Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare
Tema d’Esame del 14 novembre 2018 – Algebra Lineare
Anzitutto, andiamo a scrivere in modo esplicito da che matrici è costituito l’insieme 𝑈, impostando l’equazione 𝑀𝐴 = 𝟎 e determinando la generica matrice 𝑀 che la soddisfa. Detta
𝑀 = &𝑎 𝑏 𝑐 𝑑+ , si ha
&𝑎 𝑏
𝑐 𝑑+ & 1 −1 0
−2 2 0+ = 𝟎 , da cui segue
&𝑎 − 2𝑏 −𝑎 + 2𝑏 0
𝑐 − 2𝑑 −𝑐 + 2𝑑 0+ = 𝟎 ⟹ 𝑎 = 2𝑏, 𝑐 = 2𝑑 . La generica matrice 𝑀 ∈ 𝑈 si può scrivere come
𝑀 = &2𝑏 𝑏
2𝑑 𝑑+ = 𝑏 &2 1
0 0+ + 𝑑 &0 0 2 1+ ,
quindi l’insieme 𝑈 può essere scritto come chiusura di due matrici linearmente indipendenti.
𝑈 = 〈&2 1
0 0+ ; &0 02 1+〉
Proprio perché l’insieme 𝑈 può essere scritto come chiusura, questi soddisfa il criterio di riconoscimento dei sottospazi, quindi è un sottospazio vettoriale di dimensione dim 𝑈 = 2.
Una base per l’insieme considerato sarà data da ℬ= = >&2 1
0 0+ ; &0 02 1+? .
Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare Consideriamo ora l’insieme 𝑊 = 𝑆𝑦𝑚D(ℝ), la cui generica matrice può essere scritta come
𝑊 = &𝑎 𝑏
𝑏 𝑐+ = 𝑎 &1 0
0 0+ + 𝑏 &0 1
1 0+ + 𝑐 &0 0 0 1+
ossia l’insieme 𝑊 può essere scritto come chiusura di tre matrici linearmente indipendenti e quindi costituisce un sottospazio vettoriale per 𝑀𝑎𝑡D(ℝ) di dimensione dim 𝑊 = 3.
𝑊 = 〈&1 0
0 0+ ; &0 1
1 0+ ; &0 0 0 1+〉
Per quanto riguarda la dimensione della somma 𝑈 + 𝑊 è necessario considerare l’isomorfismo tra le matrici di 𝑀𝑎𝑡D(ℝ) e i vettori colonna a quattro componenti, nonché calcolare il rango della matrice
𝑅 = K
2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1
L
che ha per colonne i vettori isomorfi alle matrici che rappresentano i sottospazi vettoriali 𝑈 e 𝑊 come chiusura.
Calcolando il determinante del minore destro di ordine quattro si ha, sviluppando rispetto all’ultima colonna,
det K
0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 0 1
L = det O0 1 0 0 0 1 2 0 1
P = 2 ≠ 0 ,
quindi possiamo concludere che
dim(𝑈 + 𝑊) = rg 𝑅 = 4 , ossia
𝑈 + 𝑊 = 𝑀𝑎𝑡D(ℝ) . Utilizzando il teorema di Grassmann abbiamo
dim 𝑈 + dim 𝑊 = dim(𝑈 + 𝑊) + dim(𝑈 ∩ 𝑊) , da cui
Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare dim(𝑈 ∩ 𝑊) = 2 + 3 − 4 = 1 .
Una base per 𝑈 + 𝑊 = 𝑀𝑎𝑡D(ℝ) è proprio la base canonica, mentre per l’intersezione è necessario scrivere il generico vettore 𝑣⃗ come combinazione lineare della base di 𝑈 e della base di 𝑊 per poi eguagliare le due espressioni.
𝑣⃗ = 𝑎 &2 1
0 0+ + 𝑏 &0 0 2 1+ 𝑣⃗ = 𝑐 &1 0
0 0+ + 𝑑 &0 1
1 0+ + 𝑒 &0 0 0 1+ 𝑎 &2 1
0 0+ + 𝑏 &0 0
2 1+ = 𝑐 &1 0
0 0+ + 𝑑 &0 1
1 0+ + 𝑒 &0 0 0 1+ Si tratta ora di risolvere il sistema lineare
Y
2𝑎 = 𝑐 𝑎 = 𝑑 2𝑏 = 𝑑
𝑏 = 𝑒
⟹
⎩⎪
⎨
⎪⎧𝑐 = 2𝑑 𝑎 = 𝑑 𝑏 = 𝑑 2 𝑒 = 𝑑 2
,
da cui il generico vettore 𝑣⃗ è dato da 𝑣⃗ = 𝑎 &2 1
0 0+ + 𝑏 &0 02 1+ = 𝑑 &2 10 0+ +𝑑
2&0 0
2 1+ = 〈O 2 1
1 1
2
P〉 = 〈&4 2 2 1+〉 , ossia
𝑈 ∩ 𝑊 = 〈&4 2 2 1+〉 .
𝑈 = 〈&2 1
0 0+ ; &0 02 1+〉
Banalmente si ha
𝐵 = −3 &2 1
0 0+ + 2 &0 0 2 1+ ,
quindi le componenti di 𝐵 rispetto alla base ordinata ℬ= sono (−3; 2).
Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare Andiamo per tentativi con i vettori della base canonica. Prendiamo, per esempio, le matrici &1 0
0 0+ e &0 0
1 0+. Calcoliamo il rango della matrice
𝑁 = K
1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1
L .
Essendo una matrice triangolare superiore, il suo determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale, quindi
det 𝑁 = 1 ≠ 0 ⟹ rg 𝑁 = 4 . Questo significa che la somma dei sottospazi 𝑋 ≔ 〈&1 0
0 0+ ; &0 0
1 0+〉 e 𝑈 forma tutto lo spazio vettoriale 𝑀𝑎𝑡D(ℝ), tuttavia occorre verificare che questi siano in somma diretta, cioè che la loro intersezione sia banale. Per il teorema di Grassmann abbiamo
dim 𝑈 + dim 𝑋 = dim(𝑈 + 𝑋) + dim(𝑈 ∩ 𝑋) , da cui
dim(𝑈 ∩ 𝑋) = 2 + 2 − 4 = 0 .
In definitiva il sottospazio 𝑋 costituisce un complemento diretto per 𝑈.
Un omomorfismo è iniettivo (i.e. è un monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è banale. Per il teorema di nullità + rango, dev’essere
dim 𝑊 = dim ker(𝑇) + dim Im(𝑇) = dim ker(𝑇) + rg(𝑇) Ora, essendo Im(𝑇) = 𝑈, si ha
dim ker(𝑇) = dim 𝑊 − dim 𝑈 = 3 − 2 = 1 .
Dato che il nucleo non è banale, allora non è possibile costruire un omomorfismo iniettivo.
I due spazi vettoriali 𝑈 e 𝑊 non possono essere isomorfi, poiché hanno dimensioni diverse.
