Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare
Tema d’Esame del 20 novembre 2017 – Algebra Lineare
Esercizio 2
i. Si dimostri che 𝑈 è sottospazio vettoriale di ℝ3[𝑥].
Come prima cosa notiamo che 𝑈 è lo spazio vettoriale (o funzionale) dei polinomi dispari. Infatti, considerando il generico polinomio di ℝ3[𝑥] del tipo 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 si ha che
𝑝(−𝑥) = −𝑝(𝑥) ⟺ −𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2− 𝑐𝑥 + 𝑑 = −𝑎𝑥3 − 𝑏𝑥2− 𝑐𝑥 − 𝑑 da cui
𝑏𝑥2+ 𝑑 = 0 ⟹ 𝑏 = 𝑑 = 0 L’insieme 𝑈 può quindi essere espresso come
𝑈 = {𝑝(𝑥) ∈ ℝ3[𝑥] ∶ 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3+ 𝑐𝑥 ; 𝑎, 𝑐 ∈ ℝ} = 〈𝑥 ; 𝑥3〉
Essendo esprimibile come chiusura, è così dimostrato che 𝑈 è sottospazio vettoriale di ℝ3[𝑥].
ii. Si determinino una base e la dimensione di 𝑈.
Siccome 𝑈 = 〈𝑥3; 𝑥〉, dove le funzioni 𝑥3 e 𝑥 risultano linearmente indipendenti, una base per 𝑈 è data da
𝔅𝑈 = (𝑥; 𝑥3) e la sua dimensione è chiaramente dim 𝑈 = 2.
iii. Si determini un complemento diretto per 𝑈.
Siccome 𝑈 è dato dalla chiusura di due vettori della base canonica di ℝ3[𝑥], un suo complemento diretto sarà dato semplicemente dalla chiusura altri due vettori costituenti la base canonica.
Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare
𝑈̃ = 〈1 ; 𝑥2〉
iv. Si determinino i valori di 𝑘 ∈ ℝ per cui 𝑉 = 〈𝑘𝑥 ; 𝑘 + 3𝑥3〉 è sottospazio di 𝑈 e, per tali valori, la dimensione e una base di 𝑉.
Affinché 𝑉 sia sottospazio di 𝑈, i vettori di 𝑉 devono essere combinazione lineare di quelli della base di 𝑈. Consideriamo dunque l’isomorfismo esistente tra lo spazio polinomiale ℝ3[𝑥] e lo spazio vettoriale ℝ4 definito in modo tale che
1 ↔ (1; 0; 0; 0) 𝑥 ↔ (0; 1; 0; 0) 𝑥2 ↔ (0; 0; 1; 0) 𝑥3 ↔ (0; 0; 0; 1)
In termini matriciali, la matrice che ha per colonne i vettori ottenuti tramite l’applicazione di tale isomorfismo deve avere rango 2, ossia
rg (
0 0 0 𝑘 1 0 𝑘 0 0 0 0 0 0 1 0 3
) = 2
L’unica possibilità è che 𝑘 sia uguale a 0, poiché diversamente avremmo che la prima, la seconda e la quarta colonna della matrice sarebbero linearmente indipendenti.
