11.1-Campo di Forze centrali

(1)

Nicola GigliettoA.A. 2013/14

Forze centrali

Definiamo campo di forze centrali una forza agente in una regione di spazio con la caratteristica che in ogni punto di spazio la direzione della forza `e diretta sempre per un punto fisso O detto centro (o polo) della forza, il modulo della forza `e inoltre una generica funzione solo della distanza r dal punto O ovvero F=F(r). Tra le forze centrali vi sono la forza elastica, quella gravitazionale e quelle elettriche (che vedremo dopo).

Propriet`a delle forze centrali: se calcoliamo il momento della forza centrale rispetto al polo O si ha: ^d~_dt^L = ~r × ~F = ~r ×uˆrF (r) = 0 per cui

~L= ~r × ~p= ~cost In un campo di forze centrali il momento angolare rispetto al centro della forza si conserva. Di conseguenza il moto di una particella soggetta a forze centrali deve giacere nel piano definito da ~r e ~v (il moto è piano) Dal momento che il moto è piano verifichiamo una proprietà del moto risultante. ~L= ~r ×m~v= ~r ×m(~vr+ ~vt) = ~r ×m~vtda cuiL = rmvt= rmr^d_dt^θ = mr^{2 d}_dt^θ e la costanza di L implica quindi che lo sia il termine r^{2 d}_dt^θ. Se consideriamo una porzione infinitesima della generica traiettoria definita dal punto nel suo movimento, possiamo definire l’area infinitesima spazzata dal punto, approssimandola ad un triangolo di base ds = rdθ e altezza r, l’area risulterà dA = ¹₂r²dθ per cui possiamo definire la velocità areale ^dA_dt = ¹₂r²^dθ_dt = ₂^L_m Quindi nel moto in un campo di forze centrali la velocità areale è costante.

Le forze centrali sono conservative

Tutte le forze centrali sono conservative infatti L = LAB = RB

A F · ~~ ds = RB

A F (r)ˆur · ~ds ma ˆur · ~ds = dr quindi L = RrB

rA F (r)dr = f (rB) − f (rA) ovvero dipende solo dalle coordinate di A e B e non dal percorso effettuato.

11.2 Legge di gravitazione universale

La forza con cui si attraggono due masse qualunque `e F = −γ^m¹_r^m2 ² con r la distanza tra le masse m1 e m2 e γ = 6.67 · 10⁻¹¹ N m²/Kg² ed `e sempre attrattiva

Cap11-Gravitazione 1

(2)

14.4 Gravit`a vicino la Terra

Quando siamo sulla Terra, approssimandola ad una sfera di raggio R, ot- teniamo che la forza gravitazionale `e data da F = γ^M_R^T2^m

T

se l’oggetto di massa m `e lasciato libero di cadere esso `e soggetto ad accelerazione per cui F = ma ⇒ a = γ^M_R2^T

T

= g con MT = 5.98 · 10²⁴kg eRT = 6400km questa accelerazione (g=9.81m/s²) `e indipendente dalla massa m.

Deviazioni dalla costanza di g sono dovute a:

1. la Terra non `e omogenea;

2. la Terra non `e sferica;

3. la Terra ruota su se stessa

11.5 - Energia potenziale gravitazionale

∆U = −L = − Z r2

r1

F (r)dr = +γM mRr2

r1

1 r²dr = γM m[−1

r]^r_r²₁ = ^{GM m}_r

1 −^{γM m}_r

2

∆U = U (r2) − U (r1) = ^{γM m}_r

1 −^{γM m}_r

2 ⇒

U(r) = −γMm r

Avendo posto la costante arbitraria =0 per r → ∞ velocit`a di fuga

Per la cons. en. meccanica E = U + Ek = cost consideriamo allora il caso di un razzo da sparare per allontanarlo definitivamente dalla Terra:

Uin + Ek,in = Uf in + Ek,f in il punto finale si deve trovare ad ∞ e nella situazione minima deve essere fermo a questo punto Ek,f in= 0 ⇒ −γ^M_R^T^m

T +

1

2mv²= 0 ⇒v² = 2^γMR_T^T ed è detta velocità di fuga è un valore che dipende solo dalla massa della Terra ed èv=11.2 km/s(e cambia a seconda della massa dell’astro).

