Analisi Matematica I Gianluca Ferrari Integrali Impropri
Tema d’Esame del 14 febbraio 2017 – Unità 2
Esercizio 2
Cominciamo con notare il fatto che la funzione presenta un punto di massimo in 𝑥 = 3. Calcoliamo quindi la derivata di 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛exp(−𝑥) nel punto in questione e poniamola uguale a zero.
𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1exp(−𝑥) − 𝑥𝑛exp(−𝑥) 𝑓′(3) = 0 ⟹ 𝑛 ⋅ 3𝑛−1exp(−3) − 3𝑛exp(−3) = 0
𝑛 ⋅ 3𝑛−1− 3𝑛 = 0 ⟹ 3𝑛−1(𝑛 − 3) = 0 ⟹ 𝑛 = 3 La funzione rappresentata nel grafico è quindi
𝑓(𝑥) = 𝑥3exp(−𝑥) Calcoliamo dunque per parti l’integrale improprio
∫+∞𝑥3exp(−𝑥)
0 𝑑𝑥 = [−𝑥3exp(−𝑥)]0+∞+ 3 ∫+∞𝑥2exp(−𝑥)
0 𝑑𝑥
= [−𝑥3exp(−𝑥)]0+∞+ 3 ([−𝑥2exp(−𝑥)]0+∞ + 2 ∫+∞𝑥 exp(−𝑥)
0
𝑑𝑥)
= [−𝑥3exp(−𝑥) − 3𝑥2exp(−𝑥)]0+∞+ 6 ∫+∞𝑥 exp(−𝑥)
0
𝑑𝑥
= [−𝑥3exp(−𝑥) − 3𝑥2exp(−𝑥)]0+∞
+ 6 ([−𝑥 exp(−𝑥)]0+∞+ ∫+∞exp(−𝑥)
0
𝑑𝑥)
Analisi Matematica I Gianluca Ferrari Integrali Impropri
= [−𝑥3exp(−𝑥) − 3𝑥2exp(−𝑥) − 6𝑥 exp(−𝑥) − 6 exp(−𝑥)]0+∞
= lim
𝑡→+∞[−(𝑥3+ 3𝑥2 + 6𝑥 + 6) exp(−𝑥)]0𝑡
= lim
𝑡→+∞(6 exp 0 − 𝑡3exp(−𝑡)) = 6 − 0 = 6
Si ricordi che, per quanto riguarda gli ordini di infinito, l’esponenziale è più “forte”
della generica potenza 𝑥𝑛, ossia
𝑡→+∞lim 𝑥𝑛
exp 𝑥 = 0
