FISICA GENERALE

FISICA GENERALE

MODULO A

CORSO H – BARI

Lavoro ed energia (3)

Dott. Giannuzzi Giuseppe

Problema 1

Un oggetto di massa M=61 Kg è legato ad una corda elastica di lunghezza L=25m e di costante elastica k=160N/m. Se tale oggetto è lanciato da un ponte alto h’=45 m sopra un fiume, a quale altezza h dal fiume arriverà?

Le forze agenti sono la fune elastica e la forza peso tutte conservative inoltre sia all’inizio che alla fine l’oggetto è fermo

All’inizio:

𝑈_𝑔 = 𝑚 𝑔 ℎ′ (riferita al suolo) e 𝑈_𝑒𝑙 = ¹

2𝑘 ℎ^′ − ℎ − 25 ² Per cui si avrà

𝑚 𝑔 ℎ^′ = 𝑚𝑔 ℎ + 1

2 𝑘 ℎ^′ − ℎ − 25 ² 𝑚𝑔 ℎ − ℎ′ = 1

2 𝑘 ℎ^′ − ℎ − 25 ²

(eq.2 grado, risolvere numericamente: verificare che soluzione ℎ = 2.08 𝑚)

Problema 2

Una massa M=2Kg scivola su una superficie orizzontale liscia con v₁=4 m/s.

Essa va a finire contro una molla comprimendola fino a fermarsi completamente.

Dal punto in cui comincia a comprimere la molla in poi vi è un attrito di modulo 15N e la costante elastica della molla è k=10000 N/m.

Di quanto si è compressa la molla?

Sol.

Il sistema è isolato

ℒ_𝑎𝑡𝑡 = Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑐𝑐} dove

ℒ_𝑎𝑡𝑡 = −𝐹_𝑎𝑡𝑡 ∙ Δ𝑥 Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑐𝑐} = 𝐸_𝑓 − 𝐸_𝑖 = 1

2 𝑘 Δ𝑥 ² − 1

2 𝑚 𝑣² L’equazione che otteniamo è

−𝐹_𝑎𝑡𝑡 ∙ Δ𝑥 = 1

2 𝑘 Δ𝑥 ² − 1

2 𝑚 𝑣² 5000 Δ𝑥 ² + 15 Δ𝑥 − 16 = 0 che risolta fornisce il valore

Δ𝑥 = 0.055 𝑚 = 5.5 𝑐𝑚

Problema 3

Un blocco di massa M=2Kg è poggiato contro una molla sul piano inclinato in figura, con pendenza 30° e privo di attrito. La molla, avente costante elastica k=19.6 N/cm è dapprima compressa di 20 cm quindi lasciata libera.

Quanto si allontanerà il blocco sul piano inclinato?

Sol.

𝑘 = 19.6 𝑁/𝑐𝑚 = 1960 𝑁/𝑚

IN: 𝐸 = 𝑈_𝑒𝑙 + 𝑈_{𝑔𝑟𝑎𝑣} + 𝐸_𝑘 (𝐸_𝑘 = 0, 𝑈_{𝑔𝑟𝑎𝑣} = 0, 𝑈_𝑒𝑙 = ¹

2 𝑘 𝑥²) FIN: 𝐸_𝑘 = 0, 𝑈_𝑒𝑙 = 0, 𝑈_{𝑔𝑟𝑎𝑣} = 𝑚 𝑔 ℎ

𝑚 𝑔 ℎ = 1

2 𝑘 Δ𝑙² ℎ = 𝑘 Δ𝑙²

2 𝑚 𝑔 = 1960 ∙ 0.20²

2 ∙ 2 ∙ 9.8 𝑚 = 2𝑚 𝑙 = ℎ

sin 30° = 2 ℎ = 4 𝑚

Problema 4

Un blocco di massa 5 Kg viene fatto salire lungo un piano inclinato con velocità iniziale di 8m/s. Il blocco si ferma dopo 3 m lungo il piano, che è inclinato di 30◦.

Determinare la variazione di energia cinetica, energia potenziale, il lavoro della forza di attrito, ed il coefficiente μ_d.

Sol.

