Tema d’Esame del 15 giugno 2017 Esercizio 2

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Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido

Tema d’Esame del 15 giugno 2017

Esercizio 2

𝐿 = 𝑂𝐵 = 2,5 𝑚; 𝑚 = 0,5 𝑘𝑔; 𝑀 = 20 𝑘𝑔; 𝑅₁ = 0,30 𝑚; 𝑅₂ = 0,50 𝑚;

𝜃 = 30°; 𝑇_𝑚𝑎𝑥 = 200 𝑁;

i. Verificare che all’equilibrio si ha 𝑇 > 𝑇_𝑚𝑎𝑥

Le condizioni di equilibrio nella dinamica del corpo rigido in questione sono due:

- La somma delle forze esterne è uguale a 0;

- La somma dei momenti delle forze esterne rispetto al vincolo è nulla.

In questo caso è sufficiente utilizzare l’equazione dei momenti¹ che è data dalla seguente espressione:

𝑇𝐿 sen 𝜃 − (𝑀 + 𝑚)𝑔𝑥_𝐶𝑀 = 0

In primo luogo determiniamo la posizione del centro di massa, rispetto al sistema di riferimento con l’origine 𝑂 coincidente con il vincolo.

𝑥_𝐶𝑀 = 𝑚 𝐿/2 + 𝑀(𝐿 + 𝑅₂)

𝑚 + 𝑀 ≈ 2,96 𝑚

Ora possiamo determinare il valore della tensione necessario all’equilibrio.

𝑇 = (𝑚 + 𝑀)𝑔𝑥_𝐶𝑀

𝐿 sen 𝜃 ≈ 475,3 𝑁 > 𝑇_𝑚𝑎𝑥

1 Sia da notare che la reazione vincolare in 𝑂 non compare nell’equazione dei momenti, poiché non compie momento rispetto al polo considerato.

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ii. 𝑣_𝐶𝑀 = ?; 𝑎_𝐶𝑀 = ?; 𝛽 = 20°;

Per la conservazione dell’energia meccanica si ha che

(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑥_𝐶𝑀 = (𝑀 + 𝑚)𝑔𝑥_𝐶𝑀(1 − cos 𝛽) +1 2𝐼_𝑂𝜔²

dove 𝐼_𝑂 è il momento d’inerzia del sistema calcolato rispetto al polo 𝑂, che è dato dalla seguente espressione:

𝐼_𝑂 = 1

2𝑀(𝑅₁² + 𝑅₂²) + 𝑀(𝑅₂+ 𝐿)² +1

3𝑚𝐿² ≈ 184,4 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚²

Con la conservazione dell’energia si perviene alla seguente formula e all’espressione sottostante per il calcolo della velocità angolare 𝜔.

(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑥_𝐶𝑀cos 𝛽 = 1 2𝐼_𝑂𝜔² 𝜔 = √2(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑥_𝐶𝑀cos 𝛽

𝐼_𝑂 ≈ 2,46 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Nota 𝜔, la velocità del centro di massa sarà data da 𝑣_𝐶𝑀 = 𝜔𝑥_𝐶𝑀 ≈ 7,3 𝑚/𝑠

Ricaviamo ora l’accelerazione angolare con cui ruota il sistema. Ricordando la seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi, si ha che

𝑀_𝑂^𝑒 = 𝑑𝐿_𝑂

𝑑𝑡 = 𝑑𝐼_𝑂𝜔

𝑑𝑡 = 𝐼_𝑂𝛼

dove 𝑀_𝑂^𝑒 è il momento delle forze esterne fatto rispetto al polo 𝑂, mentre 𝛼 è proprio l’accelerazione angolare con cui ruota il sistema.

Ora, consideriamo la situazione nel momento in cui l’asta forma un angolo 𝛽 = 20°

con la parete verticale; in questo caso l’unica forza esterna che compie momento è la forza peso, perciò si ha che

(𝑀 + 𝑚)𝑔𝑥_𝐶𝑀sen 𝛽 = 𝐼_𝑂𝛼 da cui

𝛼 = (𝑀 + 𝑚)𝑔𝑥_𝐶𝑀sen 𝛽

𝐼_𝑂 ≈ 1,1 𝑟𝑎𝑑/𝑠²

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Infine è possibile determinare l’accelerazione del centro di massa semplicemente facendone prodotto vettoriale tra l’accelerazione angolare e il vettore posizione del 𝐶𝑀 rispetto al vincolo 𝑂.

𝑎_𝐶𝑀 = 𝛼𝑥_𝐶𝑀 ≈ 3,24 𝑚/𝑠²