11.2 - Leggi Keplero

(3)

11.2 - Leggi Keplero

Nel sistema solare `e il sole il principale attrattore gravitazionale: il sistema solare costituisce un campo gravitazionale centrato nel sole ed essendo un campo di forza centrale il moto dei pianeti `e piano. Si hanno le seguenti leggi:

[¡+-—alert@+¿]I Legge di Keplero: il moto dei pianeti avviene su orbite ellittiche, di cui il sole `e uno dei fuochi II Legge di Keplero, Legge delle aree: il raggio che collega il sole con i pianeti descrive aree uguali in tempi uguali; III Legge T² = kr³

Dalle leggi di Keplero si pu`o dedurre la legge di gravitazione universale:

infatti assumendo orbite circolari (come approssimazione), dalla seconda legge si ha: ^dA_dt = ¹₂r²^dθ_dt ⇒ ^dθ_dt = cost quindi il moto `e circolare uniforme.

Di conseguenza l’accelerazione `e solo centripeta: F = mω²r = m(²_T^π)²r con T periodo di rotazione e utilizzando la terza legge di Keplero T² = kr³: F = ^4π_k²_r^m2

Esempio 11.5 - Il moto dei satelliti

Moto dei satelliti

Un satellite di massa m descrive un’orbita circolare intorno un pianeta di massa M; il raggio dell’orbita `e r ed il periodo T. Calcolare il valore di M del pianeta e l’energia del satellite.

abbiamo γ^mM_r2 = mω²r = m⁴_T^π2²r da cui M = ⁴_T^π2²r³

γ L’energia totale è E = Ek+Ep quindi E = ¹₂mv²−γ^mM_r e poichè γ^mM_r2 = m^v_r² ⇒v² = γ^M_r ⇒ E = ¹₂^mM_r −γ^mM_r = −¹₂γ^mM_r < 0 L’energia totale è negativa, quindi il satellite non può sfuggire all’attrazione del pianeta ed il sistema si dice gravitazionalmente legato

Satelliti terrestri

Assumendo mT = 5.98 · 10²⁴kg, rt= 6.38 · 10⁶m e per un satellite di massa m=1000kg, calcolare il periodo in funzione di r. Usando gli stessi passaggi

(4)

precedenti γ^M_r2 = ^4π_T2²r ⇒ T = 2πq

r³

γmt In genere si considera la quota sopra la superficie della Terra per i satelliti, che di solito si trovano tra i 100km e i 300 km. Se r = 100 + rt = 6.48km ⇒ T = 86.5^′ se r = 300 + rt = 6.68km ⇒ T = 90^′ Se il satellite `e invece geostazionario allora T=24h per cui si ricava r=42300km.

11.6 Moto di un corpo nel campo gravitazionale (in generale)

Orbite

Il moto in un campo di forze centrali `e sempre piano. Si pu`o inoltre dimostrare che il moto di un corpo sottoposto all’accelerazione gravitazionale

`e descritto da una conica (ellisse, iperbole,parabola) a seconda dell’energia totale della particella.

Supponiamo di considerare una massa m sotto l’azione gravitazionale di una massa M. L’energia totale di m `e data da E = Ek+Ep. Nel caso di orbite aperte (iperbole,parabola) E ≥ 0 ed m non `e gravitazionalmente legata, nel caso E < 0 la traiettoria ha un’orbita ellittica e m risulta gravitazionalemnte legato.

Orbite ellittiche

Nel caso delle orbite ellittiche si pu`o definire eccentricit`a dell’orbita ε² = 1 −_a^b²2, con a semiasse maggiore e b semi asse minore dell’ellisse descritta.

ε < 1 ed `e uguale a zero nel caso della circonferenza. Abbiamo visto che nei sistemi legati E = −γ^mM_2r ma si pu`o dimostrare che l’energia dipende dal solo semiasse maggiore: E = −γ^mM₂_a e che il momento angolare risulta L²= γ^m_m+M²^M²a(1 − ε²)