Calcolare il dominio delle seguenti funzioni:
1. 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 2 𝑥2− 6𝑥 + 5
2. 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 − 1 2 sen 𝑥 − 1 3. 𝑓(𝑥) = ln 𝑥
√𝑥 − 5 4. 𝑓(𝑥) = 1
sen 𝑥+ √tg 𝑥 5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥
√𝑥2− 2𝑥
3
6. 𝑓(𝑥) = √ 𝑥2− 4𝑥 𝑥2− 5𝑥 + 4
7. 𝑓(𝑥) = √tg 𝑥 − 1 sen 𝑥
8. 𝑓(𝑥) = √sen 𝑥 − cos 𝑥 9. 𝑓(𝑥) = ln ( sen 𝑥
1 − 2 cos 𝑥) 10. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 3 ⋅ 3−𝑥− 3
11. 𝑓(𝑥) = √ log2𝑥 + 4 log1
2(𝑥 + 4) 12. 𝑓(𝑥) = log1
2(sen 𝑥 − cos 2𝑥)
Soluzioni:
1. dom 𝑓 = [−2; 1[ ∪ ]5; +∞[
2. dom 𝑓 = ℝ ∖ {𝜋
2+ 𝑘𝜋;𝜋
3+ 2𝑘𝜋;2𝜋
3 + 𝑘𝜋} , 𝑘 ∈ ℤ 3. dom 𝑓 = ]5; +∞[
4. dom 𝑓 = 𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝜋
2 + 𝑘𝜋 5. dom 𝑓 = ℝ ∖ {0; 2}
6. dom 𝑓 = ]1; 4[ ∪ ]4; +∞[
7. 𝜋
4+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋
2+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤ 5𝜋
4 + 𝑘𝜋 ∨ 3𝜋
2 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 + 2𝑘𝜋 8. 𝜋
4+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 5𝜋
4 + 2𝑘𝜋 9. 𝜋
3 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ 5𝜋
3 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 2𝜋 + 2𝑘𝜋 10. dom 𝑓 = ℝ
11. dom 𝑓 = ]0; 1 16] 12. 𝜋
6+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 5𝜋
6 + 2𝑘𝜋
Dopo aver determinato il dominio, il segno della funzione e le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani, rappresenta nel piano cartesiano le regioni in cui giace il grafico della funzione.
13. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 (𝑥 + 1)(𝑥2+ 4)
14. 𝑓(𝑥) = √𝑥2− 2𝑥 𝑥
15. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 𝑥 − 4 − 1
16. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥22𝑥+1−2𝑥+1 17. 𝑓(𝑥) = 2(𝑒2𝑥 − 1)
𝑒𝑥
18. 𝑓(𝑥) = 2 ln2𝑥 − ln 𝑥2 19. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ln 𝑥
20. 𝑓(𝑥) = ln(−𝑥) 2𝑥 21. 𝑓(𝑥)
=2 sen 𝑥 cos 𝑥
sen 𝑥 + 1 𝑖𝑛 ]0; 2𝜋[
22. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2− 4) 23. 𝑓(𝑥) = √ln(𝑥 + 3) 24. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2+ 4
√𝑥2− 1 25. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2− 1)
𝑥2− 4
Soluzioni:
13. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 (𝑥 + 1)(𝑥2+ 4) dom 𝑓 = ℝ ∖ {−1}
𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑓(0) = −1
2
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 < −1
14. 𝑓(𝑥) = √𝑥2− 2𝑥 𝑥
dom 𝑓 =] − ∞; 0[ ∪ [2; +∞[
𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒
∄𝑓(0)
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 2
15. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 𝑥 − 4 − 1 dom 𝑓 = ]−∞; 2 ] ∪ ]4; +∞[
𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑓(0) = 0
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ 0 ∨ 𝑥 > 4
16. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥22𝑥+1−2𝑥+1 dom 𝑓 = ℝ ∖ {1}
𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑓(0) = 𝑒
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ ∀𝑥 ∈ 𝐷
17. 𝑓(𝑥) = 2(𝑒2𝑥 − 1) 𝑒𝑥 dom 𝑓 = ℝ
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 (𝑆𝑂) 𝑓(0) = 0
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 0
18. 𝑓(𝑥) = 2 ln2𝑥 − ln 𝑥2 dom 𝑓 = ℝ+
𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒
∄𝑓(0)
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 0 < 𝑥 ≤ 1 ∨ 𝑥 ≥ 𝑒
19. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ln 𝑥 dom 𝑓 = ℝ+
𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒
∄𝑓(0)
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 1
20. 𝑓(𝑥) = ln(−𝑥) 2𝑥 dom 𝑓 = ℝ− 𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒
∄𝑓(0)
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ −1 ≤ 𝑥 < 0
21. 𝑓(𝑥)
= 2 sen 𝑥 cos 𝑥
sen 𝑥 + 1 𝑖𝑛 ]0; 2𝜋[
dom 𝑓 = ]0;3𝜋
2 [ ∪ ]3𝜋
2 ; 2𝜋[
∄𝑓(0)
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 0 < 𝑥 ≤ 𝜋
2∨ 𝜋 ≤ 𝑥 < 3𝜋 2
22. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2− 4)
dom 𝑓 = ]−∞; −2[ ∪ ]2; +∞[
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 (𝑆𝑦)
∄𝑓(0)
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ −√5 ∨ 𝑥 ≥ √5
23. 𝑓(𝑥) = √ln(𝑥 + 3) dom 𝑓 = [−2; +∞[
𝑁𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑓(0) = √ln 3
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ ∀𝑥 ∈ 𝐷
24. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2+ 4
√𝑥2− 1
dom 𝑓 = ]−∞; −1[ ∪ ]1; +∞[
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 (𝑆𝑦)
∄𝑓(0)
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ −2 ∨ 𝑥 ≥ 2
25. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2− 1) 𝑥2− 4
𝑑𝑜𝑚 = ]−∞; −2[ ∪ ]−2; −1[
∪ ]1; 2[ ∪ ]2; +∞[
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑓 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 (𝑆𝑦)
∄𝑓(0)
𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 < −2 ∨ −√2 ≤ 𝑥
Svolgere i seguenti esercizi sull’approccio grafico al concetto di limite: