Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 30 Giugno 2017 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si cosideri il seguente sottospazio di R4
Sk= h(k, 0, 1, 0), (0, k + 1, 0, 0), (3, 2k, 0, 0), (0, 0, 0, −k)i.
(a) Determinare per quali valori di k ∈ R il sottospazio Sk coincide con R4;
(b) fissato k = −1, calcolare la dimensione del sottospazio S−1+ T , con T = h(0, 1, 0, 0)i.
2 Si consideri l’endomorfismo F : R3 −→ R3 la cui matrice associata rispetto alla base cannica `e A2− 4I3, dove
A =
2 1 3
0 −1 3
0 0 −1
.
(a) Determinare la dimensione ed una base per il nucleo e l’immagine di F . (b) Stabilire se F `e iniettiva e/o suriettiva.
(c) Determinare se F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo calcolare una base di R3 diagonalizzante per F .
3 Discutere, al variare del parametro k ∈ R, il seguente sistema lineare:
x1+ x2− x3+ 2x4 = 2 x2− 2x4 = 1 x1− x2+ 3x3 = 0 2x1+ x3− x4 = 2k
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
`1 : x − y = 0
z − y = 0 , `2 :
x = 1 + kt y = 2t z = 3 − t
.
(a) Determinare la posizione reciproca di `1 ed `2, al variare del parametro k ∈ R;
(b) fissato k = 0, determinare la distanza tra `1 ed `2.
5 Sia V uno spazio vettoriale euclideo reale. Mostrare che se v1, . . . , vn ∈ V sono vettori non nulli a due a due ortogonali, allora essi sono linearmente indipendenti.
6 Si consideri un sistema lineare compatibile di m equazioni in n incognite. Dimostrare che le sue soluzioni sono tutte e sole le n–uple ottenute sommando ad una di esse le soluzioni del sistema omogeneo associato.
Traccia I — 1
