

100) ' P (Z ≥ 0.28) = 1 − Φ(0.28) ' 0.39.]