Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 16 Settembre 2019 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti sottospazi di C3:
Vk = h(i, 0, k + 1)i, Wk = h(1, k, 2), (3, 2ki, 0)i, (a) determinare la dimensione di Vk+ Wk al variare di k ∈ C;
(b) dire per quali k ∈ R la somma Vk+ Wk `e diretta.
2 Data l’applicazione F : R3 −→ R3 tale che F (0, 1, 0) = (0, 0, 0), F (2, 0, −2) = (0, 0, 0), F (0, 2, 1) = (0, −1, 0),
(a) determinare la matrice associata ad F rispetto alla base canonica di R3; (b) trovare una base per i sottospazi vettoriali Ker(F ) e Ker(F )⊥;
(c) trovare autovalori ed autovettori di F e dire se `e diagonalizzabile.
3 Discutere il seguente sistema lineare a coefficienti reali:
x1+ 2x2 = 3 2x1+ x3 = 1 x1− 2x2+ x3 = −2
−3x1− 2x2− x3 = −4 .
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette r :
x = 0
y − 3 = 0 , s : x + 2y − z − 8 = 0 y + z − 1 = 0
(a) si determini l’equazione parametrica e cartesiana del piano contenente le rette r, s;
(b) si calcoli la distanza tra il punto A = (3, 2, −3) ed il punto di intersezione delle rette r, s.
5 Enunciare la definizione di spazio vettoriale euclideo reale. Dire per quali valori di k ∈ R i vettori (k2+ 1, 0, 1, 2), (1, −5, 2k, 0) ∈ R4 sono ortogonali rispetto al prodotto scalare standard.
6 Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e siano U, W sottospazi vettoriali di V . Mostrare che U + W
`
e un sottospazio vettoriale di V e che U ∪ W non `e un sottospazio.
Traccia I — 1