ℎ = 𝑙 ∙ sin 30°

Δ𝐸_𝑘 = 𝐸_𝑘,𝑓 − 𝐸_𝑘,𝑖 = −𝐸_𝑘,𝑖 = −1

2𝑀 𝑣² = −160 𝐽

Δ𝐸_𝑝 = 𝐸_𝑝,𝑓 − 𝐸_𝑝,𝑖 = 𝐸_𝑝,𝑓 = 𝑀 𝑔 ℎ = 𝑀 𝑔 𝑙 sin 30° = 73.5 𝐽 ℒ_𝑎𝑡𝑡 = Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑐𝑐} = 𝐸_𝑓 − 𝐸_𝑖

𝐸_𝑖 = 𝐸_𝑘,𝑖 = ¹

2 𝑀 𝑣² 𝐸_𝑓 = 𝐸_𝑝,𝑓 = 𝑀 𝑔𝑙 sin 30°

ℒ_𝑎𝑡𝑡 = 73.5 − 160 𝐽 = −86.5 𝐽

ℒ_𝑎𝑡𝑡 = 𝐹_𝑎𝑡𝑡 ∙ 𝑙 = −μ_𝑑𝑁 𝑙 = −μ_𝑑 𝑀 𝑔 cos 𝜃 𝑙 = −μ_𝑑 𝑀 𝑔 𝑙 cos 𝜃 μ_𝑑 = −ℒ_𝑎𝑡𝑡

𝑀𝑔 𝑙 cos 𝜃 = 86.5

5 ∙ 9.8 ∙ 3 ∙ 3 2

= 0.68

Problema 5

Una molla può essere compressa di 2.0 cm da una forza di 270N. Un blocco di massa 12 Kg, inizialmente fermo in cima al piano inclinato privo di attrito ed inclinato di 30° sull’orizzonte, viene lasciato cadere. Il blocco si arresta dopo aver compresso la molla di 5.5 cm.

(a) In questo momento di quanto si è spostato sul piano inclinato?

(b) A quale velocità il blocco arriva quando tocca la molla?

Sol.: Il primo dato permette il calcolo di k: 𝐹 = 𝑘 𝑥

270 = 𝑘 · 0.02 ⟹ 𝑘 = 13500 𝑁/𝑚 𝑚 𝑔 ℎ = 1

2 𝑘 𝑥² ℎ = 𝑘 𝑥²

2 𝑚 𝑔 = 13500 ∙ 0.055

24 ∙ 9.8 𝑚 = 0.174 𝑚 a) il cammino sul piano è 𝑠 = ^ℎ

sin 30° = 0.347 𝑚

b) possiamo considerare come istante iniziale e finale, il momento in cui M tocca la molla e quello in cui è compressa: la quota iniziale sarà

ℎ^′ = 𝑥 sin 30° = 2.75 𝑐𝑚 𝑚 𝑔 ℎ^′ + 1

2 𝑚 𝑣² = 1

2 𝑘 𝑥² ⟹ 𝑣 = 1.7𝑚 𝑠

Problema 6

Una pallottola da 30g, con velocità iniziale di 500 m/s, penetra per 12 cm in una parete in muratura prima di fermarsi.

(a) Quale variazione ha subito l’energia meccanica della pallottola?

(b) Assumendo che la parete esercita una forza costante, calcolarne il valore.

Sol.

a) Principio di conservazione dell’energia in presenza di forze non conservative:

ℒ_𝑁𝐶 = Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑐𝑐} = Δ𝐸_𝑘 = 0 − 1

2 𝑚 𝑣² = − 30 ∙ 10⁻³ ∙ 25 ∙ 10⁴

2 𝐽 = −3750 𝐽

b) Assumendo costante la forza si ha 𝐹 = 𝐿

𝑠 = 3750 𝐽

0.12 𝑚 = 31250 𝑁

Problema 7

Un pacco di massa 4.0 Kg scivolando affronta una salita inclinata di 30° con energia cinetica iniziale di 128 J. Se il coefficiente di attrito dinamico è 0.3, di quanto sale lungo il piano inclinato?

Sol.:

Principio di conservazione dell’energia in presenza di forze non conservative:

ℒ_𝑎𝑡𝑡 = Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑐𝑐} = 𝑚 𝑔 ℎ − 1

2 𝑚 𝑣² = 𝑚 𝑔 ℎ − 128 𝐽 con ℒ_𝑎𝑡𝑡 = −μ_𝑑𝑚 𝑔 cos 𝜃 = −0.3 ∙ 4 ∙ 9.8 ∙ 0.86 𝐽

𝑠 = 128

𝑚𝑔

2 + 10.18

𝑚 = 4.30 𝑚

Problema 8

Una bambina che pesa 267 N scende per uno scivolo lungo 6.1 m che forma un angolo di 20° con il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0.1.

(a) Trovare quanta energia è dissipata in energia termica dalla forza di attrito.

(b) Quale sarà la sua velocità all’arrivo se parte dall’alto con una velocità di 0.457 m/s?

