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Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: 1.

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Academic year: 2021

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(1)

Calcolare il dominio delle seguenti funzioni:

1. 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 2 𝑥2− 6𝑥 + 5

2. 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 − 1 2 sen 𝑥 − 1 3. 𝑓(𝑥) = ln 𝑥

√𝑥 − 5 4. 𝑓(𝑥) = 1

sen 𝑥+ √tg 𝑥 5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥

√𝑥2− 2𝑥

3

6. 𝑓(𝑥) = √ 𝑥2− 4𝑥 𝑥2− 5𝑥 + 4

7. 𝑓(𝑥) = √tg 𝑥 − 1 sen 𝑥

8. 𝑓(𝑥) = √sen 𝑥 − cos 𝑥 9. 𝑓(𝑥) = ln ( sen 𝑥

1 − 2 cos 𝑥) 10. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 3 ⋅ 3−𝑥− 3

11. 𝑓(𝑥) = √ log2𝑥 + 4 log1

2(𝑥 + 4) 12. 𝑓(𝑥) = log1

2(sen 𝑥 − cos 2𝑥)

Soluzioni:

1. dom 𝑓 = [−2; 1[ ∪ ]5; +∞[

2. dom 𝑓 = ℝ ∖ {𝜋

2+ 𝑘𝜋;𝜋

3+ 2𝑘𝜋;2𝜋

3 + 𝑘𝜋} , 𝑘 ∈ ℤ 3. dom 𝑓 = ]5; +∞[

4. dom 𝑓 = 𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝜋

2 + 𝑘𝜋 5. dom 𝑓 = ℝ ∖ {0; 2}

6. dom 𝑓 = ]1; 4[ ∪ ]4; +∞[

7. 𝜋

4+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋

2+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 5𝜋

4 + 𝑘𝜋 ∨ 3𝜋

2 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 + 2𝑘𝜋 8. 𝜋

4+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 5𝜋

4 + 2𝑘𝜋 9. 𝜋

3 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ 5𝜋

3 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 + 2𝑘𝜋 10. dom 𝑓 = ℝ

11. dom 𝑓 = ]0; 1 16] 12. 𝜋

6+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 5𝜋

6 + 2𝑘𝜋

(2)

Dopo aver determinato il dominio, il segno della funzione e le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani, rappresenta nel piano cartesiano le regioni in cui giace il grafico della funzione.

13. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 (𝑥 + 1)(𝑥2+ 4)

14. 𝑓(𝑥) = √𝑥2− 2𝑥 𝑥

15. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 𝑥 − 4 − 1

16. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥22𝑥+1−2𝑥+1 17. 𝑓(𝑥) = 2(𝑒2𝑥 − 1)

𝑒𝑥

18. 𝑓(𝑥) = 2 ln2𝑥 − ln 𝑥2 19. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ln 𝑥

20. 𝑓(𝑥) = ln(−𝑥) 2𝑥 21. 𝑓(𝑥)

=2 sen 𝑥 cos 𝑥

sen 𝑥 + 1 𝑖𝑛 ]0; 2𝜋[

22. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2− 4) 23. 𝑓(𝑥) = √ln(𝑥 + 3) 24. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2+ 4

√𝑥2− 1 25. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2− 1)

𝑥2− 4

Soluzioni:

13. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 (𝑥 + 1)(𝑥2+ 4) dom 𝑓 = ℝ ∖ {−1}

𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑓(0) = −1

2

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 < −1

14. 𝑓(𝑥) = √𝑥2− 2𝑥 𝑥

dom 𝑓 =] − ∞; 0[ ∪ [2; +∞[

𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒

∄𝑓(0)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 2

(3)

15. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 𝑥 − 4 − 1 dom 𝑓 = ]−∞; 2 ] ∪ ]4; +∞[

𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑓(0) = 0

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ 0 ∨ 𝑥 > 4

16. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥22𝑥+1−2𝑥+1 dom 𝑓 = ℝ ∖ {1}

𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑓(0) = 𝑒

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ ∀𝑥 ∈ 𝐷

17. 𝑓(𝑥) = 2(𝑒2𝑥 − 1) 𝑒𝑥 dom 𝑓 = ℝ

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 (𝑆𝑂) 𝑓(0) = 0

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 0

18. 𝑓(𝑥) = 2 ln2𝑥 − ln 𝑥2 dom 𝑓 = ℝ+

𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒

∄𝑓(0)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 0 < 𝑥 ≤ 1 ∨ 𝑥 ≥ 𝑒

19. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ln 𝑥 dom 𝑓 = ℝ+

𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒

∄𝑓(0)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 1

20. 𝑓(𝑥) = ln(−𝑥) 2𝑥 dom 𝑓 = ℝ 𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒

∄𝑓(0)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ −1 ≤ 𝑥 < 0

(4)

21. 𝑓(𝑥)

= 2 sen 𝑥 cos 𝑥

sen 𝑥 + 1 𝑖𝑛 ]0; 2𝜋[

dom 𝑓 = ]0;3𝜋

2 [ ∪ ]3𝜋

2 ; 2𝜋[

∄𝑓(0)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 0 < 𝑥 ≤ 𝜋

2∨ 𝜋 ≤ 𝑥 < 3𝜋 2

22. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2− 4)

dom 𝑓 = ]−∞; −2[ ∪ ]2; +∞[

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 (𝑆𝑦)

∄𝑓(0)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ −√5 ∨ 𝑥 ≥ √5

23. 𝑓(𝑥) = √ln(𝑥 + 3) dom 𝑓 = [−2; +∞[

𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑓(0) = √ln 3

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ ∀𝑥 ∈ 𝐷

24. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2+ 4

√𝑥2− 1

dom 𝑓 = ]−∞; −1[ ∪ ]1; +∞[

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 (𝑆𝑦)

∄𝑓(0)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ −2 ∨ 𝑥 ≥ 2

25. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2− 1) 𝑥2− 4

𝑑𝑜𝑚 = ]−∞; −2[ ∪ ]−2; −1[

∪ ]1; 2[ ∪ ]2; +∞[

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 (𝑆𝑦)

∄𝑓(0)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 < −2 ∨ −√2 ≤ 𝑥

(5)

Svolgere i seguenti esercizi sull’approccio grafico al concetto di limite:

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