CORSO DI ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
Esercitazione guidata del 20/11/2006
1. Determinare la caratteristica dell’anello Z[X]/(X − 3, X2+ 2).
2. Sia f (X) = X6− 3 ∈ k[X]. Determinare [∆f : k] dove a) k = Q
b) k = Q(i) c) k = Z2
3. a) Determinare, per ogni n ∈ N, un numero trascendente positivo e minore di 101n. b) Dimostrare che l’insieme dei numeri trascendenti `e denso nell’insieme dei numeri reali.
4. Dire se in S5 ci sono sottogruppi isomorfi al gruppo dei quaternioni.
5. `E vero che per ogni n ∈ N esistono gruppi non risolubili aventi pi`u di n elementi ?
1
CORSO DI ISTITUZIONI DI GEOMETRIA SUPERIORE
Esercitazione guidata del 20/11/2006 - Esempi di soluzioni
1. Poich´e il resto della divisione di X2+ 2 per X − 3 `e 11, l’ideale (X − 3, X2+ 2) `e uguale a (X − 3, 11).
Allora Z[X]/(X − 3, X2+ 2) = Z[X]/(X − 3, 11) ' Z11 e quindi ha caratteristica 11.
L’isomorfismo Z[X]/(X − 3, 11) ' Z11 pu`o essere visto cos`ı :
a) ogni elemento di Z[X]/(X − 3, 11) `e la classe di un polinomio f ∈ Z[X];
b) se in Z[X] si ha f = (X − 3)g + r (r ∈ Z), la classe di f `e anche la classe di r;
c) e se in Z si ha r = 11 · q + s (0 ≤ s < 11), la classe di r `e anche la classe di s.
Quindi l’omomorfismo naturale ϕ : Z −→ Z[X]/(X − 3, 11) `e surgettivo e ha nucleo 11Z.
2. a) f `e irriducibile in Q[X] per il criterio di Eisenstein.
Le radici di f (X) = X6− 3 ∈ Q[X] sono √6
3 ξj (0 ≤ j ≤ 5), dove ξ `e ad esempio la radice sesta primitiva 12+i
√ 3
2 di 1; quindi ∆f = Q(√6
3, i). Ne segue che [∆f : Q] = 12.
b) Poich´e [∆f : Q] = [∆f : Q(i)] [Q(i) : Q] = 12, [∆f : Q(i)] = 6.
c) In Z2[X] si ha f (X) = ((X + 1)(X2 + X + 1))2 e quindi ∆f = ∆X2+X+1, per cui [∆f : Z2] = 2.
3. a) Siano L il numero di Liouville, Ln il numero decimale avente la parte intera di L, le prime n cifre decimali uguali a quelle di L seguite da una successione illimitata di zeri; sia poi Mn=L−Ln.
Poich´e Ln`e razionale, e quindi algebrico, il numero Mn `e trascendente ed `e minore di 101n.
b) Se r ed r0 sono due numeri reali tali che 0 ≤ r < r0, siano q e q0 due numeri razionali tali che r ≤ q < q0 ≤ r0.
Sia poi n un numero naturale tale che 101n < q0− q e sia Mn il numero definito in a).
Allora r ≤ q < q+Mn< q0 ≤ r0
4. Poich´e |S5| = 120 = 23· 3 · 5, i sottogruppi di ordine 8 sono 2-sottogruppi di Sylow e quindi sono tutti tra loro coniugati e quindi isomorfi fra loro.
E poich´e S5 ⊃ S4 ⊃ D8, i sottogruppi di ordine 8 di S5 sono tutti isomorfi a D8. Allora non ci sono sottogruppi isomorfi al gruppo dei quaternioni.
5. Per ogni n ≥ 5, il gruppo An, che ha ordine n!/2, non `e risolubile, perch´e contiene il sottogruppo non risolubile A5.
2