Sol.

a) Dal calcolo del lavoro della forza di attrito:

ℒ_𝑎𝑡𝑡 = −μ_𝑑𝑀 𝑔 cos 𝜃 ∙ s ℒ_𝑎𝑡𝑡 = −0.1 ∙ 267 cos 20° ∙ 6.1 𝐽 = −153 𝐽

b) Principio di conservazione dell’energia in presenza di forze non conservative:

ℒ_𝑎𝑡𝑡 = Δ𝐸

−153 𝐽 = 1

2 𝑚𝑣_𝑓² − 𝑚 𝑔 ℎ + 1

2 𝑚𝑣_𝑖²

… 𝑣_𝑓 = 5.47^𝑚

𝑠

Problema 9

Un punto materiale di massa m=2.5kg è attaccato ad un estremo di una molla di costante elastica k=120 N/m e lunghezza a riposo 𝑟₀=30cm; l’altro estremo è fissato al punto O. Il sistema si trova su un piano orizzontale liscio e ruota con velocità angolare costante ω = 4rad/s attorno ad O. Calcolare il raggio della circonferenza descritta da m e discutere il caso in cui 𝑟₀ → 0

Sol.

Facciamo il diagramma delle forze:

x: 𝐹 = −𝑘 Δ𝑅 = 𝑚 𝑎

con l’accelerazione che è in verso negativo rispetto l’asse x ed è centripeta per cui

−𝑘 𝑅 − 𝑟₀ = −𝑚𝑣²

𝑅 = −𝑚 ω²𝑅

𝑘 𝑅 − 𝑘 𝑟₀ = 𝑚 ω²𝑅 (1)

𝑘 − 𝑚 ω² 𝑅 = 𝑘 𝑟₀ da cui 𝑅 = ^𝑘𝑟0

𝑘−𝑚 ω² = ^120∙0.3

120−2.5∙16𝑚 = 0.45 𝑚

Per l’ultima domanda, riprendiamo l’eq. (1) e facciamo tendere a 0 il termine 𝑟₀ si ottiene 𝑘 𝑅 = 𝑚 ω²𝑅 ⟹ ω² = 𝑘/𝑚 ovvero qualunque raggio è possibile purché la velocità angolare soddisfa la relazione trovata che porta al valore 𝜔 = 6.93 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Problema 10

Un punto materiale di massa m è sospeso tramite un filo verticale ed è collegato al suolo da una molla di costante elastica k=70N/m, che è in condizioni di riposo. La tensione del filo è 4.9N. Si taglia il filo. Calcolare:

a) la massima distanza percorsa dal punto

b) la posizione in cui si raggiunge la massima velocità c) la massima velocità raggiunta

Sol.

a) Diagramma delle forze iniziale: +𝑇 − 𝑚𝑔 = 0 ⇒ 𝑚 = 0.5 𝑘𝑔 Conservazione energia: 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔ℎ^′ + ¹

2𝑘 ℎ − ℎ′ ² ⇒ (𝑥 = ℎ − ℎ^′) 𝑚𝑔𝑥 = 1

2𝑘 𝑥² ⇒ 𝑥 = 2𝑚𝑔

𝑘 = 0.14 𝑚

b) Per calcolare la velocità occorre indicare una posizione generica:

𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔ℎ^′′ + 1

2𝑘 ℎ − ℎ′′ ² + 1

2 𝑚 𝑣² ⇒ (𝑥 = ℎ − ℎ′^′)

Problema 10

𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔ℎ^′′ + 1

2𝑘 ℎ − ℎ′′ ² + 1

2 𝑚 𝑣² ⇒ (𝑥 = ℎ − ℎ′^′) 𝑚𝑔𝑥 = 1

2𝑘 𝑥² + 1

2 𝑚 𝑣² ⇒ (𝑥 = ℎ − ℎ^′′) 𝑣² = 2 𝑔 𝑥 − 𝑘 𝑥²

Per trovare la condizione dobbiamo studiare 𝑣 = 𝑣(𝑥) e il massimo si trova𝑚 quando ^𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 0

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 2 𝑔 − 2𝑘𝑥

𝑚 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑚𝑔

𝑘 = 7 𝑐𝑚 c) dall’eq. di 𝑣² precedente ottenuta, sostituendo si ha

𝑣² = 2 𝑔 𝑚𝑔

𝑘 − 𝑘 𝑚

𝑚𝑔 𝑘

2

per cui la velocità risulta 𝑣 = 0.83^𝑚

𝑠

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